Intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle

Chapitre 04

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PSI (2e année) — Chapitre 04. Fonctions continues par morceaux, intégrales généralisées sur [a,+\infty[, intégrabilité, intégrales généralisées sur un intervalle quelconque, intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}. On note \mathcal{CM}(I, \mathbb{K}) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur un intervalle I à valeurs dans \mathbb{K}.

1 Fonctions continues par morceaux

1.1 Subdivision d’un segment

Définition 1.1 — (Subdivision)

Une subdivision du segment [a,b] est une suite finie (x_0, x_1, \ldots, x_n), où n \in \mathbb{N}^*, telle que : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b

Le pas de la subdivision est le réel \max_{i \in \{1, \ldots, n\}} (x_i - x_{i-1}).

La subdivision est dite régulière si la quantité x_i - x_{i-1} est constante.

1.2 Continuité par morceaux sur un segment

Définition 1.2 — (Continuité par morceaux sur un segment)

Soit f \in \mathcal{F}([a,b], \mathbb{K}). La fonction f est continue par morceaux sur [a,b] si :

  1. Il existe une subdivision \pi = (x_i)_{i \in \{0, \ldots, n\}} de [a,b] telle que pour tout i \in \{0, \ldots, n-1\}, la restriction f|_{]x_i, x_{i+1}[} soit continue.
  2. f admet des limites finies à droite et à gauche en tout point de [a,b].

Définition 1.3 — (Continuité par morceaux sur un intervalle)

Soit f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{K}). La fonction f est continue par morceaux sur I si pour tout (x,y) \in I^2 tel que x < y, la fonction f est continue par morceaux sur [x,y].

Exemple 1.1

  1. Toute fonction continue sur I est continue par morceaux.
  2. La fonction partie entière x \mapsto E(x) est continue par morceaux sur \mathbb{R}. En effet, sur tout segment [a,b], les seuls points de discontinuité sont les entiers k \in [a,b] \cap \mathbb{Z} (en nombre fini), et E admet des limites finies à gauche et à droite en chaque entier.
  3. La fonction en escalier définie sur [0,3] par f(x) = 1 si x \in [0,1[, f(x) = 2 si x \in [1,2[ et f(x) = 3 si x \in [2,3] est continue par morceaux.
  4. La fonction f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} définie par f(x) = \sin(1/x) si x \neq 0 et f(0) = 0 n’est pas continue par morceaux sur un intervalle contenant 0, car elle n’admet pas de limite finie en 0^+ ni en 0^-.

Des fonctions aussi simples que la fonction inverse et la fonction logarithme ne sont pas continues par morceaux sur [0,1] quand bien même on les prolonge artificiellement en 0 car le prolongement ne pourra jamais se faire par continuité. L’exigence de prolongement par continuité de la définition n’est pas anodine.

1.3 Propriétés des fonctions continues par morceaux

Proposition 1.1 — (Structure)

L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a,b] est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de [a,b] dans \mathbb{K} stable par multiplication et par passage à la valeur absolue.

Proposition 1.2 — (Caractère borné)

Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] est bornée et possède donc une norme infinie \|f\|_\infty.

Bornée oui… MAIS ELLE N’ATTEINT PAS FORCÉMENT SES BORNES !

2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

2.1 Fonctions en escalier

Définition 2.1 — (Fonction en escalier, subdivision adaptée)

On dit qu’une fonction f : [a,b] \to \mathbb{C} est en escalier si pour une certaine subdivision (x_0, \ldots, x_n) de [a,b], dite adaptée à f : f \text{ est constante sur } ]x_i, x_{i+1}[ \text{ pour tout } i \in \{0, \ldots, n-1\}

Cette définition ne garantit nullement l’unicité de la subdivision adaptée (x_0, \ldots, x_n) et elle n’impose aucune valeur à f en x_0, \ldots, x_n.

Proposition 2.1 — (Propriétés élémentaires des fonctions en escalier)

Soient f : [a,b] \to \mathbb{C} et g : [a,b] \to \mathbb{C} deux fonctions en escalier et \lambda, \mu \in \mathbb{C}.

