Topologie des espaces normés

Chapitre 03

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PSI (2e année) — Chapitre 03. Normes et EVN, suites d’éléments d’un EVN, comparaison de normes, topologie d’un EVN, étude locale et propriétés globales d’une application continue, EVN de dimension finie.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.

Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Normes et espaces vectoriels normés

1.1 Définitions

Définition 1.1 — (Norme)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application \|\cdot\| : E \to \mathbb{R}^+ qui vérifie :

  1. Séparation : \forall x \in E, \quad \|x\| = 0 \iff x = 0_E
  2. Homogénéité : \forall \lambda \in \mathbb{K}, \; \forall x \in E, \quad \|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|
  3. Inégalité triangulaire : \forall x, y \in E, \quad \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|

Un espace vectoriel normé (EVN) est un couple (E, \|\cdot\|) où E est un \mathbb{K}-espace vectoriel et \|\cdot\| est une norme sur E.

Définition 1.2 — (Distance associée à une norme)

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN. La distance associée à la norme est l’application d : E \times E \to \mathbb{R}^+ définie par : d(x, y) = \|x - y\|

Pour une partie P non vide de E et un vecteur x \in E, la distance de x à P est : d(x, P) = \inf_{y \in P} d(x, y)

Proposition 1.1 — (Propriétés de la distance)

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN. Alors :

  1. \forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \iff x = y
  2. \forall x, y \in E, \quad d(x, y) = d(y, x) (symétrie)
  3. \forall x, y, z \in E, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire)

Définition 1.3 — (Boules et sphères)

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN, a \in E et r > 0.

  • La boule ouverte de centre a et de rayon r est : B(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| < r\}

  • La boule fermée de centre a et de rayon r est : \overline{B}(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| \leq r\}

  • La sphère de centre a et de rayon r est : S(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| = r\}

1.2 Normes usuelles

Définition 1.4 — (Normes usuelles sur \boldsymbol{\mathbb{K}^n})

Sur \mathbb{K}^n, on définit les trois normes suivantes pour x = (x_1, \ldots, x_n) :

  1. \|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k|
  2. \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^n |x_k|^2}
  3. \|x\|_\infty = \max_{1 \leq k \leq n} |x_k|

Définition 1.5 — (Norme de la convergence uniforme)

Si X est un ensemble non vide, l’espace \mathcal{B}(X, \mathbb{K}) des fonctions bornées de X dans \mathbb{K} est un EVN pour la norme : \|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|

Cette norme est appelée norme de la convergence uniforme (ou norme infinie).

Définition 1.6 — (Normes de la convergence en moyenne)

Sur l’espace \mathcal{C}([a,b], \mathbb{K}) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs dans \mathbb{K}, on définit :

  1. \|f\|_1 = \int_a^b |f(t)|\, dt (convergence en moyenne)
  2. \|f\|_2 = \left(\int_a^b |f(t)|^2\, dt\right)^{1/2} (convergence en moyenne quadratique)

1.3 Normes produit

Proposition 1.2 — (Normes produit)

Soient (E_1, \mathcal{N}_1), \ldots, (E_n, \mathcal{N}_n) des EVN. Alors les applications suivantes définissent des normes sur le produit cartésien E = E_1 \times \cdots \times E_n :

  1. \|x\|_1 = \sum_{k=1}^n \mathcal{N}_k(x_k)
  2. \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^n \mathcal{N}_k(x_k)^2}
  3. \|x\|_\infty = \max_{1 \leq k \leq n} \mathcal{N}_k(x_k)

Ces normes sont appelées normes produit.

Exemple 1.1

Pour x = ((1,2), (3,4)) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 avec \mathbb{R}^2 muni de la norme \|\cdot\|_2 : \|x\|_1 = \sqrt{1+4} + \sqrt{9+16} = \sqrt{5} + 5 \|x\|_2 = \sqrt{5 + 25} = \sqrt{30} \|x\|_\infty = \max(\sqrt{5}, 5) = 5

2 Suites d’éléments d’un EVN

2.1 Convergence et divergence

Définition 2.1 — (Suites convergentes et divergentes)

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et (u_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite d’éléments de E.

On dit que la suite (u_n) converge vers l \in E si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad n \geq N \implies \|u_n - l\| < \varepsilon

Dans le cas contraire, on dit que la suite (u_n) diverge.

Proposition 2.1 — (Unicité de la limite)

Une suite convergente d’éléments d’un EVN possède une limite unique.

Proposition 2.2 — (Opérations algébriques sur les limites)

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et (u_n), (v_n) deux suites d’éléments de E convergeant respectivement vers l et l'. Alors pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{K} : \lambda u_n + \mu v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda l + \mu l'

Proposition 2.3 — (Caractère borné d’une suite convergente)

Toute suite convergente d’éléments d’un EVN est bornée.

