Cours – Fonctions de plusieurs variables et optimisation
Chapitre 11
ECS (2e année) — Chapitre 11. Gradient, dérivées partielles, matrice hessienne, extrema locaux et globaux.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière ECS.
Dans tout ce chapitre, U désigne un ouvert de \mathbb{R}^n et f : U \to \mathbb{R} une fonction numérique.
1 Dérivées partielles
1.1 Définition
Définition 1.1 — (Dérivée partielle)
Soit a = (a_1, \ldots, a_n) \in U. La dérivée partielle de f par rapport à x_i en a est, si elle existe : \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_i + h, \ldots, a_n) - f(a)}{h}
Exemple 1.1
Soit f(x, y) = x^2 y + e^{xy}. Alors : \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy + ye^{xy}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + xe^{xy}
1.2 Classes \mathcal{C}^1 et \mathcal{C}^2
Définition 1.2 — (Classe \boldsymbol{\mathcal{C}^1})
f est de classe \mathcal{C}^1 sur U si toutes les dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x_i} existent et sont continues sur U.
Définition 1.3 — (Classe \boldsymbol{\mathcal{C}^2})
f est de classe \mathcal{C}^2 sur U si f et ses dérivées partielles premières sont de classe \mathcal{C}^1.
Théorème 1.1 — (Théorème de Schwarz)
Si f est de classe \mathcal{C}^2 sur U, alors pour tous i, j : \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}
2 Gradient
Définition 2.1 — (Gradient)
Si f est de classe \mathcal{C}^1 sur U, le gradient de f en a est : \nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)
Proposition 2.1 — (Différentielle)
Si f est de classe \mathcal{C}^1 sur U, alors pour a \in U et h \in \mathbb{R}^n : f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + o(\|h\|)
3 Matrice hessienne
Définition 3.1 — (Matrice hessienne)
Si f est de classe \mathcal{C}^2 sur U, la matrice hessienne de f en a est : H_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)_{1 \leq i, j \leq n}
Proposition 3.1
Par le théorème de Schwarz, H_f(a) est une matrice symétrique.
Proposition 3.2 — (Développement limité à l’ordre 2)
Si f est de classe \mathcal{C}^2 sur U, alors : f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + \frac{1}{2} h^T H_f(a) h + o(\|h\|^2)
4 Extrema locaux
4.1 Définition
Définition 4.1 — (Extremum local)
f admet un maximum local (resp. minimum local) en a s’il existe un voisinage V de a tel que f(x) \leq f(a) (resp. f(x) \geq f(a)) pour tout x \in V.
4.2 Condition nécessaire
Théorème 4.1 — (Condition d’ordre 1)
Si f est de classe \mathcal{C}^1 sur U et admet un extremum local en a \in U, alors : \nabla f(a) = 0
a est alors appelé point critique de f.
La réciproque est fausse : f(x, y) = x^2 - y^2 vérifie \nabla f(0, 0) = 0 mais n’admet pas d’extremum en (0,0) (point selle).
4.3 Conditions suffisantes
Théorème 4.2 — (Conditions d’ordre 2)
Soit f de classe \mathcal{C}^2 sur U et a \in U un point critique (\nabla f(a) = 0).
- Si H_f(a) est définie positive, alors f admet un minimum local strict en a.
- Si H_f(a) est définie négative, alors f admet un maximum local strict en a.
- Si H_f(a) a des valeurs propres de signes opposés, alors a est un point selle.
Proposition 4.1 — (Critère pratique en dimension 2)
Soit f : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2 et a = (x_0, y_0) un point critique. On pose : r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a), \quad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a), \quad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a)
- Si rt - s^2 > 0 et r > 0 : minimum local.
- Si rt - s^2 > 0 et r < 0 : maximum local.
- Si rt - s^2 < 0 : point selle.
- Si rt - s^2 = 0 : on ne peut pas conclure.
5 Extrema globaux
Définition 5.1 — (Extremum global)
f admet un maximum global (resp. minimum global) en a si f(x) \leq f(a) (resp. f(x) \geq f(a)) pour tout x \in U.
Méthode 5.1 — (Recherche d’extrema globaux)
Pour rechercher les extrema globaux de f sur un domaine K :
- Déterminer les points critiques de f dans l’intérieur de K.
- Étudier la nature de ces points critiques.
- Étudier f sur le bord de K.
- Comparer les valeurs de f aux points critiques et sur le bord.
Exemple 5.1
Soit f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 sur \mathbb{R}^2.
- \nabla f(x, y) = (2x - 2, 2y - 4), donc le seul point critique est (1, 2).
- H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} est définie positive.
- f(1, 2) = 0 est un minimum global.
6 Optimisation sous contrainte
Méthode 6.1 — (Méthode de Lagrange)
Pour optimiser f(x, y) sous la contrainte g(x, y) = 0 :
- Chercher les points où \nabla f = \lambda \nabla g pour un certain \lambda (multiplicateur de Lagrange).
- Vérifier les points ainsi obtenus.
Exemple 6.1
Optimiser f(x, y) = xy sous la contrainte x^2 + y^2 = 1.
\nabla f = (y, x) et \nabla g = (2x, 2y). La condition \nabla f = \lambda \nabla g donne : y = 2\lambda x, \quad x = 2\lambda y
D’où y = 4\lambda^2 y, donc \lambda = \pm 1/2. Les points critiques sont (\pm 1/\sqrt{2}, \pm 1/\sqrt{2}) avec f = \pm 1/2.
7 Exercices
Exercice 7.1
Soit f(x, y) = x^2 y + e^{xy}. Calculer \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
Exercice 7.2
Soit f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer leur nature.
- f admet-elle un extremum global ?
Exercice 7.3
Soit f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer leur nature.
Exercice 7.4
Soit f(x, y) = x^2 - y^2. Montrer que (0, 0) est un point selle.
Exercice 7.5
Optimiser f(x, y) = xy sous la contrainte x + y = 1.
Exercice 7.6
Soit f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}.
- Déterminer les points critiques.
- Déterminer leur nature.
- f admet-elle un extremum global ?
Exercice 7.7
Soit f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 1. Déterminer les extrema de f sur \mathbb{R}^3.
Exercice 7.8
Optimiser f(x, y) = x^2 + y^2 sous la contrainte x^2 + y^2 = 1.
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📝 Chapitre 11 : Fonctions de plusieurs variables et optimisation