Cours – Algèbre linéaire (compléments)
Chapitre 01
ECS (2e année) — Chapitre 01. Sommes directes, projecteurs, symétries, trace, polynômes d’endomorphismes.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n \geq 1.
1 Sommes directes
1.1 Somme de sous-espaces
Définition 1.1 — (Somme de sous-espaces)
Soient F_1, \ldots, F_p des sous-espaces vectoriels de E. Leur somme est : F_1 + \cdots + F_p = \{x_1 + \cdots + x_p \mid x_i \in F_i\} C’est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant tous les F_i.
Définition 1.2 — (Somme directe)
La somme F_1 + \cdots + F_p est directe, notée F_1 \oplus \cdots \oplus F_p, si tout vecteur de cette somme s’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur de chaque F_i.
Proposition 1.1 — (Caractérisation)
La somme F_1 + \cdots + F_p est directe si et seulement si : \forall i \in \{1, \ldots, p\}, \quad F_i \cap \sum_{j \neq i} F_j = \{0_E\}
Proposition 1.2 — (Cas de deux sous-espaces)
Pour deux sous-espaces F et G, la somme F + G est directe si et seulement si F \cap G = \{0_E\}.
Proposition 1.3 — (Dimension d’une somme directe)
Si E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_p avec chaque F_i de dimension finie, alors : \dim E = \dim F_1 + \cdots + \dim F_p
Proposition 1.4 — (Formule de Grassmann)
Pour deux sous-espaces F et G de dimension finie : \dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)
1.2 Supplémentaires
Définition 1.3 — (Supplémentaires)
Deux sous-espaces F et G de E sont supplémentaires si E = F \oplus G. On note aussi G un supplémentaire de F.
Proposition 1.5
Tout sous-espace vectoriel d’un espace de dimension finie admet au moins un supplémentaire. Ce supplémentaire n’est pas unique en général.
2 Projecteurs
2.1 Définition
Définition 2.1 — (Projecteur)
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Le projecteur sur F parallèlement à G est l’application p : E \to E définie par : \forall x = f + g \in E, \quad (f,g) \in F \times G, \quad p(x) = f
Proposition 2.1 — (Caractérisation des projecteurs)
Soit p \in \mathcal{L}(E). Alors : p \text{ est un projecteur} \iff p^2 = p Dans ce cas, E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p), avec \mathrm{Im}(p) = \{x \in E \mid p(x) = x\}.
Proposition 2.2 — (Propriétés)
Si p est un projecteur :
- \mathrm{rg}(p) = \mathrm{tr}(p).
- Les valeurs propres de p sont dans \{0, 1\}.
- p est diagonalisable.
3 Symétries
Définition 3.1 — (Symétrie)
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application s : E \to E définie par : \forall x = f + g \in E, \quad (f,g) \in F \times G, \quad s(x) = f - g
Proposition 3.1 — (Caractérisation)
Soit s \in \mathcal{L}(E). Alors : s \text{ est une symétrie} \iff s^2 = \mathrm{Id}_E Dans ce cas, E = \ker(s - \mathrm{Id}_E) \oplus \ker(s + \mathrm{Id}_E).
Proposition 3.2 — (Lien projecteur-symétrie)
Si p est le projecteur sur F parallèlement à G, alors la symétrie s par rapport à F parallèlement à G vérifie : s = 2p - \mathrm{Id}_E
4 Trace
4.1 Définition
Définition 4.1 — (Trace d’une matrice)
Pour A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) : \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}
Définition 4.2 — (Trace d’un endomorphisme)
Pour u \in \mathcal{L}(E), \mathrm{tr}(u) = \mathrm{tr}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)) pour toute base \mathcal{B} de E (ne dépend pas du choix de \mathcal{B}).
4.2 Propriétés
Proposition 4.1 — (Linéarité)
Pour tous u, v \in \mathcal{L}(E) et \lambda \in \mathbb{K} : \mathrm{tr}(\lambda u + v) = \lambda \mathrm{tr}(u) + \mathrm{tr}(v)
Proposition 4.2 — (Trace d’un produit)
Pour A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) et B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K}) : \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)
Proposition 4.3 — (Invariance par transposition)
\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A).
Proposition 4.4 — (Trace et valeurs propres)
Si A est trigonalisable de valeurs propres \lambda_1, \ldots, \lambda_n (comptées avec multiplicité), alors : \mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n
5 Polynômes d’endomorphismes
5.1 Définition
Définition 5.1 — (Polynôme d’endomorphisme)
Pour u \in \mathcal{L}(E) et P(X) = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{K}[X] : P(u) = \sum_{k=0}^d a_k u^k où u^0 = \mathrm{Id}_E et u^k = u \circ \cdots \circ u.
Proposition 5.1 — (Morphisme de \boldsymbol{\mathbb{K}}-algèbres)
L’application \Phi_u : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{L}(E), P \mapsto P(u), est un morphisme de \mathbb{K}-algèbres. En particulier : P(u) \circ Q(u) = (PQ)(u)
5.2 Idéal annulateur et polynôme minimal
Définition 5.2 — (Polynôme annulateur)
Un polynôme P \in \mathbb{K}[X] est annulateur de u si P(u) = 0.
Théorème 5.1 — (Existence du polynôme minimal)
L’idéal des polynômes annulateurs de u est non réduit à \{0\} (car \mathcal{L}(E) est de dimension finie n^2). Son générateur unitaire est le polynôme minimal de u, noté P_u.
Proposition 5.2
Tout polynôme annulateur de u est divisible par P_u.
Proposition 5.3 — (Théorème de Cayley-Hamilton)
Le polynôme caractéristique \chi_u annule u : \chi_u(u) = 0. Donc P_u divise \chi_u.
6 Exercices
Exercice 6.1
Soient F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\} et G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y = z\}. Montrer que \mathbb{R}^3 = F \oplus G et déterminer la matrice du projecteur sur F parallèlement à G.
Exercice 6.2
Soit p \in \mathcal{L}(E) avec p^2 = p. Montrer que E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p).
Exercice 6.3
Soit s \in \mathcal{L}(E) avec s^2 = \mathrm{Id}_E. Montrer que s est un automorphisme et déterminer ses valeurs propres.
Exercice 6.4
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculer A^n et \mathrm{tr}(A^n).
Exercice 6.5
Soit u \in \mathcal{L}(E) avec u^3 = u. Montrer que u est diagonalisable.
Exercice 6.6
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) idempotente (A^2 = A). Montrer que \mathrm{tr}(A) = \mathrm{rg}(A).
Exercice 6.7
Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Déterminer le polynôme minimal de A.
Exercice 6.8
Soit u \in \mathcal{L}(E) nilpotent d’indice p (u^p = 0 et u^{p-1} \neq 0). Déterminer le polynôme minimal de u.