TD — Fonctions de plusieurs variables et optimisation
Chapitre 11
ECS (2e année) — TD du Chapitre 11. Gradient, dérivées partielles, matrice hessienne, extrema locaux et globaux.
Exercice 1
Soit f(x, y) = x^2 y + e^{xy}.
- Calculer \frac{\partial f}{\partial x} et \frac{\partial f}{\partial y}.
- Calculer \nabla f(x, y).
- Calculer la matrice hessienne H_f(x, y).
Exercice 2
Soit f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy.
- Calculer \nabla f(x, y) et les points critiques.
- Calculer la matrice hessienne en chaque point critique.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
Exercice 3
Soit f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
- f admet-elle un extremum global ?
Exercice 4
Soit f(x, y) = x^2 - y^2.
- Déterminer les points critiques.
- Montrer que (0, 0) est un point selle.
Exercice 5
Soit f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 14.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
- f admet-elle un extremum global ?
Exercice 6
Soit f(x, y) = x^3 - 3x + y^2.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
Exercice 7
Soit f(x, y) = x^2 + y^2 sous la contrainte x + y = 1.
- Utiliser la méthode de Lagrange pour trouver les extrema.
- Vérifier en exprimant f en fonction d’une seule variable.
Exercice 8
Soit f(x, y) = xy sous la contrainte x^2 + y^2 = 1.
- Utiliser la méthode de Lagrange pour trouver les extrema.
- Déterminer les valeurs maximale et minimale de f sur le cercle unité.
Exercice 9
Soit f(x, y) = x^2 + y^2 - xy.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer la nature de chaque point critique.
- Montrer que f admet un minimum global en (0, 0).
Exercice 10
Soit f(x, y) = x^2 + y^2 sous la contrainte x^2 + y^2 + xy = 1.
- Utiliser la méthode de Lagrange pour trouver les extrema.
- Déterminer les valeurs maximale et minimale de f sur l’ellipse.
Cours
📝 Chapitre 11 : Fonctions de plusieurs variables et optimisation