Séries numériques
Chapitre 17
PCSI (1re année) — Chapitre 17. Convergence, divergence grossière, séries géométriques, séries à termes positifs, comparaisons, d’Alembert, séries de Riemann, séries alternées (Leibniz), convergence absolue, suites sommables.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
Dans tout ce chapitre, les termes des séries sont des éléments de \mathbb{C}.
1 Motivation et définitions
1.1 Motivation
Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à des sommes ayant une infinité de termes. Par exemple que peut bien valoir la somme infinie suivante :
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = \; ?
Cette question a été étudiée depuis l’Antiquité (paradoxe de Zénon) et la réponse est 2. Nous allons voir comment définir rigoureusement une telle somme et comment déterminer si une série converge ou diverge.
1.2 Définitions fondamentales
Définition 1.1 — (Série associée à une suite)
Soit (u_k)_{k \geq 0} une suite de nombres complexes. On appelle série de terme général u_k, notée \sum u_k ou \sum_{k \geq 0} u_k, la suite (S_n)_{n \geq 0} définie par : S_n = \sum_{k=0}^n u_k Les S_n sont appelés les sommes partielles de la série.
Définition 1.2 — (Convergence et divergence)
On dit que la série \sum u_k converge si la suite (S_n)_{n \geq 0} des sommes partielles converge vers une limite finie S \in \mathbb{C}. On note alors : S = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k et S est appelée la somme de la série.
Si la suite (S_n) diverge, on dit que la série \sum u_k diverge.
Définition 1.3 — (Reste d’une série convergente)
Si la série \sum u_k converge vers S, on appelle reste d’ordre n : R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k On a R_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.
1.3 Divergence grossière
Proposition 1.1 — (Condition nécessaire de convergence)
Si la série \sum u_k converge, alors : \lim_{k \to +\infty} u_k = 0
Preuve. On a u_k = S_k - S_{k-1}. Si S_k \to S et S_{k-1} \to S, alors u_k \to S - S = 0.
Remarque. La contraposée de ce résultat est souvent utilisée :
Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 ne peut pas converger.
Par exemple les séries \sum_{k \geq 1} \left(1 + \frac{1}{k}\right) et \sum_{k \geq 1} k^2 sont divergentes.
Exemple 1.1
La série \sum u_k de terme général : u_k = \begin{cases} 1 & \text{si } k = 2^\ell \text{ pour un certain } \ell \geq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} diverge. En effet, même si les termes valant 1 sont très rares, il y en a quand même une infinité !
1.4 Linéarité
Proposition 1.2 — (Linéarité)
Si les séries \sum a_k et \sum b_k convergent, alors pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{C}, la série \sum (\lambda a_k + \mu b_k) converge et : \sum_{k=0}^{+\infty} (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda \sum_{k=0}^{+\infty} a_k + \mu \sum_{k=0}^{+\infty} b_k
Exemple 1.2
\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2^k} + \frac{5}{3^k}\right) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} + 5\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{3^k} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} + 5 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = 2 + 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{19}{2}
Proposition 1.3 — (Cas des suites complexes)
Soit (u_k)_{k \geq 0} une suite de nombres complexes. Pour tout k, notons a_k = \mathrm{Re}(u_k) et b_k = \mathrm{Im}(u_k). Alors : \sum u_k \text{ converge} \iff \sum a_k \text{ et } \sum b_k \text{ convergent} Et dans ce cas : \sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k + i \sum_{k=0}^{+\infty} b_k
2 Séries géométriques
Proposition 2.1 — (Série géométrique)
Soit q \in \mathbb{C}. La série géométrique \sum_{k \geq 0} q^k est convergente si et seulement si |q| < 1. On a alors : \boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} q^k = 1 + q + q^2 + q^3 + \cdots = \frac{1}{1-q}}
Preuve. Considérons S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n.
- Si q = 1 : S_n = n + 1 \to +\infty, la série diverge.
- Si q \neq 1 : S_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.
- Si |q| < 1 : q^{n+1} \to 0, donc S_n \to \frac{1}{1-q}.
- Si |q| \geq 1 : q^{n+1} ne tend pas vers 0, donc la série diverge.
Exemple 2.1
\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{3^{n+3}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{27} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{18}
\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{4}\right)^k = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{4}{5}
Remarque. La convergence d’une série ne dépend pas de ses premiers termes : changer un nombre fini de termes d’une série ne change pas sa nature, convergente ou divergente.
3 Séries à termes positifs
3.1 Convergence par les sommes partielles
Rappels. Soit (s_n)_{n \geq 0} une suite croissante de nombres réels.
- Si la suite est majorée, alors la suite (s_n) converge, c’est-à-dire qu’elle admet une limite finie.
