TD — Séries numériques
Chapitre 17
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 17. Convergence, divergence grossière, séries géométriques, séries à termes positifs, comparaisons, d’Alembert, séries de Riemann, séries alternées (Leibniz), convergence absolue, suites sommables.
Exercice 1
Étudier la convergence des séries suivantes :
- \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2^n}
- \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}
- \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n}
Exercice 2
Étudier par comparaison :
- \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2+1}
- \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\ln n}{n^2}
Exercice 3
Étudier par le critère de d’Alembert :
- \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n!}{n^n}
- \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!} selon x
Exercice 4
Montrer que la série harmonique diverge.
Exercice 5
Étudier la convergence de :
- \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n \ln n}
- \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^2}
Exercice 6
Étudier \sum_{n=1}^{+\infty} \left(1 - \cos\dfrac{1}{n}\right).
Exercice 7
Étudier la convergence et la convergence absolue de \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1}.
Exercice 8
Soit x \in ]0,1[. Calculer \sum_{n=0}^{+\infty} x^n et \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n.
Exercice 9
Montrer que si \sum u_n converge à termes positifs, alors \sum u_n^2 converge.
Exercice 10
Soit (u_n) décroissante positive. Montrer que \sum u_n converge \iff \sum 2^n u_{2^n} converge (critère de Cauchy).