Courbes planes
Chapitre 18
PCSI (1re année) — Chapitre 18. Courbes paramétrées, étude locale (tangentes, points singuliers), branches infinies et asymptotes, courbes définies implicitement, courbes en coordonnées polaires.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
Courbes planes
1 Étude locale d’une courbe paramétrée
1.1 Tangente et demi-tangente en un point
La courbe C est l’ensemble des points M ou M(t) tels que \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{F}(t) de coordonnées (x(t),y(t)) ou (x(t),y(t),z(t)), t\in I. On suppose au minimum que \overrightarrow{F} est continue sur cet intervalle.
Définition 2.1
M_0(t_0)\in C, on dit que C admet une tangente en M_0 \iff la droite (M_0M), avec M=M(t), a une limite quand M\to M_0, c’est-à-dire quand t\to t_0. Cette droite est alors la tangente à C en M_0.
On parlera éventuellement de demi-tangente si on a une limite à droite ou une limite à gauche.
Définition 2.2
Un point M_0(t_0)\in C est régulier \iff \overrightarrow{F}\,'(t_0)\neq\overrightarrow{0}. Un point non régulier est un point stationnaire.
Théorème 2.1
En un point M_0(t_0) régulier, la courbe C admet une tangente dirigée par \overrightarrow{F}\,'(t_0).
Preuve. On fait la démonstration pour une courbe plane, c’est exactement la même pour une courbe paramétrée de l’espace. \dfrac{\overrightarrow{M_0M}}{\|\overrightarrow{M_0M}\|} a pour coordonnées : \frac{t-t_0}{\|\overrightarrow{M_0M}\|}\begin{pmatrix}\dfrac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}\\[1ex]\dfrac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0}\end{pmatrix} Or \lim_{t\to t_0}\frac{t-t_0}{\|\overrightarrow{M_0M}\|}=\frac{\pm1}{\sqrt{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2}} donc \lim_{t\to t_0}\frac{1}{\|\overrightarrow{M_0M}\|}\begin{pmatrix}x(t)-x(t_0)\\ y(t)-y(t_0)\end{pmatrix}=\frac{\pm1}{\sqrt{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2}}\begin{pmatrix}x'(t_0)\\ y'(t_0)\end{pmatrix} Ce qui assure le résultat.
1.2 Étude locale d’une courbe plane
On appelle encore p le rang de dérivation du premier vecteur dérivé non nul, \overrightarrow{F}^{\,(p)}(t_0)\neq\overrightarrow{0}, et q le rang du premier vecteur dérivé non colinéaire à \overrightarrow{F}^{\,(p)}(t_0), sous réserve bien sûr que \overrightarrow{F} soit de classe suffisante. \left(\overrightarrow{F}^{\,(p)}(t_0),\overrightarrow{F}^{\,(q)}(t_0)\right) est ainsi une famille libre.
Définition 2.3
On dit que M_0 est birégulier \iff p=1 et q=2. Dans tous les cas, on obtient l’allure locale de la courbe en faisant un développement limité à l’ordre q de \overrightarrow{F} : \overrightarrow{M_0M}=\overrightarrow{F}(t)-\overrightarrow{F}(t_0)=\frac{(t-t_0)^p}{p!}(1+o(t-t_0))\overrightarrow{F}^{\,(p)}(t_0)+\frac{(t-t_0)^q}{q!}\overrightarrow{F}^{\,(q)}(t_0)+(t-t_0)^q\vec{\varepsilon}(t-t_0)
Dans la base \left(\overrightarrow{F}^{\,(p)}(t_0),\overrightarrow{F}^{\,(q)}(t_0)\right), les coordonnées de \overrightarrow{M_0M} sont équivalentes à \dfrac{(t-t_0)^p}{p!} et \dfrac{(t-t_0)^q}{q!} quand t\to t_0. On travaille donc dans le repère \left(M_0,\overrightarrow{F}^{\,(p)}(t_0),\overrightarrow{F}^{\,(q)}(t_0)\right), tout se décide alors suivant la parité de p et q :
| Parité de p | Parité de q | Allure locale |
|---|---|---|
| p impair | q pair | point ordinaire |
| p impair | q impair | point d’inflexion |
| p pair | q impair | point de rebroussement de 1re espèce |
| p pair | q pair | point de rebroussement de 2e espèce |
Remarque.
- En un point birégulier, la concavité est tournée vers \overrightarrow{F}^{\,''}(t_0).