- Sinon la suite (s_n) tend vers +\infty.
Appliquons ceci aux séries \sum u_k à termes positifs, c’est-à-dire u_k \geq 0 pour tout k. Dans ce cas la suite (S_n) des sommes partielles, définie par S_n = \sum_{k=0}^n u_k, est une suite croissante. En effet : S_n - S_{n-1} = u_n \geq 0
Proposition 3.1
Une série à termes positifs est une série convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.
Autrement dit, si et seulement s’il existe M > 0 tel que, pour tout n \geq 0, S_n \leq M.
De plus, dans le cas de convergence, la somme de la série S vérifie bien sûr \lim S_n = S, mais aussi S_n \leq S, pour tout n.
Les deux situations convergence/divergence sont possibles : \sum_{k \geq 0} q^k converge si 0 < q < 1, et diverge si q \geq 1.
3.2 Théorème de comparaison
Théorème 3.1 — (Théorème de comparaison)
Soient \sum u_k et \sum v_k deux séries à termes positifs ou nuls. On suppose qu’il existe k_0 \geq 0 tel que, pour tout k \geq k_0, u_k \leq v_k.
- Si \sum v_k converge alors \sum u_k converge.
- Si \sum u_k diverge alors \sum v_k diverge.
Preuve. Comme nous l’avons observé, la convergence ne dépend pas des premiers termes. Sans perte de généralité on peut donc supposer k_0 = 0. Notons S_n = u_0 + \cdots + u_n et S'_n = v_0 + \cdots + v_n. Les suites (S_n) et (S'_n) sont croissantes, et de plus, pour tout n \geq 0, S_n \leq S'_n. Si la série \sum v_k converge, alors la suite (S'_n) converge. Soit S' sa limite. La suite (S_n) est croissante et majorée par S', donc elle converge, et ainsi la série \sum u_k converge aussi. Inversement, si la série \sum u_k diverge, alors (S_n) \to +\infty, et comme S'_n \geq S_n, (S'_n) \to +\infty, donc \sum v_k diverge.
Exemple 3.1
La série \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^2 + 1} converge car \frac{1}{k^2 + 1} \leq \frac{1}{k^2} et \sum \frac{1}{k^2} converge (série de Riemann avec \alpha = 2 > 1).
3.3 Comparaison logarithmique et règle de d’Alembert
Théorème 3.2 — (Règle de d’Alembert)
Soit \sum u_k une série à termes strictement positifs, telle que \frac{u_{k+1}}{u_k} converge vers \ell.
- Si \ell < 1 alors \sum u_k converge.
- Si \ell > 1 alors \sum u_k diverge.
- Si \ell = 1 on ne peut pas conclure.
Preuve.
Si \ell < 1 : choisissons q tel que \ell < q < 1. À partir d’un certain rang, \frac{u_{k+1}}{u_k} \leq q, donc u_{k+1} \leq q u_k. Par récurrence, u_k \leq C q^k pour une constante C. Comme \sum q^k converge (car 0 < q < 1), par comparaison, \sum u_k converge.
Si \ell > 1 : à partir d’un certain rang, \frac{u_{k+1}}{u_k} \geq 1, donc u_{k+1} \geq u_k. La suite (u_k) est croissante à partir d’un certain rang et ne tend pas vers 0, donc la série diverge.
Exemple 3.2
La série \sum_{k \geq 1} \frac{k^{100}}{k!} converge car : \frac{u_{k+1}}{u_k} = \frac{(k+1)^{100}}{(k+1)!} \cdot \frac{k!}{k^{100}} = \frac{(k+1)^{100}}{(k+1) k^{100}} = \left(\frac{k+1}{k}\right)^{100} \cdot \frac{1}{k+1} \to 0 < 1
3.4 Comparaison série-intégrale
Théorème 3.3 — (Comparaison série-intégrale)
Soit f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}^+ une fonction continue, positive et décroissante. Alors : \int_0^{n+1} f(t)\, dt \leq \sum_{k=0}^n f(k) \leq f(0) + \int_0^n f(t)\, dt
En particulier, la série \sum f(k) et l’intégrale \int_0^{+\infty} f(t)\, dt sont de même nature.
3.5 Séries de Riemann
Proposition 3.2 — (Séries de Riemann)
La série \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^\alpha} converge si et seulement si \alpha > 1.
Preuve.
- Si \alpha \leq 0 : \frac{1}{k^\alpha} \not\to 0, donc la série diverge (divergence grossière).
- Si 0 < \alpha \leq 1 : \frac{1}{k^\alpha} \geq \frac{1}{k}, et \sum \frac{1}{k} diverge, donc par comparaison, \sum \frac{1}{k^\alpha} diverge.
