TD — Fonctions vectorielles d’une variable réelle, notions sur les arcs paramétrés

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

PSI (2e année) — TD du Chapitre 05. Dérivation, interprétation cinématique, notions sur les arcs paramétrés.

Exercice 1

Soit f : I \to \mathbb{R}^n une fonction vectorielle. Montrer que f est dérivable en a si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_n sont dérivables en a, et dans ce cas : f'(a) = (f_1'(a), \ldots, f_n'(a))

Exercice 2

Soit f : I \to \mathbb{R}^2 définie par f(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t).

  1. Calculer f'(t) et \|f'(t)\|.
  2. Montrer que l’angle entre f(t) et f'(t) est constant.
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = \ln 2.

Exercice 3

Soit f : I \to E de classe \mathcal{C}^1 et \varphi : J \to I de classe \mathcal{C}^1. Montrer que f \circ \varphi est de classe \mathcal{C}^1 et : (f \circ \varphi)'(t) = \varphi'(t) \cdot f'(\varphi(t))

Exercice 4

Soit f : [a,b] \to E continue par morceaux. Montrer que : \left\|\int_a^b f(t)\, dt\right\| \leq \int_a^b \|f(t)\|\, dt

Exercice 5

Soit f : [a,b] \to E de classe \mathcal{C}^1. Montrer l’inégalité des accroissements finis : \|f(b) - f(a)\| \leq (b-a) \sup_{[a,b]} \|f'\|

Exercice 6

Soit \gamma : I \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t) (cycloïde).

  1. Étudier la périodicité et les symétries.
  2. Déterminer les points stationnaires.
  3. Calculer la longueur d’une arche.

Exercice 7

Soit \gamma : I \to \mathbb{R}^3 définie par \gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt) (hélice circulaire).

  1. Calculer \gamma'(t) et \|\gamma'(t)\|.
  2. Montrer que la tangente fait un angle constant avec l’axe (Oz).
  3. Calculer la longueur de l’hélice entre t = 0 et t = 2\pi.

Exercice 8

Soit \gamma : I \to \mathbb{R}^2 un arc paramétré régulier de classe \mathcal{C}^2. Montrer que si \|\gamma'(t)\| est constant, alors \gamma'(t) \perp \gamma''(t) pour tout t.

Indication : Dériver \|\gamma'(t)\|^2 = cte.

Exercice 9

Soit \gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (t^2, t^3).

  1. Étudier les symétries.
  2. Déterminer les points stationnaires.
  3. Étudier la tangente au point stationnaire.
  4. Tracer l’allure de la courbe.

Exercice 10

Soit \gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (\cos 2t, \sin 3t).

  1. Étudier la périodicité et la parité.
  2. Réduire l’intervalle d’étude.
  3. Déterminer les points stationnaires.
  4. Tracer l’allure de la courbe.

Cours

Chapitre 05 : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés