TD — Compléments sur les séries numériques. Suites et séries de fonctions
Chapitre 06
PSI (2e année) — TD du Chapitre 06. Compléments sur les séries numériques (comparaison série-intégrale, produit de Cauchy), modes de convergence (simple, uniforme, normale), stabilité des propriétés par passage à la limite.
Exercice 1
Soit f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R} continue, positive et décroissante. Montrer que : \int_0^{+\infty} f(t)\, dt \text{ converge} \iff \sum_{n=0}^{+\infty} f(n) \text{ converge}
Exercice 2
Soient \sum a_n et \sum b_n deux séries absolument convergentes. Montrer que le produit de Cauchy \sum c_n avec c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} est absolument convergent et : \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)
Exercice 3
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur [0,1] par f_n(x) = x^n.
Exercice 4
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur \mathbb{R}^+ par f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx}.
Exercice 5
Soit (f_n) une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers f. Montrer que f est continue.
Exercice 6
Soit \sum u_n une série de fonctions convergeant normalement sur X. Montrer qu’elle converge uniformément sur X.
Exercice 7
Soit (f_n) une suite de fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I telle que (f_n(x_0)) converge pour un x_0 \in I et (f_n') converge uniformément sur tout segment. Montrer que (f_n) converge uniformément sur tout segment vers une fonction f de classe \mathcal{C}^1 avec f' = \lim f_n'.
Exercice 8
Soit \sum u_n une série de fonctions convergeant uniformément sur [a,b] avec chaque u_n continue. Montrer que : \int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)\, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b u_n(x)\, dx
Exercice 9
Étudier la convergence de la série \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} sur [0, r] avec 0 < r < 1.
Exercice 10
Montrer que la série \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!} converge normalement sur tout segment de \mathbb{R}. En déduire que sa somme est de classe \mathcal{C}^\infty.
Cours
Chapitre 06 : Compléments sur les séries numériques. Suites et séries de fonctions