TD — Fonctions de deux variables
Chapitre 18
PCSI (1re année) — TD du Chapitre 18. Fonctions à valeurs dans \mathbb{R}^2, arcs paramétrés plans, fonctions de deux variables, dérivées partielles, gradient, règle de la chaîne, extrema.
Exercice 1
Étudier la courbe paramétrée \gamma(t) = (t^2, t^3 - t).
Exercice 2
Étudier la cycloïde \gamma(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t).
Exercice 3
Soit f(x,y) = x^2 y + e^{xy}. Calculer \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} et \nabla f.
Exercice 4
Soit f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}. Montrer que f n’est pas différentiable en (0,0).
Exercice 5
Soit f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5. Déterminer les points critiques et leur nature.
Exercice 6
Déterminer le plan tangent au graphe de f(x,y) = x^2 + y^2 au point (1,1,2).
Exercice 7
Soit \gamma : I \to \mathbb{R}^2 régulière de classe \mathcal{C}^2. Montrer que si \|\gamma'(t)\| est constant, alors \gamma'(t) \perp \gamma''(t).
Exercice 8
Soit f(x,y) = x^2 y + \sin(xy). Calculer \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} et \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}. Vérifier le théorème de Schwarz.
Exercice 9
Étudier la courbe polaire r = 1 + \cos\theta (cardioïde).
Exercice 10
Soit f(x,y) = xy avec la contrainte x^2 + y^2 = 1. Déterminer les extremums de f sur le cercle unité.