Fonctions vectorielles d’une variable réelle, notions sur les arcs paramétrés

Chapitre 05

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PSI (2e année) — Chapitre 05. Dérivation, interprétation cinématique, notions sur les arcs paramétrés.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.

Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle non trivial de \mathbb{R} et E = \mathbb{R}^m est muni de la norme euclidienne \|\cdot\| = \|\cdot\|_2. On considère des fonctions f : I \to E. Une telle application est définie par ses applications composantes f = (f_1, \ldots, f_m).

1 Fonctions de I dans \mathbb{R}^m

1.1 Limite et continuité

Définition 1.1 — (Limite d’une fonction vectorielle)

Soit f : I \to E une fonction et a un point adhérent à I. On dit que f admet pour limite l \in E en a si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad (x \in I \text{ et } |x - a| < \delta) \implies \|f(x) - l\| < \varepsilon

On note \lim_{x \to a} f(x) = l ou f(x) \xrightarrow[x \to a]{} l.

Définition 1.2 — (Continuité d’une fonction vectorielle)

Soit f : I \to E une fonction et a \in I. On dit que f est continue en a si : \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Proposition 1.1 — (Caractérisation par les composantes)

f = (f_1, \ldots, f_m) est continue en a si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_m sont continues en a.

Exemple 1.1

La fonction f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par f(t) = (\cos t, \sin t) est continue sur \mathbb{R} car \cos et \sin sont continues sur \mathbb{R}.

1.2 Dérivabilité

Définition 1.3 — (Dérivabilité)

Une fonction f \in \mathcal{F}(I, E) avec E = \mathbb{R}^m est dite dérivable en a \in I si et seulement si : \Delta(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} admet une limite l \in E quand x \to a.

Si cette limite existe, on la note f'(a) et on l’appelle (vecteur) dérivée de f au point a.

Tout comme dans le cas des fonctions réelles à valeurs réelles, on pourrait définir la dérivée à droite et la dérivée à gauche d’une fonction f \in \mathcal{F}(I, E).

Proposition 1.2 — (Caractérisation par les composantes)

f = (f_1, \ldots, f_m) est dérivable en a si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_m sont dérivables en a. Dans ce cas : f'(a) = (f_1'(a), f_2'(a), \ldots, f_m'(a))

Exemple 1.2

Pour f(t) = (\cos t, \sin t), on a f'(t) = (-\sin t, \cos t).

Pour g(t) = (t, t^2, t^3), on a g'(t) = (1, 2t, 3t^2).

Proposition 1.3 — (Formes équivalentes de la dérivabilité)

f est dérivable en a si et seulement si l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

  1. Le taux d’accroissement \frac{f(x) - f(a)}{x - a} admet une limite finie quand x \to a.
  2. Il existe un vecteur v \in E et une fonction \varepsilon : I \to E avec \varepsilon(x) \xrightarrow[x \to a]{} 0 tels que : f(x) = f(a) + (x - a)v + (x - a)\varepsilon(x)

Dans ce cas, f'(a) = v.

1.3 Interprétation cinématique

Si m = 2 ou 3, l’ensemble des points f(t) décrit la trajectoire (ou le support) du mouvement d’un mobile dans le plan ou dans l’espace. Le vecteur f'(t) correspond alors au vecteur vitesse et il est tangent à la trajectoire en le point f(t).

Définition 1.4 — (Vitesse instantanée)

Soit f : I \to \mathbb{R}^m une fonction dérivable en t_0. Le vecteur f'(t_0) est appelé la vitesse instantanée du mobile à l’instant t_0.

1.4 Fonctions de classe \mathcal{C}^k

Définition 1.5 — (Fonction vectorielle de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^k}, de classe \boldsymbol{\mathcal{C}^\infty})

Une fonction f : I \to E est dite de classe \mathcal{C}^k sur I si :

  1. f est dérivable k fois sur I.
  2. La dérivée k-ème de f est continue sur I.

On note \mathcal{C}^k(I, E) l’ensemble des fonctions de classe \mathcal{C}^k sur I.

La fonction f est dite de classe \mathcal{C}^\infty sur I si f est indéfiniment dérivable sur I.

