TD — Variables aléatoires à densité

Chapitre 07

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 07. Densités, fonction de répartition, lois uniforme, exponentielle, normale ; espérance et variance.

Exercice 1

Soit f(x) = \begin{cases} c x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Déterminer c pour que f soit une densité de probabilité.
  2. Déterminer la fonction de répartition F_X.
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 2

Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]).

  1. Déterminer la fonction de répartition F_X.
  2. Calculer P(0{,}2 < X < 0{,}7).
  3. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 3

Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda) avec \lambda > 0.

  1. Déterminer la fonction de répartition F_X.
  2. Calculer P(X > t) pour t \geq 0.
  3. Montrer la propriété d’absence de mémoire : P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t).
  4. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 4

Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).

  1. Calculer P(X > 0).
  2. Calculer P(|X| < 1) (résultat approché : 0{,}68).
  3. Calculer P(X > 2) (résultat approché : 0{,}023).

Exercice 5

Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2).

  1. Montrer que X^* = \frac{X - \mu}{\sigma} \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1).
  2. Montrer que pour tout (a, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, aX + b \hookrightarrow \mathcal{N}(a\mu + b, a^2\sigma^2).

Exercice 6

Soit X une variable aléatoire à densité f(x) = \begin{cases} 2x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}.

  1. Vérifier que f est une densité.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Déterminer la fonction de répartition F_X.

Exercice 7

Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([a, b]).

  1. Déterminer la fonction de répartition F_X.
  2. Calculer E(X) et V(X).
  3. Montrer que pour tout c \in [a, b], P(a < X < c) = \frac{c-a}{b-a}.

Exercice 8

Soit X \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda) et Y \hookrightarrow \mathcal{E}(\mu) indépendantes.

  1. Déterminer la densité de X + Y.
  2. Montrer que X + Y ne suit pas une loi exponentielle.

Exercice 9

Soit X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1) et Y = X^2.

  1. Déterminer la fonction de répartition de Y.
  2. Déterminer la densité de Y.
  3. Calculer E(Y).

Exercice 10

Soit X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1]) et Y = -\frac{\ln(1-X)}{\lambda} avec \lambda > 0.

  1. Déterminer la fonction de répartition de Y.
  2. Montrer que Y \hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda).

Cours

📝 Chapitre 07 : Variables aléatoires à densité