Compléments sur les séries numériques. Suites et séries de fonctions

Chapitre 06

PSI (2e année) — Chapitre 06. Compléments sur les séries numériques (comparaison série-intégrale, produit de Cauchy), modes de convergence (simple, uniforme, normale), stabilité des propriétés (continuité, dérivabilité, intégrabilité) par passage à la limite.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PSI.

Dans tout ce chapitre, X désigne un ensemble non vide, I un intervalle de \mathbb{R}, E un \mathbb{K}-espace vectoriel normé de dimension finie (\mathbb{K} = \mathbb{R} ou \mathbb{C}), et \mathcal{F}(X, E) l’ensemble des fonctions de X dans E.

1 Compléments sur les séries numériques

1.1 Comparaison série-intégrale

Théorème 1.1 — (Théorème de comparaison série-intégrale)

Soit f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ une fonction continue, positive et décroissante. Alors :

1. Pour tout n \in \mathbb{N}^* : \int_a^{n+1} f(t)\, dt \leq \sum_{k=0}^n f(a + k) \leq f(a) + \int_a^n f(t)\, dt

2. La série \sum_{k=0}^{+\infty} f(a+k) et l’intégrale \int_a^{+\infty} f(t)\, dt sont de même nature.

Preuve. La fonction f étant décroissante, pour tout k \in \mathbb{N} : \int_k^{k+1} f(t)\, dt \leq f(k) \leq \int_{k-1}^k f(t)\, dt

En sommant ces inégalités de k = 0 à n, on obtient le résultat.

Exemple 1.1

La série harmonique \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} diverge car : \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} = +\infty et \frac{1}{x} est continue, positive et décroissante sur [1, +\infty[.

Exemple 1.2 — (Encadrement des sommes partielles)

Pour la série harmonique, on a l’encadrement : \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \leq 1 + \ln n

On en déduit que la constante d’Euler \gamma = \lim_{n \to +\infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\right) existe.

1.2 Produit de Cauchy

Définition 1.1 — (Produit de Cauchy)

Soient \sum_{n \geq 0} a_n et \sum_{n \geq 0} b_n deux séries numériques. On appelle série produit de Cauchy (ou simplement produit de Cauchy) des deux séries la série \sum_{n \geq 0} c_n où : c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = \sum_{\substack{i+j=n \\ i,j \geq 0}} a_i b_j

Une autre façon d’écrire le coefficient c_n est : c_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j.

Théorème 1.2 — (Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes)

Si les séries \sum_{n=0}^{+\infty} a_n et \sum_{n=0}^{+\infty} b_n de nombres réels (ou complexes) sont absolument convergentes, alors la série produit \sum_{n=0}^{+\infty} c_n est absolument convergente et : \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\right)

Exemple 1.3 — (Application à la fonction exponentielle)

On admet que pour x \in \mathbb{R}, la série \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} converge et vaut e^x.

Que vaut la série produit associée à e^a \times e^b ? Par le théorème du produit de Cauchy : c_n = \sum_{k=0}^n \frac{a^k}{k!} \cdot \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a+b)^n}{n!}

Donc : e^a \cdot e^b = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} = e^{a+b}

Exemple 1.4 — (Contre-exemple : produit de Cauchy de séries non absolument convergentes)

Soient a_i = b_i = \frac{(-1)^i}{\sqrt{i+1}} pour i \geq 0. Alors \sum a_i et \sum b_i sont convergentes par le critère de Leibniz, mais ne sont pas absolument convergentes.

On a : c_k = \sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i}{\sqrt{i+1}} \cdot \frac{(-1)^{k-i}}{\sqrt{k-i+1}} = (-1)^k \sum_{i=0}^k \frac{1}{\sqrt{(i+1)(k-i+1)}}

Cette série peut être divergente.