  • Ajout de points à une subdivision adaptée : Lorsqu’on ajoute un nombre fini de points à une subdivision de [a,b] adaptée à f, le résultat est encore une subdivision de [a,b] adaptée à f.

  • Opérations sur les fonctions en escalier : La réunion d’une subdivision de [a,b] adaptée à f et d’une subdivision de [a,b] adaptée à g est une subdivision de [a,b] adaptée à f ET à g.

Les fonctions |f|, \mathrm{Re}(f), \mathrm{Im}(f), \lambda f + \mu g et fg sont elles aussi en escalier sur [a,b].

2.2 Intégrale d’une fonction en escalier

Soient f : [a,b] \to \mathbb{C} en escalier et (x_0, \ldots, x_n) une subdivision de [a,b] adaptée à f. Si y_i désigne pour tout i \in \{0, \ldots, n-1\} la valeur de f sur ]x_i, x_{i+1}[, le nombre complexe : \sum_{i=0}^{n-1} y_i (x_{i+1} - x_i) ne dépend pas de la subdivision (x_0, \ldots, x_n) choisie.

On l’appelle l’intégrale de f sur [a,b], notée \int_{[a,b]} f ou \int_a^b f(t)\, dt.

On définit ici directement l’intégrale d’une fonction en escalier COMPLEXE. Une telle intégrale ne peut bien sûr pas être interprétée en termes d’« aire sous la courbe », fût-elle algébrique.

2.3 Approximation uniforme

Théorème 2.1 — (Approximation uniforme d’une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier)

Toute fonction continue par morceaux sur [a,b] à valeurs dans \mathbb{K} est la limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier sur [a,b] à valeurs dans \mathbb{K}.

2.4 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Soit f \in \mathcal{CM}([a,b], \mathbb{K}). Pour toute suite de fonctions en escalier (\varphi_p)_{p \in \mathbb{N}} sur [a,b] qui converge uniformément vers f, la suite \left(\int_{[a,b]} \varphi_p\right)_{p \in \mathbb{N}} converge et sa limite ne dépend pas du choix de (\varphi_p)_{p \in \mathbb{N}}.

Cette limite est appelée l’intégrale de f sur [a,b], notée \int_{[a,b]} f ou \int_a^b f(t)\, dt.

2.5 Propriétés de l’intégrale

Théorème 2.2 — (Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux)

Soient f, g \in \mathcal{CM}([a,b], \mathbb{K}).

  1. Linéarité : Pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{K} : \int_{[a,b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a,b]} f + \mu \int_{[a,b]} g

  2. Inégalité triangulaire : \left|\int_{[a,b]} f\right| \leq \int_{[a,b]} |f|

  3. Relation de Chasles : Pour tout c \in [a,b] : \int_{[a,b]} f = \int_{[a,c]} f + \int_{[c,b]} f

  4. Lien avec les parties réelle et imaginaire : \int_{[a,b]} f = \int_{[a,b]} \mathrm{Re}(f) + i \int_{[a,b]} \mathrm{Im}(f) En particulier, si f est réelle, son intégrale sur [a,b] est un réel.

  5. Modification d’un nombre fini de valeurs : Si f et g sont égales sur [a,b] sauf en un nombre fini de points : \int_{[a,b]} f = \int_{[a,b]} g

Proposition 2.2 — (Croissance)

Si f, g \in \mathcal{CM}([a,b], \mathbb{R}) et si pour tout x \in [a,b], f(x) \leq g(x), alors : \int_{[a,b]} f \leq \int_{[a,b]} g

Proposition 2.3 — (Positivité stricte)

Soit f une fonction continue sur [a,b] à valeurs positives. Alors f \equiv 0 si et seulement si \int_a^b f(t)\, dt = 0.

Ce résultat est faux en général si la fonction est continue par morceaux.

2.6 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Théorème 2.3 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soit (f, g) \in \mathcal{CM}([a,b], \mathbb{R})^2. Alors : \left|\int_{[a,b]} fg\right| \leq \sqrt{\int_{[a,b]} f^2} \cdot \sqrt{\int_{[a,b]} g^2}

De plus, lorsque f et g sont continues sur [a,b], il y a égalité si et seulement si f et g sont colinéaires.

