TD — Variables aléatoires discrètes infinies

Chapitre 06

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 06. Tribus, espaces probabilisés, lois géométrique et de Poisson, fonctions génératrices.

Exercice 1

Montrer que les applications suivantes sont des tribus :

  1. \{\varnothing, \Omega\} sur un ensemble \Omega.
  2. \mathcal{P}(\Omega) sur un ensemble \Omega.
  3. \{A \subset \mathbb{Z} \mid A \text{ est fini ou } \mathbb{Z} \setminus A \text{ est fini}\}.

Exercice 2

Une variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p \in ]0,1[.

  1. Vérifier que \sum_{k=1}^{+\infty} p(1-p)^{k-1} = 1.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Montrer la propriété d’absence de mémoire : P(X > n + k \mid X > k) = P(X > n).

Exercice 3

Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre \lambda > 0.

  1. Vérifier que \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = 1.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Montrer que si X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1) et Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_2) sont indépendantes, alors X + Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2).

Exercice 4

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} de fonction génératrice G_X(s) = \frac{1}{2-s}.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X) à partir de G_X.

Exercice 5

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} de fonction génératrice G_X(s) = e^{\lambda(s-1)}.

  1. Montrer que X suit la loi de Poisson de paramètre \lambda.
  2. Calculer E(X) et V(X) à partir de G_X.

Exercice 6

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir pile. Soit X le nombre de lancers nécessaires.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Calculer P(X > 5).

Exercice 7

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} de fonction génératrice G_X. Montrer que :

  1. G_X(1) = 1.
  2. Si X admet une espérance, alors E(X) = G_X'(1).
  3. Si X admet un moment d’ordre 2, alors V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2.

Exercice 8

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \mathbb{N} telle que P(X = k) = \frac{c}{k!} pour k \geq 0.

  1. Déterminer la constante c.
  2. Quelle loi suit X ?
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 9

Montrer que si (X_n) est une suite de variables aléatoires telles que X_n \hookrightarrow \mathcal{B}(n, \lambda/n), alors X_n converge en loi vers \mathcal{P}(\lambda).

Indication : Calculer la fonction génératrice de X_n et montrer qu’elle converge vers e^{\lambda(s-1)}.

Exercice 10

Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p.

  1. Déterminer la fonction génératrice G_X(s).
  2. En déduire E(X) et V(X).
  3. Montrer que P(X > n) = (1-p)^n.

Cours

📝 Chapitre 06 : Variables aléatoires discrètes infinies