Exemple 1.5

Le produit de Cauchy de \sum_{n \geq 0} x^n par elle-même donne : c_n = \sum_{k=0}^n 1 \cdot 1 = n+1

Donc : \left(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n\right)^2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2} pour |x| < 1.

2 Norme de la convergence uniforme

2.1 Fonctions bornées

Définition 2.1 — (Fonction bornée)

Une fonction f : X \to E est dite bornée si l’ensemble \{f(x) \mid x \in X\} est borné dans E, c’est-à-dire s’il existe M > 0 tel que : \forall x \in X, \quad \|f(x)\| \leq M

On note \mathcal{B}(X, E) l’ensemble des fonctions bornées de X dans E.

Définition 2.2 — (Norme de la convergence uniforme)

Pour f \in \mathcal{B}(X, E), on définit : \|f\|_\infty = \sup_{x \in X} \|f(x)\|

L’application f \mapsto \|f\|_\infty est une norme sur \mathcal{B}(X, E), appelée norme de la convergence uniforme (ou norme infinie).

Proposition 2.1 — (Propriétés de la norme)

Pour f, g \in \mathcal{B}(X, E) et \lambda \in \mathbb{K} :

1. \|f\|_\infty = 0 \iff f = 0
2. \|\lambda f\|_\infty = |\lambda| \cdot \|f\|_\infty
3. \|f + g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty (inégalité triangulaire)

3 Suites de fonctions

3.1 Convergence simple

Définition 3.1 — (Convergence simple d’une suite de fonctions)

Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E. On dit que la suite (f_n) converge simplement vers une fonction f : X \to E si : \forall x \in X, \quad f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x)

Autrement dit, pour tout x \in X et tout \varepsilon > 0, il existe N \in \mathbb{N} (qui dépend de x et de \varepsilon) tel que : n \geq N \implies \|f_n(x) - f(x)\| < \varepsilon

La convergence simple est une convergence point par point. Pour chaque x, on a une suite numérique (f_n(x)) qui converge. Mais le rang à partir duquel la convergence a lieu peut dépendre de x.

Exemple 3.1

La suite f_n(x) = x^n sur [0, 1] converge simplement vers la fonction : f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}

En effet, pour 0 \leq x < 1, x^n \to 0, et pour x = 1, 1^n = 1.

3.2 Convergence uniforme

Définition 3.2 — (Convergence uniforme d’une suite de fonctions)

Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E. On dit que la suite (f_n) converge uniformément vers une fonction f : X \to E si : \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad \forall x \in X, \quad \|f_n(x) - f(x)\| < \varepsilon

Autrement dit, le rang N ne dépend que de \varepsilon, pas de x.

Proposition 3.1 — (Convergence uniforme en termes de norme)

La suite (f_n) converge uniformément vers f si et seulement si : f_n - f \in \mathcal{B}(X, E) \text{ à partir d'un certain rang} \quad \text{et} \quad \|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Proposition 3.2 — (Convergence uniforme implique convergence simple)

Si (f_n) converge uniformément vers f, alors (f_n) converge simplement vers f.

Preuve. Si (f_n) converge uniformément vers f, alors pour tout \varepsilon > 0, il existe N tel que pour tout n \geq N et tout x \in X : \|f_n(x) - f(x)\| < \varepsilon En particulier, pour tout x fixé, on a f_n(x) \to f(x).

Exemple 3.2 — (Convergence uniforme sur un intervalle borné)

La suite f_n(x) = \frac{x}{n} sur \mathbb{R} converge uniformément vers 0 sur tout intervalle borné [a,b], mais pas sur \mathbb{R} tout entier.

Sur \mathbb{R} : \sup_{x \in \mathbb{R}} \left|\frac{x}{n}\right| = +\infty, donc \|f_n\|_\infty = +\infty.