2.7 Sommes de Riemann

Proposition 2.4 — (Sommes de Riemann)

Soit f : [a,b] \to \mathbb{K} une fonction continue par morceaux. Alors : \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\, dt

3 Intégration et dérivation

3.1 Primitives

Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction. On dit qu’une fonction F : I \to \mathbb{K} est UNE primitive de f sur I si F est dérivable sur I de dérivée f.

Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

3.2 Théorème fondamental du calcul intégral

Théorème 3.1 — (Théorème fondamental du calcul intégral)

Soit f une fonction continue sur I et a \in I. La fonction : x \mapsto \int_a^x f(t)\, dt est une primitive de f sur I. C’est l’unique primitive de f qui s’annule en a.

De plus, pour toute primitive G de f sur I : G(x) = G(a) + \int_a^x f(t)\, dt

3.3 Inégalité des accroissements finis

Théorème 3.2 — (Inégalité des accroissements finis)

Si f est de classe \mathcal{C}^1 sur le segment [a,b], alors : |f(b) - f(a)| \leq (b-a) \sup_{[a,b]} |f'|

3.4 Intégration par parties

Théorème 3.3 — (Intégration par parties ou IPP)

Soient u, v \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{K}) et a, b \in I. Alors : \int_a^b u' v = [uv]_a^b - \int_a^b u v'

3.5 Changement de variable

Théorème 3.4 — (Changement de variable)

Soient \varphi \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{R}) à valeurs dans J, f \in \mathcal{C}(J, \mathbb{K}) et a, b \in I. Alors : \int_a^b f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\, dx

Un changement de variable affine permet d’exploiter la périodicité et les symétries, ou pour se ramener au cas où l’intervalle d’intégration est [0,1] ou [-1,1].

3.6 Intégrales d’une fonction paire/impaire/périodique

Théorème 3.5 — (Intégrales d’une fonction paire/impaire/périodique)

  1. Fonctions paires/impaires : Soit f \in \mathcal{CM}([-a,a], \mathbb{K}).
    • Si f est paire : \int_{-a}^a f(x)\, dx = 2\int_0^a f(x)\, dx
    • Si f est impaire : \int_{-a}^a f(x)\, dx = 0
  2. Fonctions périodiques : Pour toute fonction f \in \mathcal{CM}(\mathbb{R}, \mathbb{K}) T-périodique : \int_a^{a+T} f(x)\, dx = \int_0^T f(x)\, dx

4 Intégrales généralisées sur [a, +\infty[

4.1 Définition

Définition 4.1 — (Convergence d’une intégrale généralisée sur \boldsymbol{[a, b[})

Soit f \in \mathcal{CM}([a, b[, \mathbb{K}). L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\, dt converge si la fonction x \mapsto \int_a^x f(t)\, dt possède une limite finie lorsque x tend vers b.

Dans ce cas, on pose : \int_a^b f(t)\, dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\, dt

Définition 4.2 — (Convergence d’une intégrale généralisée sur \boldsymbol{[a, +\infty[})

Soit f \in \mathcal{CM}([a, +\infty[, \mathbb{K}). L’intégrale généralisée \int_a^{+\infty} f(t)\, dt converge si la fonction x \mapsto \int_a^x f(t)\, dt possède une limite finie lorsque x \to +\infty.

4.2 Propriétés

Proposition 4.1 — (Intégrale faussement impropre)

Soit f une fonction continue par morceaux sur le segment [a,b]. Alors les intégrales de f sur [a,b], ]a,b], ]a,b[ et [a,b[ sont égales.

