Cours – Séries numériques
Chapitre 04
ECS (2e année) — Chapitre 04. Séries à termes positifs, convergence absolue, séries de Riemann, séries alternées.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
1 Définitions
1.1 Convergence d’une série
Définition 1.1 — (Série numérique)
Soit (u_n)_{n \geq 0} une suite réelle. La série de terme général u_n est la suite des sommes partielles : S_n = \sum_{k=0}^n u_k On la note \sum u_n.
Définition 1.2 — (Convergence, divergence)
La série \sum u_n converge si (S_n) converge vers une limite finie S, appelée somme de la série : S = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k Sinon, la série diverge.
Définition 1.3 — (Reste)
Si la série converge de somme S, le reste d’ordre n est : R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k
Proposition 1.1 — (Condition nécessaire)
Si \sum u_n converge, alors u_n \to 0.
Proposition 1.2 — (Linéarité)
Si \sum u_n et \sum v_n convergent de sommes S et T, alors pour tout \lambda \in \mathbb{R} : \sum (\lambda u_n + v_n) \text{ converge de somme } \lambda S + T
2 Séries à termes positifs
2.1 Critères de convergence
Proposition 2.1 — (Convergence par majoration)
Si (u_n) est à termes positifs, alors \sum u_n converge si et seulement si la suite (S_n) est majorée.
Théorème 2.1 — (Comparaison)
Soient (u_n) et (v_n) deux suites à termes positifs avec u_n \leq v_n à partir d’un certain rang.
- Si \sum v_n converge, alors \sum u_n converge.
- Si \sum u_n diverge, alors \sum v_n diverge.
Théorème 2.2 — (Comparaison par équivalence)
Si u_n \sim v_n avec u_n, v_n \geq 0, alors \sum u_n et \sum v_n sont de même nature.
Théorème 2.3 — (Critère de d’Alembert)
Soit (u_n) à termes strictement positifs. Si \frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell :
- Si \ell < 1 : \sum u_n converge.
- Si \ell > 1 : \sum u_n diverge.
- Si \ell = 1 : on ne peut pas conclure.
Théorème 2.4 — (Critère de Cauchy)
Soit (u_n) à termes positifs. Si \sqrt[n]{u_n} \to \ell :
- Si \ell < 1 : \sum u_n converge.
- Si \ell > 1 : \sum u_n diverge.
3 Séries de référence
3.1 Séries géométriques
Proposition 3.1
La série géométrique \sum q^n converge si et seulement si |q| < 1, et : \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}
3.2 Séries de Riemann
Théorème 3.1 — (Séries de Riemann)
La série \sum \frac{1}{n^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1.
Proposition 3.2 — (Séries harmoniques)
- \sum \frac{1}{n} diverge (série harmonique).
- \sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} (résultat admis).
4 Convergence absolue
Définition 4.1 — (Convergence absolue)
La série \sum u_n est absolument convergente si \sum |u_n| converge.
Théorème 4.1
Toute série absolument convergente est convergente. De plus : \left|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|
Définition 4.2 — (Semi-convergence)
Une série convergente mais non absolument convergente est semi-convergente.
5 Séries alternées
Définition 5.1 — (Série alternée)
Une série de la forme \sum (-1)^n u_n avec u_n \geq 0 est une série alternée.
Théorème 5.1 — (Critère spécial des séries alternées)
Si (u_n) est décroissante et tend vers 0, alors \sum (-1)^n u_n converge. De plus, le reste R_n vérifie : |R_n| \leq u_{n+1}
Exemple 5.1
La série \sum \frac{(-1)^n}{n+1} converge (vers \ln 2) mais pas absolument.
6 Exercices
Exercice 6.1
Étudier la convergence des séries suivantes :
- \sum \frac{1}{n^2 + 1}
- \sum \frac{n}{n^3 + 1}
- \sum \frac{\ln n}{n^2}
Exercice 6.2
Étudier par d’Alembert : \sum \frac{n!}{n^n}.
Exercice 6.3
Montrer que la série harmonique diverge.
Exercice 6.4
Étudier la convergence de \sum \frac{(-1)^n}{n}.
Exercice 6.5
Étudier la convergence absolue de \sum \frac{\sin n}{n^2} et \sum \frac{\sin n}{n}.
Exercice 6.6
Calculer \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} (résultat : e).
Exercice 6.7
Soit x \in ]-1, 1[. Calculer \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n.
Exercice 6.8
Étudier la convergence de \sum \frac{1}{n \ln n} pour n \geq 2.