TD — Espaces préhilbertiens réels. Endomorphismes d’un espace euclidien
Chapitre 08
PSI (2e année) — TD du Chapitre 08. Produits scalaires, orthogonalité, projection orthogonale, formes linéaires, matrices orthogonales, isométries vectorielles (plan et espace), réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles.
Exercice 1
Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| et préciser le cas d’égalité.
Exercice 2
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien E. Montrer que E = F \oplus F^\perp.
Exercice 3
Soit E un espace euclidien et u un vecteur non nul. Soient p la projection orthogonale sur H = u^\perp et s la symétrie orthogonale par rapport à H.
- Montrer que \forall x \in E, \quad p(x) = x - \dfrac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
- Montrer que \forall x \in E, \quad s(x) = x - 2\dfrac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
Exercice 4
Soit E un espace euclidien. Montrer que toute forme linéaire \varphi sur E s’écrit \varphi(x) = \langle a, x \rangle pour un unique a \in E (théorème de représentation).
Exercice 5
Soit u un endomorphisme orthogonal d’un espace euclidien. Montrer que :
- u conserve le produit scalaire.
- \det(u) \in \{-1, 1\}.
- Si F est stable par u, alors F^\perp est stable par u.
Exercice 6
Soit E un espace euclidien de dimension 2. Montrer que toute isométrie directe est une rotation et que toute isométrie indirecte est une réflexion.
Exercice 7
Soit E un espace euclidien de dimension 3. Montrer que toute isométrie directe est soit l’identité, soit une rotation autour d’un axe.
Exercice 8
Soit f un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Montrer que les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Exercice 9
Soit u un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. Montrer que u est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).
Exercice 10
Soit A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) une matrice symétrique réelle. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que A = PDP^{-1} = PDP^T.
Cours
Chapitre 08 : Espaces préhilbertiens réels. Endomorphismes d’un espace euclidien