Proposition 4.2 — (Linéarité)

Soit \lambda \in \mathbb{K}. Si \int_a^b f(t)\, dt et \int_a^b g(t)\, dt convergent, alors \int_a^b (f(t) + \lambda g(t))\, dt converge et : \int_a^b (f(t) + \lambda g(t))\, dt = \int_a^b f(t)\, dt + \lambda \int_a^b g(t)\, dt

Proposition 4.3 — (Relation de Chasles)

On suppose que \int_a^b f(t)\, dt converge et c \in ]a,b[. Alors \int_a^c f(t)\, dt et \int_c^b f(t)\, dt convergent et : \int_a^b f(t)\, dt = \int_a^c f(t)\, dt + \int_c^b f(t)\, dt

4.3 Intégrales de référence

Proposition 4.4 — (Intégrales de Riemann)

  1. Intégrales de Riemann sur [1, +\infty[ : \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1. Alors : \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}

  2. Intégrales de Riemann sur ]0, 1] : \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} converge si et seulement si \alpha < 1. Alors : \int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha} = \frac{1}{1-\alpha}

Proposition 4.5 — (Fonction exponentielle)

\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt converge si et seulement si \alpha > 0. Alors : \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\, dt = \frac{1}{\alpha}

Proposition 4.6 — (Fonction logarithme)

\int_0^1 \ln(t)\, dt converge. De plus : \int_0^1 \ln(t)\, dt = -1

5 Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

5.1 Définitions

Définition 5.1 — (Convergence sur un intervalle quelconque)

Dans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle de \mathbb{R} d’extrémités a et b, où -\infty \leq a < b \leq +\infty.

  • Si I = [a, b[ : L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\, dt converge si x \mapsto \int_a^x f(t)\, dt possède une limite finie lorsque x \to b^-.

  • Si I = ]a, b] : L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\, dt converge si x \mapsto \int_x^b f(t)\, dt possède une limite finie lorsque x \to a^+.

  • Si I = ]a, b[ : L’intégrale généralisée \int_a^b f(t)\, dt converge s’il existe c \in ]a,b[ tel que \int_a^c f(t)\, dt et \int_c^b f(t)\, dt soient convergentes.

5.2 Fonctions à valeurs réelles

Proposition 5.1 — (Positivité)

Si f \geq 0 sur I et si \int_a^b f(t)\, dt converge, alors : \int_a^b f(t)\, dt \geq 0

Proposition 5.2 — (Croissance)

Si f \leq g sur I et si les deux intégrales convergent, alors : \int_a^b f(t)\, dt \leq \int_a^b g(t)\, dt

6 Convergence absolue et fonctions intégrables

6.1 Convergence absolue

Définition 6.1 — (Convergence absolue)

L’intégrale \int_a^b f(t)\, dt est absolument convergente si l’intégrale \int_a^b |f(t)|\, dt est convergente.

Théorème 6.1 — (Absolue convergence implique convergence)

Si l’intégrale \int_a^b f(t)\, dt est absolument convergente, alors elle est convergente. La fonction f est alors intégrable sur I. La valeur de son intégrale sera notée \int_a^b f(t)\, dt ou \int_I f(t)\, dt ou \int_I f.

Théorème 6.2 — (Inégalité triangulaire)

Si \int_a^b f(t)\, dt est absolument convergente, alors : \left|\int_a^b f(t)\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\, dt

Théorème 6.3

Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction continue et intégrable sur I. Si \int_I |f| = 0, alors f \equiv 0 sur I.

6.2 Théorème de comparaison

Théorème 6.4 — (Théorème de comparaison)

On suppose que I = [a, b[.

  1. Si |f| \leq |g| sur I et g est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I.
  2. Si f = O_b(g) et g est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I.
  3. Si f(t) \sim_b g(t), alors f est intégrable sur I si et seulement si g est intégrable sur I.

Proposition 6.1 — (Comparaison par domination)

Soient f, g \in \mathcal{CM}([a,b[, \mathbb{R}^+) telles que 0 \leq f(t) \leq g(t) au voisinage de b.

  1. Si \int_a^b g(t)\, dt converge, alors \int_a^b f(t)\, dt converge.
  2. Si \int_a^b f(t)\, dt diverge, alors \int_a^b g(t)\, dt diverge.

