Séries entières

Chapitre 07

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PSI (2e année) — Chapitre 07. Rayon de convergence (lemme d’Abel, règle de d’Alembert), propriétés de la somme (continuité, dérivation, intégration terme à terme), développement en série entière au voisinage de 0.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Pour tout r \in \mathbb{R}^+ \cup \{+\infty\}, on pose D(0,r) = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < r\}. Si 0 < r < +\infty, D(0,r) est le disque ouvert de centre 0 et de rayon r. Par abus de langage, on dira que \mathbb{C} est le disque ouvert de rayon +\infty.

1 Notion de série entière

1.1 Définition

Définition 1.1 — (Série entière)

Soit (a_n)_{n \geq 0} une suite de nombres complexes (ou réels). On appelle série entière associée à (a_n) la série de fonctions : \sum_{n \geq 0} a_n z^n où z est une variable complexe (ou réelle).

Les coefficients a_n sont appelés les coefficients de la série entière.

  1. La suite (a_n) peut n’être définie qu’à partir du rang n_0. On note alors \sum_{n \geq n_0} a_n z^n la série entière correspondante.
  2. Si z est fixé, on a affaire à une série numérique.
  3. Un exemple déjà rencontré est la somme géométrique.

Exemple 1.1

  1. La série \sum_{n \geq 0} z^n est une série entière de coefficients a_n = 1.
  2. La série \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} est une série entière de coefficients a_n = \frac{1}{n!}.
  3. La série \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n} est une série entière de coefficients a_n = \frac{1}{n} pour n \geq 1 et a_0 = 0.

1.2 Somme d’une série entière

Définition 1.2 — (Somme d’une série entière)

On appelle somme de la série entière \sum a_n z^n, la fonction : S : D(0, R) \to \mathbb{C}, \quad z \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n où R est le rayon de convergence de la série entière.

Les sommes partielles de cette série de fonctions sont des fonctions polynomiales : S_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k Les fonctions polynomiales sont des cas particuliers de séries entières.

2 Lemme d’Abel et rayon de convergence

2.1 Lemme d’Abel

Théorème 2.1 — (Lemme d’Abel)

Soit \sum_{n \geq 0} a_n z^n une série entière. Si la suite (a_n z_0^n)_{n \geq 0} est bornée pour un certain z_0 \in \mathbb{C}, alors pour tout z \in D(0, |z_0|), la série \sum_{n \geq 0} a_n z^n est absolument convergente.

Preuve. Supposons que |a_n z_0^n| \leq M pour tout n \geq 0. Pour z \in D(0, |z_0|) avec z_0 \neq 0 : |a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left|\frac{z}{z_0}\right|^n \leq M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n Comme \left|\frac{z}{z_0}\right| < 1, la série géométrique \sum \left|\frac{z}{z_0}\right|^n converge. Par le critère de comparaison, \sum |a_n z^n| converge.

2.2 Rayon de convergence

Définition 2.1 — (Rayon de convergence)

On appelle rayon de convergence de la série entière \sum_{n \geq 0} a_n z^n la borne supérieure (dans \mathbb{R}) des réels positifs \rho \geq 0 tels que la suite (a_n \rho^n) soit bornée : R = \sup\{\rho \geq 0 \mid (a_n \rho^n) \text{ est bornée}\}

Théorème 2.2 — (Existence du rayon de convergence)

Soit \sum_{n \geq 0} a_n z^n une série entière. Il existe un unique R \in \mathbb{R}^+ \cup \{+\infty\}, appelé rayon de convergence, tel que :

  1. Si |z| < R, la série \sum a_n z^n est absolument convergente.
  2. Si |z| > R, la série \sum a_n z^n diverge.

Le disque D(0, R) est appelé disque de convergence (ou intervalle de convergence dans le cas réel).

  • Si R = 0 : la série ne converge qu’en z = 0.
  • Si 0 < R < +\infty : la série converge absolument dans D(0,R) et diverge pour |z| > R. Le comportement sur le cercle |z| = R doit être étudié séparément.
  • Si R = +\infty : la série converge absolument pour tout z \in \mathbb{C}.

Exemple 2.1

  1. \sum_{n \geq 0} z^n : R = 1 (série géométrique).
  2. \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} : R = +\infty (série exponentielle).
  3. \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n} : R = 1.
  4. \sum_{n \geq 0} n! \, z^n : R = 0.

2.3 Modes de convergence d’une série entière

Théorème 2.3 — (Modes de convergence)

Soit \sum a_n z^n une série entière de rayon de convergence R. Alors la série de fonctions \sum f_n (où f_n(z) = a_n z^n) :

  1. Converge absolument sur le disque de convergence D(0, R).
  2. Converge normalement sur tout compact K inclus dans le disque de convergence (en pratique, sur tout disque fermé \overline{D}(0, r) avec r < R).