- Si \alpha > 1 : par comparaison série-intégrale avec f(x) = \frac{1}{x^\alpha}, on a : \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha} = \left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^{+\infty} = \frac{1}{\alpha - 1} < +\infty Donc la série converge.
Exemple 3.3
- \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^2} converge (car \alpha = 2 > 1).
- \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k} diverge (série harmonique, \alpha = 1).
- \sum_{k \geq 1} \frac{1}{\sqrt{k}} diverge (car \alpha = \frac{1}{2} < 1).
Exemple 3.4 — (Utilisation des équivalents)
La série \sum_{k \geq 1} \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{k^3}}\right) est-elle convergente ?
Comme \ln\left(1 + \frac{1}{\sqrt{k^3}}\right) \sim \frac{1}{\sqrt{k^3}} = \frac{1}{k^{3/2}} et que la série de Riemann \sum \frac{1}{k^{3/2}} converge (car \frac{3}{2} > 1), alors par le théorème des équivalents la série converge.
4 Séries à termes quelconques
4.1 Séries alternées — Critère de Leibniz
Définition 4.1 — (Série alternée)
Soit (u_k)_{k \geq 0} une suite qui vérifie u_k \geq 0. La série \sum_{k \geq 0} (-1)^k u_k s’appelle une série alternée.
Théorème 4.1 — (Critère de Leibniz)
Supposons que (u_k)_{k \geq 0} soit une suite qui vérifie :
- u_k \geq 0 pour tout k \geq 0,
- la suite (u_k) est une suite décroissante,
- et \lim_{k \to +\infty} u_k = 0.
Alors la série alternée \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k converge.
Corollaire 4.1 — (Encadrement de la somme et majoration du reste)
Si la série alternée \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k u_k converge vers S (avec les hypothèses du critère de Leibniz), alors :
- S est comprise entre deux sommes partielles consécutives : S_{2n} \leq S \leq S_{2n+1}.
- Le reste vérifie : |R_n| = |S - S_n| \leq u_{n+1}.
Exemple 4.1 — (Série harmonique alternée)
La série \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots converge par le critère de Leibniz car :
- u_k = \frac{1}{k+1} \geq 0
- (u_k) est décroissante
- u_k \to 0
On admet que sa somme est \ln 2.
4.2 Séries absolument convergentes
Définition 4.2 — (Convergence absolue)
On dit qu’une série \sum_{k \geq 0} u_k de nombres réels (ou complexes) est absolument convergente si la série \sum_{k \geq 0} |u_k| est convergente.
Théorème 4.2
Toute série absolument convergente est convergente.
Preuve. Utilisons le critère de Cauchy. Soit \sum u_k une série absolument convergente. La série \sum |u_k| est convergente, donc la suite des restes (R'_n) avec R'_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} |u_k| est une suite qui tend vers 0, donc en particulier c’est une suite de Cauchy. Pour tout \varepsilon > 0, il existe N tel que pour tous n > m \geq N : \sum_{k=m+1}^n |u_k| < \varepsilon Par l’inégalité triangulaire : \left|\sum_{k=m+1}^n u_k\right| \leq \sum_{k=m+1}^n |u_k| < \varepsilon Donc (S_n) est une suite de Cauchy, donc converge.
Exemple 4.2
La série \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k}{k^2} est absolument convergente. Car pour u_k = \frac{\cos k}{k^2} on a |u_k| \leq \frac{1}{k^2}. Comme la série \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^2} converge alors \sum_{k \geq 1} |u_k| converge aussi.
La série harmonique alternée \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} n’est pas absolument convergente. Car pour v_k = \frac{(-1)^k}{k+1}, la série \sum_{k \geq 0} |v_k| = \sum_{k \geq 0} \frac{1}{k+1} diverge.
Définition 4.3 — (Série semi-convergente)
Une série, telle que la série harmonique alternée, qui est convergente, mais pas absolument convergente, s’appelle une série semi-convergente.
4.3 Suites sommables
Définition 4.4 — (Suite sommable)
Une suite (u_n)_{n \geq 0} est dite sommable si la série \sum |u_n| converge. On note alors : \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^N u_n
Remarque. La notion de suite sommable est équivalente à celle de convergence absolue d’une série.
5 Permutation des termes
Théorème 5.1 — (Permutation des termes)
Soit \sum_{k=0}^{+\infty} u_k une série absolument convergente et soit S sa somme. Soit \sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N} une bijection de l’ensemble des indices. Alors la série \sum_{k=0}^{+\infty} u_{\sigma(k)} converge et : \sum_{k=0}^{+\infty} u_{\sigma(k)} = S
Remarque. La condition de convergence absolue est indispensable. Il se trouve que, pour une série convergente, mais pas absolument convergente, on peut permuter les termes pour obtenir n’importe quelle valeur !