- \lim_{t\to t_0}\dfrac{y'(t)}{x'(t)} quand elle existe, est toujours la pente de la tangente à la courbe au point considéré.
- Quand la pente de la tangente, donnée par \overrightarrow{F}^{\,(p)}(t_0) ou par \lim_{t\to t_0}\dfrac{y'(t)}{x'(t)} est nulle ou infinie, c’est-à-dire quand la tangente est horizontale ou verticale, la recherche de q est inutile puisque les variations de x(t) et y(t) permettent alors de déterminer le type de point.
1.3 Branches infinies
On dit que C admet une branche infinie quand x(t) ou y(t) tendent vers \pm\infty en t_0 ou \pm\infty. Une hyperbole a ainsi 4 branches infinies.
- y(t)\to\pm\infty et x(t)\to l quand t\to t_0 : on a une asymptote verticale d’équation x=l.
- x(t)\to\pm\infty et y(t)\to l quand t\to t_0 : on a une asymptote horizontale d’équation y=l.
- x(t) et y(t)\to\pm\infty quand t\to t_0 on calcule \lim_{t\to t_0}\dfrac{y(t)}{x(t)} appelée a si elle existe :
- s’il n’y a pas de limite, on ne dit rien de plus ;
- a=\pm\infty : on a une branche parabolique de direction Oy ;
- a=0 : on a une branche parabolique de direction Ox ;
- dans les autres cas, on calcule \lim_{t\to t_0}\big(y(t)-ax(t)\big) appelée b :
- s’il n’y a pas de limite, on a une branche infinie de direction asymptotique y=ax ;
- b=\pm\infty : on a une branche parabolique de direction y=ax ;
- dans les autres cas, on a une asymptote y=ax+b, de plus :
- si y(t)-ax(t)-b>0, la courbe est au-dessus de l’asymptote ;
- si y(t)-ax(t)-b<0, la courbe est au-dessous de l’asymptote.
2 Courbes planes définies de façon implicite
2.1 Lignes de niveau
Définition 3.1
On se donne une fonction F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. Pour \lambda\in\mathbb{R}, la ligne de niveau \lambda de F est l’ensemble : \mathcal{C}_\lambda=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,/\,F(x,y)=\lambda\}
2.2 Tangente en un point non singulier
Théorème 3.1
Soit M_0=(x_0,y_0) un point de \mathcal{C}_\lambda non singulier (c’est-à-dire \overrightarrow{\nabla}F(M_0)\neq\overrightarrow{0}). Alors \mathcal{C}_\lambda admet une tangente en M_0, normale à \overrightarrow{\nabla}F(M_0). Son équation est : \frac{\partial F}{\partial x}(M_0)(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(M_0)(y-y_0)=0
2.3 Paramétrer une ligne de niveau
Pour étudier une ligne de niveau, il est souvent utile de la paramétrer. Les deux moyens habituels sont : - poser y=tx, résoudre F(x,tx)=0 en x, et on a alors la courbe paramétrée par t ; - passer en polaire et résoudre F(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=0 en \rho. On a alors la courbe de façon usuelle en polaires.
3 Courbes planes en coordonnées polaires
3.1 Courbes en coordonnées polaires
Définition 4.1
C la courbe définie en coordonnées polaires par \rho=f(\theta)=\rho(\theta), \theta\in I, C est l’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient : \begin{cases}x=\rho(\theta)\cos\theta\\ y=\rho(\theta)\sin\theta\end{cases}\quad \text{avec } \theta\in I On prendra toujours l’application \rho au moins de classe \mathcal{C}^1 sur I.
3.2 Ensemble d’étude
En général, \rho est T-périodique. On cherche l’ensemble de définition, la périodicité, un premier ensemble d’étude : celui-ci doit être un multiple de la période et de 2\pi. On recherche d’éventuelles symétries pour réduire l’ensemble d’étude. On regarde en fait comment change \rho quand on change \theta, ce qui est résumé dans le tableau suivant :
| Transformation de \theta | Transformation de \rho | Symétrie de C |
|---|---|---|
| \theta\to-\theta | \rho\to\rho | symétrie par rapport à Oy |
| \theta\to-\theta | \rho\to-\rho | symétrie par rapport à Ox |
| \theta\to\pi-\theta | \rho\to\rho | symétrie par rapport à Oy |
| \theta\to\pi-\theta | \rho\to-\rho | symétrie par rapport à Ox |
| \theta\to\pi+\theta | \rho\to\rho | symétrie par rapport à O |
| \theta\to\pi+\theta | \rho\to-\rho | uniquement des points doubles |
Dans chaque cas, on peut réduire l’intervalle d’étude.
3.3 Tangente
Théorème 4.1
C la courbe définie en coordonnées polaires par \rho=\rho(\theta) avec \rho de classe \mathcal{C}^1 au voisinage de \theta_0. Alors C admet une tangente en M_0(\theta_0) définie par : \tan V=\frac{\rho}{\rho'} avec V l’angle, orienté, entre le rayon vecteur et la tangente. En un point où \rho(\theta_0)=0, la tangente à la courbe est la droite \theta=\theta_0.
Corollaire 4.1
Si de plus \rho(\theta_0)=0, alors V=0. Conclusion : dans tous les cas, l’équation de la tangente dans le repère local (M_0,\vec{u}_r,\vec{u}_\theta) est Y=\tan V\,X.
Preuve. On utilise ici les notations des physiciens \vec{u}_r et \vec{u}_\theta. On a \overrightarrow{OM}=\rho(\theta)\vec{u}_r et donc comme la dérivée de \vec{u}_r par rapport à \theta est \vec{u}_\theta : \frac{d\overrightarrow{OM}}{d\theta}=\rho'(\theta)\vec{u}_r+\rho(\theta)\vec{u}_\theta En écrivant cette égalité en \theta_0, on obtient que \tan V=\dfrac{\rho(\theta_0)}{\rho'(\theta_0)}, avec V l’angle, orienté, entre le rayon vecteur et la tangente. Si \rho(\theta_0)=0, la pente de M_0M=\overrightarrow{OM} est \dfrac{y}{x}=\dfrac{\rho(\theta)\sin\theta}{\rho(\theta)\cos\theta} qui tend bien vers \tan\theta_0.
3.4 Branches infinies
On a une branche infinie quand \lim_{\theta\to\theta_0}\rho(\theta) est infini. On remarque que dans le repère tourné de \theta_0 : \begin{cases}\rho(\theta)\cos(\theta-\theta_0)=X\\ \rho(\theta)\sin(\theta-\theta_0)=Y\end{cases} Dans tous les cas, quand \theta\to\theta_0 : X\to\infty, \dfrac{Y}{X}\to 0. La direction asymptotique est donc toujours OX. Pour l’étude des branches infinies, on cherche donc \lim_{\theta\to\theta_0}Y=\lim_{\theta\to\theta_0}\rho(\theta)\sin(\theta-\theta_0) : - s’il n’y a pas de limite, on a une branche infinie de direction asymptotique OX ; - cette limite est infinie : on a une branche parabolique de direction OX ; - cette limite est finie Y_0 : on a une asymptote d’équation Y=Y_0. Comme X\sim\rho, on sait de quel côté de l’asymptote on est, puisqu’on a pris soin de tracer le repère local.
3.5 Plan d’étude
Pour étudier une courbe en polaires \rho=\rho(\theta) : 1. Chercher l’ensemble de définition, la périodicité et les symétries pour réduire l’ensemble d’étude. 2. Étudier \rho et \rho' sur l’ensemble d’étude réduit (variations, signe de \rho). 3. Étudier les points où \rho=0 (tangente) et les branches infinies. 4. Tracer la courbe.
3.6 Exemple
Étudier la courbe d’équation polaire \rho(\theta)=1+\cos\theta (cardioïde). - \rho est 2\pi-périodique et paire (\rho(-\theta)=\rho(\theta)), donc on étudie sur [0,\pi] et on complète par symétrie par rapport à Ox. - \rho'(\theta)=-\sin\theta, qui s’annule en \theta=0 et \theta=\pi. \rho est décroissante sur [0,\pi], avec \rho(0)=2 et \rho(\pi)=0. - En \theta=\pi, \rho=0, donc la tangente est la droite \theta=\pi. - La courbe est un cardioïde.
3.7 Courbes usuelles en polaires
| Courbe | Équation polaire |
|---|---|
| Cercle de centre O et rayon R | \rho=R |
| Cardioïde | \rho=a(1+\cos\theta) |
| Limaçon de Pascal | \rho=a+b\cos\theta |
| Rosace | \rho=a\cos(k\theta) |
| Spirale d’Archimède | \rho=a\theta |
| Lemniscate de Bernoulli | \rho^2=a^2\cos(2\theta) |