Proposition 2.4 — (Suites extraites)

Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente et possède la même limite.

2.2 Convergence dans un produit fini d’espaces normés

Proposition 2.5 — (Convergence dans un produit fini)

Soient (E_1, \mathcal{N}_1), \ldots, (E_n, \mathcal{N}_n) des EVN. On munit E = \prod_{i=1}^n E_i de l’une des normes produit \|\cdot\|_i (i \in \{1, 2, \infty\}). Soit (u_k)_{k \in \mathbb{N}} = (u_k^{(1)}, \ldots, u_k^{(n)}) une suite d’éléments de E. Alors : (u_k) \to (l^{(1)}, \ldots, l^{(n)}) \iff \forall i \in \{1, \ldots, n\}, \quad (u_k^{(i)}) \to l^{(i)}

2.3 Suites de Cauchy

Définition 2.2 — (Suite de Cauchy)

On dit qu’une suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} d’éléments d’un EVN (E, \|\cdot\|) est de Cauchy si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad p, q \geq N \implies \|u_p - u_q\| < \varepsilon

Proposition 2.6

Toute suite convergente est de Cauchy.

Définition 2.3 — (Espace complet ou de Banach)

On dira que E est un espace de Banach (ou un EVN complet) si toute suite d’éléments de E de Cauchy est convergente.

Exemple 2.1

\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^n, \mathbb{C}^n munis des normes usuelles sont des espaces de Banach.

Plus généralement, un EVN de dimension finie est complet.

\mathbb{Q} muni de la valeur absolue n’est pas un espace de Banach.

3 Comparaison de normes

3.1 Définition et propriétés

Définition 3.1 — (Normes équivalentes)

Soient \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 deux normes sur un \mathbb{K}-espace vectoriel E. On dit que \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 sont équivalentes s’il existe deux réels a > 0 et b > 0 tels que : \forall x \in E, \quad a \cdot \mathcal{N}_1(x) \leq \mathcal{N}_2(x) \leq b \cdot \mathcal{N}_1(x)

Exemple 3.1

Dans \mathbb{K}^n, les trois normes \|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2, \|\cdot\|_\infty sont équivalentes.

Proposition 3.1 — (Propriétés des normes équivalentes)

Soient \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 deux normes équivalentes sur E. Alors :

  1. Une partie, une suite ou une fonction bornée pour \mathcal{N}_1 est bornée pour \mathcal{N}_2, et réciproquement.
  2. Toute suite convergente pour \mathcal{N}_1 est convergente pour \mathcal{N}_2, et réciproquement.
  3. Les deux normes \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 définissent la même topologie sur E (c’est-à-dire les mêmes parties ouvertes et fermées).

Exemple 3.2 — (Normes non équivalentes)

Considérons l’espace vectoriel E = \mathbb{R}[X]. On définit sur E les deux normes suivantes : \|P\|_\infty = \max_k |a_k| \quad \text{et} \quad \|P\|_h = \sum_{k=0}^{\deg(P)} \frac{|a_k|}{1+k} pour P = \sum_{k=0}^{\deg(P)} a_k X^k.

Considérons la suite (P_n) de polynômes définie par P_n = X^n. On a : \|P_n\|_\infty = 1 \quad \text{et} \quad \|P_n\|_h = \frac{1}{n+1} \to 0

Ces deux normes ne sont donc pas équivalentes.

Lorsqu’il y a équivalence des normes, travailler avec n’importe quelle norme ne change rien à :

  1. La définition des ouverts et des fermés de E (propriétés topologiques).
  2. La convergence des suites d’éléments de E.
  3. Les limites des applications définies sur E ou dans E.

4 Topologie d’un EVN

4.1 Ouverts et fermés

Définition 4.1 — (Ouvert et fermé d’un EVN)

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN.

On appelle ouvert de E toute partie \mathcal{O} vide ou vérifiant : \forall x \in \mathcal{O}, \quad \exists r > 0, \quad B(x, r) \subset \mathcal{O}

Une partie F de E est dite fermée si \complement_E(F) est un ouvert de E.

Exemple 4.1

  • Les boules ouvertes sont des ouverts.
  • Les boules fermées sont des fermés.
  • Les sphères sont des fermés.

Proposition 4.1 — (Stabilité des ouverts et des fermés)

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN.

  1. Toute réunion d’ouverts est un ouvert.
  2. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
  3. Toute intersection de fermés est un fermé.
  4. Toute réunion finie de fermés est un fermé.

4.2 Point adhérent, adhérence, frontière

Définition 4.2 — (Point adhérent, adhérence, frontière)

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et A une partie de E.

  • Un point a \in E est adhérent à A si toute boule ouverte centrée en a rencontre A : \forall \varepsilon > 0, \quad B(a, \varepsilon) \cap A \neq \varnothing

  • L’adhérence de A, notée \overline{A}, est l’ensemble des points adhérents à A.