Exemple 3.3 — (Contre-exemple : convergence simple non uniforme)

La suite f_n(x) = x^n sur [0,1] converge simplement vers : f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}

Cette convergence n’est pas uniforme. En effet : \|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1)} x^n = 1

Proposition 3.3 — (Méthode pour étudier la convergence uniforme)

Pour étudier la convergence uniforme d’une suite de fonctions (f_n) :

1. Étudier la convergence simple : fixer x \in X et étudier la limite de la suite numérique (f_n(x)).
2. Définir la fonction limite simple f(x) = \lim_{n \to +\infty} f_n(x).
3. Calculer (ou majorer) \|f_n - f\|_\infty et montrer que \|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.

4 Séries de fonctions

4.1 Convergence simple d’une série

Définition 4.1 — (Convergence simple d’une série de fonctions)

Soit (u_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E. On appelle série de fonctions de terme général u_n la suite (S_n)_{n \geq 0} définie par : S_n(x) = \sum_{k=0}^n u_k(x)

La série converge simplement sur X si pour tout x \in X, la série numérique \sum u_n(x) converge. La somme est : S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)

4.2 Convergence uniforme d’une série

Définition 4.2 — (Convergence uniforme d’une série de fonctions)

La série \sum u_n converge uniformément sur X vers S si la suite (S_n) des sommes partielles converge uniformément vers S sur X.

Proposition 4.1 — (Caractérisation pratique)

La série \sum u_n converge uniformément sur X si et seulement si :

1. La série \sum u_n converge simplement sur X.
2. La suite des restes (R_n) définie par R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) converge uniformément vers 0 sur X, c’est-à-dire : \|R_n\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

4.3 Convergence normale

Définition 4.3 — (Convergence normale)

On dit que la série \sum u_n converge normalement sur X si la série numérique \sum \|u_n\|_\infty converge, c’est-à-dire si : \sum_{n=0}^{+\infty} \sup_{x \in X} \|u_n(x)\| < +\infty

Proposition 4.2 — (Convergence normale implique convergence uniforme)

La convergence normale implique la convergence uniforme (et donc la convergence simple).

Preuve. Supposons que \sum \|u_n\|_\infty converge. Pour tout x \in X : \|u_n(x)\| \leq \|u_n\|_\infty Par le critère de comparaison, \sum u_n(x) converge absolument. De plus, pour les restes : \|R_n(x)\| = \left\|\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)\right\| \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k(x)\| \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty Donc \|R_n\|_\infty \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty \to 0.

Proposition 4.3 — (Critère de convergence normale)

Pour établir la convergence normale d’une série de fonctions \sum u_n, il suffit de trouver une série numérique convergente \sum \alpha_n telle que : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \|u_n\|_\infty \leq \alpha_n

La série \sum \alpha_n est dite être une série majorante de la série \sum u_n.

Exemple 4.1

La série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} converge normalement sur tout segment [-A, A] car : \left\|\frac{x^n}{n!}\right\|_\infty \leq \frac{A^n}{n!} et la série \sum \frac{A^n}{n!} converge (série entière de rayon infini).

Exemple 4.2 — (Étude des modes de convergence)

Étudions les modes de convergence sur \mathbb{R} de la série de fonctions \sum_{n \geq 1} \frac{\sin(nx^2)}{n^2}.

On pose f_n(x) = \frac{\sin(nx^2)}{n^2} et on calcule \|f_n\|_\infty = \frac{1}{n^2}. Puisque la série \sum \frac{1}{n^2} converge (exemple de Riemann), la série de fonctions \sum f_n converge normalement, donc uniformément, absolument et simplement.

La convergence normale d’une série est la notion la plus forte qui entraîne les autres : \text{Convergence normale} \implies \text{Convergence uniforme} \implies \text{Convergence simple}

On commence toujours par étudier la convergence normale.

5 Stabilité des propriétés par passage à la limite

5.1 Continuité de la limite

Théorème 5.1 — (Théorème de continuité de la limite uniforme)

Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de X dans E qui converge uniformément vers f sur X. Si chaque f_n est continue en un point x_0 \in X, alors f est continue en x_0.

