TD — Vecteurs aléatoires

Chapitre 08

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 08. Lois conjointes, marginales, conditionnelles, covariance, corrélation linéaire.

Exercice 1

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes de loi conjointe :

X \setminus Y 0 1
0 0{,}2 0{,}3
1 0{,}1 0{,}2
  1. Déterminer les lois marginales de X et Y.
  2. X et Y sont-elles indépendantes ?
  3. Calculer E(X), E(Y), \mathrm{Cov}(X, Y).

Exercice 2

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires de densité conjointe : f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} c(x + y) & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

  1. Déterminer c.
  2. Déterminer les densités marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 3

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires de densité conjointe : f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} e^{-y} & 0 \leq x \leq y \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

  1. Vérifier que f_{X,Y} est une densité.
  2. Déterminer les densités marginales de X et Y.
  3. X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 4

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires avec V(X) = 4, V(Y) = 9 et \mathrm{Cov}(X, Y) = 3.

  1. Calculer \rho(X, Y).
  2. Calculer V(X + Y) et V(X - Y).
  3. Calculer V(2X + 3Y).

Exercice 5

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires de densité conjointe : f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} 2 & 0 \leq x \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

  1. Vérifier que f_{X,Y} est une densité.
  2. Déterminer les densités marginales.
  3. Calculer E(X), E(Y), E(XY) et \mathrm{Cov}(X, Y).

Exercice 6

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi uniforme sur [0, 1].

  1. Déterminer la densité conjointe de (X, Y).
  2. Déterminer la densité de X + Y.
  3. Calculer E(X + Y) et V(X + Y).

Exercice 7

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi exponentielle de paramètre \lambda.

  1. Déterminer la densité de X + Y.
  2. Calculer E(X + Y) et V(X + Y).

Exercice 8

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires avec E(X) = 2, E(Y) = 3, V(X) = 1, V(Y) = 4 et \mathrm{Cov}(X, Y) = 1.

  1. Calculer \rho(X, Y).
  2. Calculer V(2X - 3Y + 5).
  3. Calculer E(XY).

Exercice 9

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires de densité conjointe : f_{X,Y}(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

  1. Vérifier que f_{X,Y} est une densité.
  2. Déterminer les densités marginales.
  3. Calculer \mathrm{Cov}(X, Y).

Exercice 10

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi normale \mathcal{N}(0, 1).

  1. Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 2).
  2. Déterminer la densité de X^2 + Y^2.

Cours

📝 Chapitre 08 : Vecteurs aléatoires