Proposition 1.4

L’ensemble \mathcal{C}^k(I, E) des fonctions de classe \mathcal{C}^k sur I est un sous-espace vectoriel de \mathcal{F}(I, E).

Proposition 1.5 — (Caractérisation par les composantes)

f = (f_1, \ldots, f_m) est de classe \mathcal{C}^k sur I si et seulement si toutes ses composantes f_1, \ldots, f_m sont de classe \mathcal{C}^k sur I.

1.5 Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition 1.6 — (Combinaison linéaire)

Soient f, g : I \to E dérivables en a et \lambda, \mu \in \mathbb{R}. Alors \lambda f + \mu g est dérivable en a et : (\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a)

Proposition 1.7 — (Produit par une fonction scalaire)

Soient f : I \to E dérivable en a et \varphi : I \to \mathbb{R} dérivable en a. Alors \varphi \cdot f est dérivable en a et : (\varphi \cdot f)'(a) = \varphi'(a) \cdot f(a) + \varphi(a) \cdot f'(a)

Proposition 1.8 — (Dérivation de \boldsymbol{f \circ \varphi})

Soient f : I \to E dérivable en u_0 \in I et \varphi : J \to I dérivable en t_0 \in J avec \varphi(t_0) = u_0. Alors f \circ \varphi est dérivable en t_0 et : (f \circ \varphi)'(t_0) = \varphi'(t_0) \cdot f'(u_0)

Proposition 1.9 — (Dérivation d’un produit scalaire)

Soient f, g : I \to E dérivables en a, où E est un espace préhilbertien réel. Alors la fonction t \mapsto \langle f(t), g(t) \rangle est dérivable en a et : \frac{d}{dt}\langle f(t), g(t) \rangle \bigg|_{t=a} = \langle f'(a), g(a) \rangle + \langle f(a), g'(a) \rangle

Corollaire 1.1 — (Dérivation de la norme)

Si f : I \to E est dérivable en a et f(a) \neq 0_E, alors t \mapsto \|f(t)\| est dérivable en a et : \frac{d}{dt}\|f(t)\| \bigg|_{t=a} = \frac{\langle f'(a), f(a) \rangle}{\|f(a)\|}

2 Intégration d’une fonction vectorielle sur un segment

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Intégrale d’une fonction vectorielle continue par morceaux)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue par morceaux. On définit l’intégrale de f sur [a,b] par : \int_a^b f(t)\, dt = \left(\int_a^b f_1(t)\, dt, \int_a^b f_2(t)\, dt, \ldots, \int_a^b f_m(t)\, dt\right) où f_1, \ldots, f_m sont les composantes de f dans la base canonique de E = \mathbb{R}^m.

2.2 Propriétés

Proposition 2.1 — (Linéarité)

Soient f, g : [a,b] \to E continues par morceaux et \lambda, \mu \in \mathbb{R}. Alors : \int_a^b (\lambda f + \mu g)(t)\, dt = \lambda \int_a^b f(t)\, dt + \mu \int_a^b g(t)\, dt

Proposition 2.2 — (Relation de Chasles)

Pour tout c \in [a,b] : \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^c f(t)\, dt + \int_c^b f(t)\, dt

Proposition 2.3 — (Inégalité triangulaire)

\left\|\int_a^b f(t)\, dt\right\| \leq \int_a^b \|f(t)\|\, dt

Exemple 2.1

Calculons \int_0^{\pi/2} (\cos t, \sin t)\, dt.

\int_0^{\pi/2} \cos t\, dt = [\sin t]_0^{\pi/2} = 1, \quad \int_0^{\pi/2} \sin t\, dt = [-\cos t]_0^{\pi/2} = 1

Donc : \int_0^{\pi/2} (\cos t, \sin t)\, dt = (1, 1)

2.3 Théorème fondamental du calcul intégral

Théorème 2.1 — (Théorème fondamental du calcul intégral)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue. La fonction : F(x) = \int_a^x f(t)\, dt est de classe \mathcal{C}^1 sur [a,b] et F' = f.