7 Méthodes de calcul

7.1 Primitives

Théorème 7.1 — (Primitive)

Soit f une fonction continue sur [a,b[ possédant une primitive F. Alors \int_a^b f(t)\, dt converge si et seulement si F possède une limite finie en b. Si ces propriétés sont vérifiées : \int_a^b f(t)\, dt = \lim_{x \to b^-} F(x) - F(a)

7.2 Intégration par parties

Théorème 7.2 — (Intégration par parties)

Soient f et g deux fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I. Si la fonction fg a une limite finie en a et en b, alors les intégrales \int_a^b f'(t)g(t)\, dt et \int_a^b f(t)g'(t)\, dt sont de même nature. Si ces quantités sont convergentes, en notant : [f(t)g(t)]_a^b = \lim_{x \to b^-} (f(x)g(x)) - \lim_{x \to a^+} (f(x)g(x)) on obtient la relation : \int_a^b f'(t)g(t)\, dt = [f(t)g(t)]_a^b - \int_a^b f(t)g'(t)\, dt

7.3 Changement de variable

Théorème 7.3 — (Changement de variable)

Soit \varphi : I \to J une bijection de classe \mathcal{C}^1. Alors : \int_I f(x)\, dx = \int_{\varphi^{-1}(I)} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, dt

8 Espaces fonctionnels

8.1 Définitions

Définition 8.1 — (\boldsymbol{\mathcal{L}^1} et \boldsymbol{\mathcal{L}^2})

  1. L’ensemble des fonctions continues par morceaux intégrables sur I, à valeurs dans \mathbb{K}, est noté \mathcal{L}^1(I, \mathbb{K}).

  2. L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I, à valeurs dans \mathbb{K}, de carré intégrable, c’est-à-dire pour lesquelles |f|^2 est intégrable sur I, est noté \mathcal{L}^2(I, \mathbb{K}).

Théorème 8.1 — (Structure d’espace vectoriel)

\mathcal{L}^1(I, \mathbb{K}) et \mathcal{L}^2(I, \mathbb{K}) sont des \mathbb{K}-espaces vectoriels.

9 Exercices

Exercice 9.1

Donner des exemples de fonctions continues par morceaux. Montrer que toute fonction continue par morceaux est bornée. Ses bornes sont-elles nécessairement atteintes ?

Exercice 9.2

Montrer que la fonction définie sur \mathbb{R}^+ par f(x) = x \lfloor 1/x \rfloor si x \neq 0 et f(0) = 1, n’est pas continue par morceaux sur \mathbb{R}^+.

Exercice 9.3

Montrer que \int_1^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1.

Exercice 9.4

Montrer que, si f est continue par morceaux, positive et décroissante sur \mathbb{R}^+, alors : \int_0^{+\infty} f(x)\, dx \text{ converge} \iff \sum f(n) \text{ converge}

Exercice 9.5

Étudier l’intégrabilité des fonctions suivantes :

  1. t \mapsto \frac{\sin(t)}{t^2} sur [1, +\infty[
  2. t \mapsto t\cos(t) et t \mapsto \frac{1}{t} sur ]0, +\infty[
  3. t \mapsto \frac{1}{1-t^2} sur [0, 1[

Exercice 9.6 — (Fonction Gamma d’Euler)

Pour tout nombre réel x, on pose, sous réserve d’existence : \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt

  1. Montrer que \Gamma(x) existe pour tout x > 0.
  2. Montrer que \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) pour tout x > 0.
  3. En déduire que \Gamma(n+1) = n! pour tout n \in \mathbb{N}.

Exercice 9.7

Soit \alpha > 1. Montrer que l’intégrale \int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{1+x^\alpha}\, dx est absolument convergente.

Exercice 9.8

Déterminer une fonction f qui appartienne à \mathcal{L}^1(]0,1], \mathbb{R}) mais pas à \mathcal{L}^2(]0,1], \mathbb{R}).

Déterminer une fonction f qui appartienne à \mathcal{L}^2([1,+\infty[, \mathbb{R}) mais pas à \mathcal{L}^1([1,+\infty[, \mathbb{R}).

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Chapitre 04 : Intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle