TD — Algèbre linéaire (compléments)

Chapitre 01

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 01. Sommes directes, projecteurs, symétries, trace, polynômes d’endomorphismes.

Exercice 1

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension 3 et soient : F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}, \quad G = \{(t,t,t) \mid t \in \mathbb{R}\}.

  1. Montrer que \mathbb{R}^3 = F \oplus G.
  2. Déterminer la matrice du projecteur p sur F parallèlement à G dans la base canonique.
  3. Déterminer la matrice de la symétrie s par rapport à F parallèlement à G.

Exercice 2

Soit E un espace vectoriel et p \in \mathcal{L}(E) tel que p^2 = p.

  1. Montrer que E = \mathrm{Im}(p) \oplus \ker(p).
  2. Montrer que \mathrm{Im}(p) = \{x \in E \mid p(x) = x\}.
  3. Montrer que \mathrm{tr}(p) = \mathrm{rg}(p).

Exercice 3

Soit s \in \mathcal{L}(E) tel que s^2 = \mathrm{Id}_E.

  1. Montrer que E = \ker(s - \mathrm{Id}_E) \oplus \ker(s + \mathrm{Id}_E).
  2. En déduire que s est diagonalisable.
  3. Si E est de dimension 3 et \mathrm{tr}(s) = 1, déterminer les dimensions de \ker(s - \mathrm{Id}_E) et \ker(s + \mathrm{Id}_E).

Exercice 4

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

  1. Calculer \mathrm{tr}(A) et \det(A).
  2. Calculer \mathrm{tr}(A^2) sans calculer A^2.
  3. Calculer \mathrm{tr}(A^k) pour tout k \in \mathbb{N}.

Exercice 5

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) telle que A^2 = A.

  1. Montrer que \mathrm{tr}(A) \in \mathbb{N} et 0 \leq \mathrm{tr}(A) \leq n.
  2. Montrer que \mathrm{tr}(A) = \mathrm{rg}(A).
  3. Montrer que I_n - A est aussi un projecteur et que \mathrm{tr}(I_n - A) = n - \mathrm{tr}(A).

Exercice 6

Soit E un espace vectoriel de dimension n et u \in \mathcal{L}(E).

  1. Montrer que l’application \varphi : \mathbb{R}[X] \to \mathcal{L}(E), P \mapsto P(u), est un morphisme de \mathbb{R}-algèbres.
  2. Montrer que \mathbb{R}[u] est une sous-algèbre commutative de \mathcal{L}(E).
  3. Montrer qu’il existe un polynôme non nul P tel que P(u) = 0.

Exercice 7

Soit E un espace vectoriel de dimension n et soient F_1, F_2, F_3 des sous-espaces vectoriels tels que E = F_1 \oplus F_2 \oplus F_3.

  1. Montrer que la famille des projecteurs (p_1, p_2, p_3) associés à cette décomposition vérifie p_i \circ p_j = 0 pour i \neq j et \sum_{i=1}^3 p_i = \mathrm{Id}_E.
  2. Montrer que \mathrm{tr}(p_1) + \mathrm{tr}(p_2) + \mathrm{tr}(p_3) = n.

Exercice 8

Soit A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) telle que A^3 - 2A^2 + A = 0.

  1. Montrer que A est diagonalisable.
  2. Déterminer les valeurs propres possibles de A.
  3. Montrer que \mathrm{tr}(A) \in \{0, 1, 2\}.

Exercice 9

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension 2 et p le projecteur sur F = \mathrm{Vect}((1,1)) parallèlement à G = \mathrm{Vect}((1,-1)) dans \mathbb{R}^2.

  1. Calculer p(x,y) pour tout (x,y) \in \mathbb{R}^2.
  2. Déterminer la matrice de p dans la base canonique.
  3. Calculer \mathrm{tr}(p) et vérifier que \mathrm{tr}(p) = \dim F.

Exercice 10

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) idempotente (A^2 = A) et \mathrm{tr}(A) = r.

  1. Montrer que \mathrm{rg}(A) = r.
  2. Montrer que A est semblable à \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
  3. Montrer que \mathrm{tr}(A^k) = r pour tout k \in \mathbb{N}^*.

Cours

📝 Chapitre 01 : Algèbre linéaire (compléments)