2.4 Intégration par parties

Théorème 2.2 — (Intégration par parties)

Soient u : [a,b] \to E et v : [a,b] \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1. Alors : \int_a^b u'(t) v(t)\, dt = [u(t) v(t)]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\, dt

2.5 Changement de variable

Théorème 2.3 — (Changement de variable)

Soient \varphi \in \mathcal{C}^1([c,d], \mathbb{R}) à valeurs dans [a,b], f \in \mathcal{C}([a,b], E). Alors : \int_a^b f(x)\, dx = \int_c^d f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, dt

3 Inégalité des accroissements finis et formules de Taylor

3.1 Inégalité des accroissements finis

Théorème 3.1 — (Inégalité des accroissements finis)

Soit f : [a,b] \to E une fonction de classe \mathcal{C}^1. Alors : \|f(b) - f(a)\| \leq (b-a) \sup_{[a,b]} \|f'\|

Contrairement au cas des fonctions réelles à valeurs réelles, il n’existe pas de théorème des accroissements finis sous forme d’égalité pour les fonctions vectorielles. Seule l’inégalité est valable.

3.2 Formules de Taylor

Théorème 3.2 — (Formule de Taylor avec reste intégral)

Soit f : I \to E une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur I. Alors pour tous a, x \in I : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\, dt

Théorème 3.3 — (Inégalité de Taylor-Lagrange)

Soit f : I \to E une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur I. Alors pour tous a, x \in I : \left\|f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right\| \leq \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \sup_{[a,x]} \|f^{(n+1)}\|

Théorème 3.4 — (Formule de Taylor-Young)

Soit f : I \to E une fonction n fois dérivable en a. Alors : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n)

Le résultat de Taylor-Young est local, contrairement aux autres résultats. Les hypothèses des résultats globaux sont plus fortes.

3.3 Application : variations d’une fonction

Proposition 3.1 — (Application aux suites définies par récurrence)

Soit (u_n) une suite définie par récurrence u_{n+1} = f(u_n) où f est de classe \mathcal{C}^1. Si f admet un point fixe l et si |f'(l)| < 1, alors la suite (u_n) converge vers l avec une erreur majorée par : |u_n - l| \leq C |f'(l)|^n

4 Arcs paramétrés

4.1 Définitions

Définition 4.1 — (Arc paramétré)

On appelle arc paramétré un couple \gamma = (I, \vec{F}) où I \subset \mathbb{R} est un intervalle et \vec{F} : I \to E une application de classe \mathcal{C}^k(I, E).

Le support de l’arc paramétré est la courbe \Gamma = \vec{F}(I) \subset E.

  • À tout t \in I, on associe le point M \in E tel que \overrightarrow{OM} = \vec{F}(t).
  • Si E = \mathbb{R}^2, on écrira \vec{F}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} et les coordonnées de M seront donc \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}.
  • Si E = \mathbb{R}^3, on écrira \vec{F}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} et les coordonnées de M seront donc \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}.
  • L’ensemble des points M tel que \overrightarrow{OM} = \vec{F}(t) est appelé le support de l’arc paramétré.

L’étude d’un arc paramétré peut s’interpréter ainsi :

  • I est un intervalle de temps.
  • M(t) est un point mobile du plan dont la position à l’instant t \in I est donnée par \overrightarrow{OM}(t) = \vec{F}(t).
  • Le support de l’arc paramétré (I, \vec{F}) est appelé trajectoire du mouvement.

4.2 Points réguliers et stationnaires

Définition 4.2 — (Point régulier, stationnaire)

Un point M = M(t_0) d’un arc paramétré est dit régulier lorsque \vec{F}'(t_0) \neq \vec{0}. Sinon, on dit que c’est un point stationnaire.

4.3 Tangente en un point régulier

Proposition 4.1 — (Tangente en un point régulier)

Un arc paramétré possède une tangente en un point régulier M(t_0), la droite passant par M(t_0) dirigée par le vecteur \vec{F}'(t_0).

Preuve. Notons \vec{u} : I \setminus \{t_0\} \to \mathbb{R}^2 définie par \vec{u}(t) = \frac{\vec{F}(t) - \vec{F}(t_0)}{t - t_0}.

Pour t \neq t_0, le vecteur \vec{u}(t) dirige la droite (M(t_0)M(t)) et \vec{u}(t) \xrightarrow[t \to t_0]{} \vec{F}'(t_0) \neq \vec{0}. Donc la droite passant par M(t_0) dirigée par \vec{F}'(t_0) est la tangente en M(t_0).