En particulier, si chaque f_n est continue sur X, alors f est continue sur X.

Preuve. Soit \varepsilon > 0. Par convergence uniforme, il existe N \in \mathbb{N} tel que pour tout n \geq N et tout x \in X : \|f_n(x) - f(x)\| < \frac{\varepsilon}{3}

Par continuité de f_N en x_0, il existe \delta > 0 tel que pour tout x \in X avec \|x - x_0\| < \delta : \|f_N(x) - f_N(x_0)\| < \frac{\varepsilon}{3}

Donc pour tout x \in X avec \|x - x_0\| < \delta : \|f(x) - f(x_0)\| \leq \|f(x) - f_N(x)\| + \|f_N(x) - f_N(x_0)\| + \|f_N(x_0) - f(x_0)\| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon

Corollaire 5.1 — (Continuité de la somme d’une série)

Si la série \sum u_n converge uniformément sur X vers S et si chaque u_n est continue sur X, alors S est continue sur X.

Exemple 5.1 — (Contre-exemple : convergence simple ne préserve pas la continuité)

La suite f_n(x) = x^n sur [0,1] est composée de fonctions continues mais converge simplement vers : f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases} qui n’est pas continue en x = 1. La convergence n’est donc pas uniforme.

5.2 Intégration sur un segment

Théorème 5.2 — (Intégration terme à terme sur un segment)

Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions continues de [a,b] dans \mathbb{K} qui converge uniformément vers f sur [a,b]. Alors f est continue sur [a,b] et : \int_a^b f(t)\, dt = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t)\, dt

Preuve. Par le théorème de continuité de la limite uniforme, f est continue. Par l’inégalité triangulaire : \left|\int_a^b f(t)\, dt - \int_a^b f_n(t)\, dt\right| = \left|\int_a^b (f(t) - f_n(t))\, dt\right| \leq \int_a^b |f(t) - f_n(t)|\, dt \leq (b-a)\|f - f_n\|_\infty Comme \|f - f_n\|_\infty \to 0, on conclut.

Corollaire 5.2 — (Intégration terme à terme d’une série)

Soit \sum f_n une série de fonctions définies sur un segment [a,b] \subset \mathbb{R}. On suppose que :

1. Pour tout n \in \mathbb{N}, la fonction f_n est continue sur le segment [a,b].
2. La série de fonctions \sum f_n converge uniformément sur le segment [a,b].

Alors :

1. La fonction somme S = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n est continue sur le segment [a,b].
2. La série numérique \sum \left(\int_a^b f_n(x)\, dx\right) converge.
3. On peut inverser les signes sommes : \int_a^b \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\right) dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\int_a^b f_n(x)\, dx\right)

Exemple 5.2 — (Série « mirabili » de Johann Bernoulli, 1697)

Montrons que \int_0^1 x^x\, dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^n}.

Pour x > 0, x^x = e^{x \ln x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n (\ln x)^n}{n!}. On peut montrer que cette série converge uniformément sur [0,1], et par intégration terme à terme, on obtient le résultat.

5.3 Dérivation

Théorème 5.3 — (Dérivation de la limite d’une suite)

Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I telles que :

1. La suite (f_n(x_0)) converge en au moins un point x_0 \in I.
2. La suite (f_n') converge uniformément sur tout segment contenu dans I vers une fonction g.

Alors la suite (f_n) converge uniformément sur tout segment contenu dans I vers une fonction f de classe \mathcal{C}^1 sur I, et : f'(x) = g(x) = \lim_{n \to +\infty} f_n'(x)

Corollaire 5.3 — (Dérivation terme à terme d’une série)

Soit \sum u_n une série de fonctions de classe \mathcal{C}^1 sur I telle que :

1. La série \sum u_n(x_0) converge en au moins un point x_0 \in I.
2. La série \sum u_n' converge uniformément sur tout segment contenu dans I.