  • L’intérieur de A, noté \mathrm{Int}(A) ou \mathring{A}, est l’ensemble des points x tels qu’il existe r > 0 avec B(x, r) \subset A.

  • La frontière de A, notée \mathrm{Fr}(A), est \overline{A} \setminus \mathring{A}.

Proposition 4.2 — (Caractérisation séquentielle des points adhérents et des fermés)

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et A une partie de E. Alors :

  1. a \in \overline{A} \iff \exists (u_n)_n \subset A \; / \; u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a
  2. A est fermée \iff A = \overline{A}

4.3 Parties denses

Définition 4.3 — (Parties denses)

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et A une partie de E. A est dite dense dans E si : \forall x \in E, \quad \forall \varepsilon > 0, \quad B(x, \varepsilon) \cap A \neq \varnothing

Proposition 4.3 — (Caractérisation des parties denses)

A est dense dans E si et seulement si \overline{A} = E.

Exemple 4.2

\mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}. Plus généralement, \mathbb{Q}^n est dense dans \mathbb{R}^n.

Proposition 4.4 — (Continuité et densité)

Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales.

5 Étude locale et propriétés globales d’une application continue

5.1 Limite en un point

Définition 5.1 — (Limite en un point)

Soient (E, \|\cdot\|) et (F, \|\cdot\|') deux EVN, A une partie non vide de E, f : A \to F une application et a un point adhérent à A. On dit que f admet pour limite l \in F en a si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad (x \in A \text{ et } \|x - a\| < \delta) \implies \|f(x) - l\|' < \varepsilon

5.2 Continuité

Définition 5.2 — (Continuité en un point et sur une partie)

Soient (E, \|\cdot\|) et (F, \|\cdot\|') deux EVN, A une partie non vide de E et f : A \to F une application.

  • f est continue en a \in A si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad (x \in A \text{ et } \|x - a\| < \delta) \implies \|f(x) - f(a)\|' < \varepsilon

  • f est continue sur A si elle est continue en tout point de A.

Proposition 5.1 — (Caractérisation séquentielle de la continuité)

f est continue en a si et seulement si pour toute suite (x_n)_n d’éléments de A convergeant vers a, la suite (f(x_n))_n converge vers f(a).

Proposition 5.2 — (Opérations sur les applications continues)

  1. Toute combinaison linéaire d’applications continues est continue.
  2. La composée de deux applications continues est continue.

5.3 Image réciproque d’un ouvert ou d’un fermé

Proposition 5.3 — (Image réciproque d’un ouvert/fermé)

Soient (E, \|\cdot\|) et (F, \|\cdot\|') deux EVN et f : E \to F une application continue. Alors :

  1. Si O est un ouvert de F, alors f^{-1}(O) est un ouvert de E.
  2. Si F est un fermé de F, alors f^{-1}(F) est un fermé de E.

Proposition 5.4

Si f : E \to \mathbb{R} est continue, alors :

  • \{x \in E \mid f(x) > 0\} et \{x \in E \mid f(x) < 0\} sont des ouverts.
  • \{x \in E \mid f(x) = 0\}, \{x \in E \mid f(x) \geq 0\}, \{x \in E \mid f(x) \leq 0\} sont des fermés.

5.4 Applications lipschitziennes et uniformément continues

Définition 5.3 — (Application lipschitzienne)

Soient (E, \|\cdot\|) et (F, \|\cdot\|') deux EVN. Une application f : E \to F est dite lipschitzienne s’il existe K \geq 0 tel que : \forall x, y \in E, \quad \|f(x) - f(y)\|' \leq K \|x - y\|

Définition 5.4 — (Application uniformément continue)

Une application f : E \to F est dite uniformément continue si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad \forall x, y \in E, \quad \|x - y\| < \delta \implies \|f(x) - f(y)\|' < \varepsilon

Proposition 5.5

Toute application lipschitzienne est uniformément continue. Toute application uniformément continue est continue.

Exemple 5.1

L’application x \mapsto d(x, B) où B est une partie non vide d’un EVN E est 1-lipschitzienne.

5.5 Continuité des applications linéaires

Proposition 5.6 — (Continuité des applications linéaires)

Soient (E, \|\cdot\|) et (F, \|\cdot\|') deux EVN et u : E \to F une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. u \in \mathcal{L}_c(E, F) (applications linéaires continues).
  2. u est continue en 0_E.
  3. Il existe C \geq 0 tel que : \forall x \in E, \quad \|u(x)\|' \leq C \|x\|.
  4. u est uniformément continue.

6 EVN de dimension finie

6.1 Équivalence des normes en dimension finie

Théorème 6.1 — (Admis)

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n \in \mathbb{N}^* et \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base de E.