6 Produit de Cauchy
Définition 6.1 — (Produit de Cauchy)
Soient \sum_{i=0}^{+\infty} a_i et \sum_{j=0}^{+\infty} b_j deux séries. Le produit de Cauchy de ces deux séries est la série \sum_{k=0}^{+\infty} c_k où : c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \sum_{i+j=k} a_i b_j
Théorème 6.1 — (Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes)
Si les séries \sum_{i=0}^{+\infty} a_i et \sum_{j=0}^{+\infty} b_j de nombres réels (ou complexes) sont absolument convergentes, alors la série produit \sum_{k=0}^{+\infty} c_k est absolument convergente et l’on a : \sum_{k=0}^{+\infty} c_k = \left(\sum_{i=0}^{+\infty} a_i\right) \times \left(\sum_{j=0}^{+\infty} b_j\right)
Exemple 6.1
Soit \sum_{i=0}^{+\infty} a_i une série absolument convergente et soit \sum_{j=0}^{+\infty} b_j la série définie par b_j = \frac{1}{2^j}. La série \sum b_j est absolument convergente. Notons : c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \sum_{i=0}^k a_i \times \frac{1}{2^{k-i}} Alors la série \sum c_k converge absolument et : \sum_{k=0}^{+\infty} c_k = \left(\sum_{i=0}^{+\infty} a_i\right) \times \left(\sum_{j=0}^{+\infty} b_j\right) = 2 \sum_{i=0}^{+\infty} a_i
Remarque. Si les séries \sum a_i et \sum b_j ne sont pas absolument convergentes, mais seulement convergentes, alors la série de Cauchy peut être divergente.
Soient a_i = b_i = \frac{(-1)^i}{\sqrt{i+1}}, i \geq 0. Alors \sum a_i et \sum b_j sont convergentes par le critère de Leibniz, mais ne sont pas absolument convergentes. On a : c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} = \sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i}{\sqrt{i+1}} \cdot \frac{(-1)^{k-i}}{\sqrt{k-i+1}} = (-1)^k \sum_{i=0}^k \frac{1}{\sqrt{(i+1)(k-i+1)}} Cette série peut diverger.
7 Exercices
Exercice 7.1
Calculer les sommes partielles S_n de la série dont le terme général est \frac{1}{4^k}, commençant à k=1. Cette série est-elle convergente ? Si c’est possible, calculer la somme S et les restes R_n.
Exercice 7.2
Mêmes questions avec \sum_{k \geq 0} (-1)^k, \sum_{k \geq 0} 3^k, \sum_{k \geq 1} \frac{1}{10^k}, \sum_{k \geq 2} \exp(-k).
Exercice 7.3
Pourquoi les séries suivantes sont-elles divergentes ?
\sum_{k \geq 1} \left(\frac{1}{k} + (-1)^k\right) \; ; \quad \sum_{k \geq 0} \frac{k}{k+1} \; ; \quad \sum_{k \geq 1} \frac{1}{2k} \; ; \quad \sum_{k \geq 1} k \cos(k) \; ; \quad \sum_{k \geq 1} \exp\left(\frac{1}{k}\right)
Exercice 7.4
Calculer les sommes partielles de la série \sum_{k \geq 1} \ln\left(1 - \frac{1}{k+1}\right). Cette série est-elle convergente ?
Exercice 7.5
Montrer que \sum_{k=0}^{+\infty} k^2 q^k = \frac{q^2 + q}{(1-q)^3} pour |q| < 1.
Exercice 7.6
Est-ce que les séries suivantes sont convergentes ? Absolument convergentes ?
\sum_{k \geq 2} \frac{(-1)^{k^3} e^{ik}}{k^2+k} \qquad \sum_{k \geq 1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k(k+1)}} \qquad \sum_{k \geq 1} \frac{\sqrt{k}}{(-1)^k \ln k}
Exercice 7.7
Étudier les séries dont voici le terme général, par la règle du quotient de d’Alembert ou des racines de Cauchy :
\frac{k^{100}}{k!} \qquad \frac{k!}{(2k)!} \qquad \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2k+1)}
Exercice 7.8
Justifier que la série \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k^2-1} est convergente. Décomposer \frac{1}{k^2-1} en éléments simples. En déduire la somme de la série.
Exercice 7.9
Écrire la série associée au développement décimal 0,99999\ldots Notons S la somme de cette série. Calculer la série correspondant à 10 \cdot S. Simplifier 10 \cdot S - S. En déduire S. Retrouver cette valeur S à l’aide d’une série géométrique.