TD — Estimation statistique

Chapitre 10

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

19 septembre 2026

ECS (2e année) — TD du Chapitre 10. Estimateurs sans biais, risque quadratique, intervalles de confiance.

Exercice 1

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0, \theta].

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur sans biais de \theta/2.
  2. En déduire un estimateur sans biais de \theta.

Exercice 2

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda.

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur sans biais de 1/\lambda.
  2. Calculer le risque quadratique de \overline{X}_n comme estimateur de 1/\lambda.

Exercice 3

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2.

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur sans biais de \mu.
  2. Montrer que S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (X_k - \overline{X}_n)^2 est un estimateur biaisé de \sigma^2.
  3. Montrer que s_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n (X_k - \overline{X}_n)^2 est un estimateur sans biais de \sigma^2.

Exercice 4

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant la loi normale \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) avec \sigma connu.

  1. Montrer que \overline{X}_n \hookrightarrow \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n).
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  3. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 99\% pour \mu.

Exercice 5

Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(100, p). On observe X = 45.

  1. Déterminer un estimateur de p.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour p.

Exercice 6

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0, \theta].

  1. Montrer que M_n = \max(X_1, \ldots, X_n) est un estimateur convergent de \theta.
  2. Montrer que \frac{n+1}{n} M_n est un estimateur sans biais de \theta.

Exercice 7

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant la loi normale \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) avec \sigma = 2 connu. On observe \overline{X}_{100} = 10.

  1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95\% pour \mu.
  2. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 99\% pour \mu.

Exercice 8

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes de moyenne \mu et de variance \sigma^2.

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur convergent de \mu.
  2. Montrer que le risque quadratique de \overline{X}_n comme estimateur de \mu est \sigma^2/n.

Exercice 9

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda.

  1. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur convergent de 1/\lambda.
  2. Déterminer un intervalle de confiance asymptotique de niveau 95\% pour 1/\lambda.

Exercice 10

Soit (X_1, \ldots, X_n) un échantillon de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [0, \theta].

  1. Montrer que \hat{\theta}_1 = 2\overline{X}_n est un estimateur sans biais de \theta.
  2. Montrer que \hat{\theta}_2 = \frac{n+1}{n} M_n est un estimateur sans biais de \theta.
  3. Comparer les risques quadratiques de \hat{\theta}_1 et \hat{\theta}_2.

Cours

📝 Chapitre 10 : Estimation statistique