4.4 Normale à un arc paramétré plan

Définition 4.3 — (Normale)

Si \gamma : I \to \mathbb{R}^2 est un arc paramétré plan et t_0 un paramètre régulier, la normale à l’arc au point \gamma(t_0) est la droite perpendiculaire à la tangente en ce point.

4.5 Interprétation cinématique des dérivées d’ordre 1 et 2

Si \vec{F} : I \to \mathbb{R}^m est un arc paramétré :

  • \vec{F}'(t) est le vecteur vitesse à l’instant t.
  • \vec{F}''(t) est le vecteur accélération à l’instant t.

4.6 Étude d’une courbe paramétrée plane

Proposition 4.2 — (Méthode d’étude)

Pour étudier une courbe paramétrée plane \gamma(t) = (x(t), y(t)) :

  1. Déterminer le domaine de définition.
  2. Étudier les symétries et la périodicité pour restreindre l’intervalle d’étude.
  3. Dresser le tableau de variations des fonctions x et y et repérer dans ce tableau les points stationnaires, les points à tangente horizontale ou verticale et les branches infinies.
  4. Étudier les points stationnaires.
  5. Étudier les branches infinies.
  6. Tracé sommaire de la courbe.

Exemple 4.1

Étudions la courbe paramétrée : \begin{cases} x(t) = \tan t + \sin t \\ y(t) = \frac{1}{\cos t} \end{cases}

Étape 1 : Les fonctions x et y sont définies sur \mathbb{R} \setminus \{k\pi + \pi/2 ; k \in \mathbb{Z}\}.

Étape 2 : On remarque que x(t + 2\pi) = x(t) et y(t + 2\pi) = y(t). Donc M(t + 2\pi) = M(t). On peut restreindre l’étude à un intervalle de longueur 2\pi.

Étape 3 : On calcule x'(t) et y'(t) : x'(t) = \frac{1}{\cos^2 t} + \cos t = \frac{1 + \cos^3 t}{\cos^2 t} y'(t) = \frac{\sin t}{\cos^2 t}

On étudie les variations et on trace la courbe.

5 Méthode des rectangles et sommes de Riemann

Proposition 5.1 — (Méthode des rectangles)

Soit f : [a,b] \to \mathbb{R} une fonction continue. La méthode des rectangles consiste à approximer l’intégrale \int_a^b f(t)\, dt par des sommes de Riemann : \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\, dt

Proposition 5.2 — (Sommes de Riemann)

Soit f : [a,b] \to E une fonction continue par morceaux. Alors : \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\, dt

6 Exercices

Exercice 6.1

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par f(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t).

  1. Calculer f'(t) et \|f'(t)\|.
  2. Déterminer la tangente à la courbe au point f(0).
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = \ln 2.

Exercice 6.2

Soit \gamma : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (\cos 2t, \sin 3t).

  1. Étudier la parité et la périodicité des composantes.
  2. Déterminer les points singuliers de l’arc.
  3. Calculer \gamma'(t) et déterminer la tangente en un point régulier.

Exercice 6.3

Soit f : [0, 1] \to \mathbb{R}^3 définie par f(t) = (t, t^2, t^3).

  1. Calculer f'(t) et f''(t).
  2. Montrer que l’arc est régulier.
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = 1 (on pourra donner une valeur approchée).

Exercice 6.4

Soient f, g : I \to \mathbb{R}^3 de classe \mathcal{C}^1. Montrer que : \frac{d}{dt}\langle f(t), g(t) \rangle = \langle f'(t), g(t) \rangle + \langle f(t), g'(t) \rangle

Exercice 6.5

Soit \gamma : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (t \cos t, t \sin t).

  1. Calculer \gamma'(t) et montrer que l’arc est régulier.
  2. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = 2\pi.
  3. Interpréter géométriquement la courbe (spirale d’Archimède).

Exercice 6.6

Soit \gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 définie par \gamma(t) = (3\cos t, 2\sin t).

  1. Montrer que l’arc décrit une ellipse.
  2. Calculer \gamma'(t) et déterminer les points où la tangente est horizontale.
  3. Calculer la longueur de l’arc entre t = 0 et t = \pi/2.

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Chapitre 05 : Fonctions vectorielles d’une variable réelle, notions sur les arcs paramétrés