TD — Séries entières
Chapitre 07
PSI (2e année) — TD du Chapitre 07. Rayon de convergence (lemme d’Abel, règle d’Alembert), propriétés de la somme (continuité, dérivation, intégration terme à terme), développement en série entière au voisinage de 0.
Exercice 1
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
- \sum_{n \geq 1} \dfrac{z^n}{n^2}
- \sum_{n \geq 0} \dfrac{z^n}{2^n}
- \sum_{n \geq 1} n^3 z^n
- \sum_{n \geq 0} \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}
Exercice 2
Montrer le lemme d’Abel : si (a_n \rho^n) est bornée, alors pour tout z avec |z| < \rho, \sum a_n z^n converge absolument.
Exercice 3
Soit \sum a_n z^n une série entière de rayon R. Montrer que la série dérivée \sum (n+1)a_{n+1} z^n a le même rayon de convergence.
Exercice 4
Calculer la somme des séries entières suivantes sur leur intervalle de convergence :
- \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n
- \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n
- \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}
Exercice 5
Soit \sum a_n z^n de rayon R > 0 et de somme f. Montrer que f est continue sur D(0,R).
Exercice 6
Montrer que f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!} est de classe \mathcal{C}^\infty sur \mathbb{R} et f' = f.
Exercice 7
Déterminer le développement en série entière de :
- e^z
- \sin z, \cos z
- \ln(1+z)
- (1+z)^\alpha
Exercice 8
Soit \sum a_n z^n et \sum b_n z^n deux séries entières de rayons R_a et R_b. Montrer que leur produit de Cauchy a un rayon \geq \min(R_a, R_b).
Exercice 9
Déterminer le développement en série entière de \arctan x et en déduire \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1} = \dfrac{\pi}{4}.
Exercice 10
Résoudre l’équation différentielle y' = y avec y(0) = 1 en cherchant une solution développable en série entière.