Alors la série \sum u_n converge uniformément sur tout segment contenu dans I vers une fonction S de classe \mathcal{C}^1 sur I, et : S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n'(x)

Le théorème de dérivation s’étend aux fonctions de classe \mathcal{C}^k : si les suites (f_n^{(p)}) convergent simplement pour p = 0, \ldots, k-1 et (f_n^{(k)}) converge uniformément sur tout segment, alors la limite est de classe \mathcal{C}^k et f^{(k)} = \lim f_n^{(k)}.

5.4 Intégration sur un intervalle quelconque

Théorème 5.4 — (Théorème de convergence dominée)

Soit (f_n)_{n \geq 0} une suite de fonctions continues par morceaux sur I convergeant simplement vers f. On suppose qu’il existe une fonction \varphi : I \to \mathbb{R}^+ continue par morceaux et intégrable sur I telle que : \forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in I, \quad |f_n(x)| \leq \varphi(x)

Alors f est intégrable sur I et : \int_I f(x)\, dx = \lim_{n \to +\infty} \int_I f_n(x)\, dx

Théorème 5.5 — (Intégration terme à terme sur un intervalle)

Soit \sum f_n une série de fonctions continues par morceaux sur I. On suppose que :

1. Pour tout n \in \mathbb{N}, la fonction f_n est intégrable sur I.
2. La série numérique \sum \left(\int_I |f_n(x)|\, dx\right) converge.

Alors :

1. La fonction somme S = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n est intégrable sur I.
2. \int_I |S(x)|\, dx \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I |f_n(x)|\, dx.
3. On peut permuter les signes sommes : \int_I \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\right) dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\int_I f_n(x)\, dx\right)

6 Approximation uniforme

6.1 Théorème de Weierstrass

Théorème 6.1 — (Théorème de Weierstrass, admis)

Soit f : [a,b] \to \mathbb{K} une fonction continue. Alors il existe une suite de polynômes (P_n)_{n \geq 0} qui converge uniformément vers f sur [a,b].

Ce théorème montre que les polynômes sont denses dans l’espace \mathcal{C}([a,b], \mathbb{K}) muni de la norme de la convergence uniforme. En d’autres termes, toute fonction continue sur un segment peut être approchée uniformément par des polynômes à une précision arbitraire.

Plus généralement, toute fonction continue sur un segment [a,b] peut être approchée uniformément par :

• des fonctions polynômiales (théorème de Weierstrass),
• des sommes trigonométriques (théorème de Fejér),
• des fonctions en escalier (en particulier, les fonctions continues par morceaux sont limites uniformes de fonctions en escalier).

Exemple 6.1 — (Polynômes de Bernstein)

La suite des polynômes de Bernstein : B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} converge uniformément vers f sur [0,1] pour toute fonction continue f.

7 Exercices

Exercice 7.1

Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur [0,1] par : f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2 x^2}

Exercice 7.2

Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f_n) définie sur \mathbb{R}^+ par : f_n(x) = \frac{x}{1 + nx}

Exercice 7.3

Soit (f_n) une suite de fonctions continues de [0,1] dans \mathbb{R} convergeant uniformément vers f. Montrer que si chaque f_n est positive, alors f est positive.

Exercice 7.4

Étudier la convergence simple et uniforme de la série : \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} \quad \text{sur } [0, r] \text{ avec } 0 < r < 1

Exercice 7.5

Montrer que la série \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} converge normalement sur tout segment de \mathbb{R} et que sa somme est de classe \mathcal{C}^\infty.

Exercice 7.6 — (Comparaison série-intégrale)

Montrer que la série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} converge en utilisant le théorème de comparaison série-intégrale.

Exercice 7.7 — (Produit de Cauchy)

Calculer le produit de Cauchy des séries \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} et \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{y^n}{n!}. En déduire que e^x \cdot e^y = e^{x+y}.

Exercice 7.8

Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue. Montrer que : \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f(x) x^n\, dx = 0

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