Toutes les normes sur E sont équivalentes.

En dimension finie, l’étude topologique d’un EVN E se ramène à celle de \mathbb{K}^n muni d’une norme. Le théorème de l’équivalence des normes permet de ramener l’étude topologique à celle de l’espace \mathbb{K}^n (\mathbb{K} = \mathbb{R} ou \mathbb{C}) qui peut servir de cadre à la présentation des différentes notions (boules, ouverts, limite et continuité, …).

6.2 Propriétés topologiques en dimension finie

Proposition 6.1

Dans un EVN de dimension finie :

  1. Toute partie fermée et bornée est compacte.
  2. Tout sous-espace vectoriel est fermé.
  3. Toute partie compacte est fermée et bornée.

6.3 Continuité des applications multilinéaires

Proposition 6.2 — (Continuité des applications multilinéaires)

Soient E_1, \ldots, E_p, F des EVN de dimension finie. Toute application f : E_1 \times \cdots \times E_p \to F multilinéaire est continue.

Exemple 6.1

Le déterminant est une forme multilinéaire et l’espace de départ \mathbb{K}^n \times \cdots \times \mathbb{K}^n est de dimension finie n^2, donc il est continu.

6.4 Parties compactes

Définition 6.1 — (Partie compacte)

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN. On dit qu’une partie K de E est compacte si toute suite d’éléments de K admet une valeur d’adhérence dans K.

Proposition 6.3 — (Produit de compacts)

Soient (E_1, \mathcal{N}_1), \ldots, (E_n, \mathcal{N}_n) des EVN. Pour tout i \in \{1, \ldots, n\}, K_i est un compact de E_i. Posons E = \prod_{i=1}^n E_i et munissons E d’une norme produit \mathcal{N}. Alors K_1 \times \cdots \times K_n est un compact de E.

Proposition 6.4 — (Image d’un compact par une application continue)

Soient (E, \|\cdot\|) et (F, \|\cdot\|') deux EVN, f : E \to F une application continue et K une partie compacte de E. Alors f(K) est une partie compacte de F.

Corollaire 6.1 — (Théorème des bornes atteintes)

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et f : E \to \mathbb{R} une application continue. Si K est un compact de E, alors f est bornée et atteint ses bornes sur K.

En particulier, pour une application f : [a,b] \to \mathbb{R} continue, f est bornée et atteint ses bornes sur le segment [a,b].

Théorème 6.2 — (Théorème de Heine)

Toute application continue sur une partie compacte est uniformément continue.

6.5 Parties connexes par arcs

Définition 6.2 — (Partie connexe par arcs)

Soit (E, \|\cdot\|) un EVN. On dit qu’une partie A de E est connexe par arcs si pour tous a, b \in A, il existe un chemin continu \gamma : [0, 1] \to A tel que \gamma(0) = a et \gamma(1) = b.

Proposition 6.5

Soit f : E \to F une application continue. Alors f(A) est une partie connexe par arcs de F.

Corollaire 6.2 — (Théorème des valeurs intermédiaires)

Soit f : I \to \mathbb{R} une application continue et (a,b) \in I^2 tel que a < b. Posons \alpha = \min\{f(a), f(b)\} et \beta = \max\{f(a), f(b)\}. Alors : \forall y \in [\alpha, \beta], \quad \exists x \in [a, b] \text{ tel que } y = f(x)

Proposition 6.6 — (Cas des parties convexes et étoilées)

  • Toute partie convexe est connexe par arcs.
  • Toute partie étoilée est connexe par arcs.
  • Les parties connexes par arcs de \mathbb{R} sont les intervalles.

7 Exercices

Exercice 7.1

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et (u_n) une suite d’éléments de E. Montrer que :

  1. Si u_n \to l, alors \|u_n\| \to \|l\|.
  2. La réciproque est fausse. Donner un contre-exemple.

Exercice 7.2

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et B(a, r) une boule ouverte. Montrer que B(a, r) est un ouvert.

Exercice 7.3

Soient \mathcal{N}_1 et \mathcal{N}_2 deux normes équivalentes sur E. Montrer que les deux normes définissent la même topologie sur E.

Exercice 7.4

Soient (E, \|\cdot\|) et (F, \|\cdot\|') deux EVN et f : E \to F une application continue. Montrer que si K est un compact de E, alors f(K) est un compact de F.

Exercice 7.5

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F est fermé.

Exercice 7.6

Soient E = \mathbb{R}[X] et P_n = X^n pour tout n \in \mathbb{N}. Montrer que les normes \|\cdot\|_\infty et \|\cdot\|_h ne sont pas équivalentes sur E.

Exercice 7.7

Soient (E, \|\cdot\|) un EVN et (u_n) une suite de Cauchy d’éléments de E. Montrer que (u_n) est bornée.

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Chapitre 03 : Topologie des espaces normés