3 Calcul du rayon de convergence

3.1 Comparaison des rayons

Proposition 3.1 — (Comparaison des rayons)

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence R_a et R_b respectivement.

Si |a_n| \leq |b_n| pour tout n assez grand, alors R_a \geq R_b.

En particulier : - Si a_n = O(b_n), alors R_a \geq R_b. - Si |a_n| \sim |b_n|, alors R_a = R_b.

3.2 Règle de d’Alembert

Proposition 3.2 — (Règle de d’Alembert)

Soit \sum a_n z^n une série entière. Si la suite \left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)_{n \geq 0} est définie et admet une limite \ell \in [0, +\infty], alors le rayon de convergence est : R = \frac{1}{\ell} avec les conventions \frac{1}{0} = +\infty et \frac{1}{+\infty} = 0.

Exemple 3.1

Pour \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} : \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0 Donc R = +\infty.

Exemple 3.2

Pour \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n} : \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n}{n+1} \to 1 Donc R = 1.

Pour déterminer le rayon de convergence d’une série entière \sum a_n z^n :

  1. Chercher un équivalent plus simple de |a_n|. Si |a_n| \sim |b_n|, les séries entières \sum a_n z^n et \sum b_n z^n ont même rayon de convergence.
  2. Si la suite (a_n) ne s’annule pas et si a_n est formé de produits, exponentielles, factorielles, essayer la règle de d’Alembert.
  3. Utiliser des majorations-minorations simples de |a_n|.
  4. Utiliser la définition du rayon de convergence.

3.3 Dérivation et rayon de convergence

Proposition 3.3

Les séries entières \sum_{n \geq 0} a_n z^n et \sum_{n \geq 1} n a_n z^{n-1} ont même rayon de convergence.

Plus généralement, pour tout \alpha \in \mathbb{R}, les séries entières \sum_{n \geq 0} a_n z^n et \sum_{n \geq 1} n^\alpha a_n z^n ont même rayon de convergence.

4 Opérations sur les séries entières

4.1 Somme de deux séries entières

Proposition 4.1 — (Somme)

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons de convergence R_a et R_b. La série entière \sum (a_n + b_n) z^n a un rayon de convergence R vérifiant : R \geq \min(R_a, R_b) avec égalité si R_a \neq R_b.

De plus, pour |z| < \min(R_a, R_b) : \sum_{n=0}^{+\infty} (a_n + b_n) z^n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n + \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n

4.2 Produit de Cauchy

Définition 4.1 — (Produit de Cauchy)

Soient \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières. Le produit de Cauchy est la série entière \sum c_n z^n où : c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

Proposition 4.2 — (Rayon du produit de Cauchy)

Le rayon de convergence R du produit de Cauchy vérifie : R \geq \min(R_a, R_b)

De plus, pour |z| < \min(R_a, R_b) : \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n

Exemple 4.1 — (Application à la fonction exponentielle)

Le produit de Cauchy de \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} par elle-même donne : c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot \frac{1}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = \frac{2^n}{n!}

Donc : e^z \cdot e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n z^n}{n!} = e^{2z}

4.3 Série dérivée et série primitive

Définition 4.2 — (Série entière dérivée)

Soit une série entière \sum a_n z^n. On appelle série entière dérivée la série entière \sum_{n \geq 1} n a_n z^{n-1} ou encore \sum_{n \geq 0} (n+1) a_{n+1} z^n.

Définition 4.3 — (Série entière primitive)

Soit une série entière \sum a_n z^n. On appelle série entière primitive la série entière \sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} z^{n+1} ou encore \sum_{n \geq 1} \frac{a_{n-1}}{n} z^n.

Proposition 4.3 — (Rayon de convergence de la série dérivée et primitive)

La série entière \sum a_n z^n, sa série dérivée et sa série primitive ont le même rayon de convergence.

5 Propriétés de la somme

5.1 Convergence normale

Proposition 5.1 — (Convergence normale)

La convergence d’une série entière de rayon de convergence R > 0 est normale sur tout disque fermé de centre 0 et de rayon strictement inférieur à R.

La convergence d’une série entière de la variable réelle est normale sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence.

5.2 Continuité de la somme

Théorème 5.1 — (Continuité de la somme)

Soit \sum a_n z^n une série entière de rayon de convergence R > 0. La fonction somme : f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n est continue sur le disque ouvert D(0, R).

L’étude des propriétés de la somme au bord du disque ouvert de convergence n’est pas un objectif du programme.

Corollaire 5.1 — (Continuité de la somme réelle)

La somme d’une série entière d’une variable réelle est continue sur son intervalle de convergence.

5.3 Dérivation terme à terme

Théorème 5.2 — (Dérivation terme à terme)

Soit \sum a_n z^n une série entière de rayon de convergence R > 0. La fonction somme : f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n est de classe \mathcal{C}^\infty sur l’intervalle ouvert ]-R, R[ et ses dérivées s’obtiennent par dérivation terme à terme : $\frac{f^{(k)}(t)}{k!} = \sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n}{k} a_n t^{n-k}, \quad t \in ]-R, R[

5.4 Primitivation terme à terme

Proposition 5.2 — (Primitivation)

Si \sum a_n z^n est une série entière de rayon de convergence R > 0, une primitive sur l’intervalle ]-R, R[ de la fonction f : t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n s’obtient en intégrant terme à terme : F(t) = C + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} t^{n+1}

5.5 Expression des coefficients

Proposition 5.3 — (Unicité du développement)

Soit \sum a_n z^n une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme f. Alors : a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}

Si les fonctions x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n et x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n coïncident sur un voisinage de 0, alors a_n = b_n pour tout n \in \mathbb{N}.

6 Développement en série entière

6.1 Définition

Définition 6.1 — (Fonction développable en série entière)

Une fonction f définie au voisinage de 0 est dite développable en série entière en 0 s’il existe une série entière \sum a_n z^n de rayon de convergence R > 0 et un voisinage V de 0 tels que : \forall x \in V, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n

Proposition 6.1 — (Unicité)

Le développement en série entière d’une fonction, s’il existe, est unique.

6.2 Série de Taylor

Définition 6.2 — (Série de Taylor)

Soit f : ]-r, r[ \to \mathbb{K} une fonction de classe \mathcal{C}^\infty sur un voisinage de 0. On appelle série de Taylor de f la série entière : \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n

Si f est développable en série entière, alors sa série de Taylor a un rayon de convergence R > 0 et le développement de f est donné par cette série.

Proposition 6.2 — (Parité et développement en série entière)

Si f est développable en série entière au voisinage de 0 et si f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n :

  1. Si f est paire, alors a_{2p+1} = 0 pour tout p \in \mathbb{N}.
  2. Si f est impaire, alors a_{2p} = 0 pour tout p \in \mathbb{N}.

6.3 Développements usuels

Proposition 6.3 — (Développements en série entière usuels)

Les développements en série entière en 0 des fonctions usuelles sont :

  1. Exponentielle : e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}, \quad R = +\infty

  2. Sinus hyperbolique : \sinh t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty

  3. Cosinus hyperbolique : \cosh t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty

  4. Sinus : \sin t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad R = +\infty

  5. Cosinus : \cos t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!}, \quad R = +\infty

  6. Arctangente : \arctan t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{2n+1}, \quad R = 1

  7. Logarithme : \ln(1+t) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^n}{n}, \quad R = 1

  8. Puissance : (1+t)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} t^n, \quad R = 1 (pour \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N})

Proposition 6.4 — (Développements usuels supplémentaires)

  1. \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n, \quad R = 1

  2. \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n, \quad R = 1

  3. \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}, \quad R = 1

Exemple 6.1 — (Développement de \boldsymbol{\frac{1}{(1-x)^2}})

En dérivant terme à terme \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n, on obtient : \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)x^n = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}

6.4 Développement à l’aide d’une équation différentielle

Les élèves doivent être capables de déterminer un développement en série entière à l’aide d’une équation différentielle et notamment l’usage de l’unicité de la solution d’un problème de Cauchy.

Exemple 6.2 — (Développement de la solution de \boldsymbol{y' = y}, \boldsymbol{y(0) = 1})

Cherchons le développement en série entière de la solution de y' = y avec y(0) = 1.

Supposons y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n. Alors : y'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^n

L’équation y' = y donne : (n+1) a_{n+1} = a_n \implies a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}

Avec a_0 = y(0) = 1, on obtient a_n = \frac{1}{n!}.

Donc y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x.

7 Exercices

Exercice 7.1

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

  1. \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n^2}
  2. \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{2^n}
  3. \sum_{n \geq 1} n^3 z^n
  4. \sum_{n \geq 0} \frac{z^{2n}}{(2n)!}

Exercice 7.2

Calculer la somme des séries entières suivantes sur leur intervalle de convergence :

  1. \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n
  2. \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n
  3. \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}

Exercice 7.3

Montrer que la série entière \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} a un rayon de convergence infini et que sa somme est e^x.

Exercice 7.4

Déterminer le développement en série entière de \frac{1}{(1-x)^2} en utilisant le produit de Cauchy.

Exercice 7.5

Déterminer le développement en série entière de \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) pour |x| < 1.

Exercice 7.6

Soit f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n une série entière de rayon R > 0. Montrer que : \int_0^x f(t)\, dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}

Exercice 7.7

Étudier la convergence de la série entière \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} aux bornes de son intervalle de convergence.

Exercice 7.8

Déterminer le développement en série entière de \arcsin x pour |x| < 1 en utilisant le développement de \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

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Chapitre 07 : Séries entières