Intégration des fonctions continues sur un segment

Chapitre 16

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PCSI 1re année — Chapitre 16. Fonctions en escalier, construction de l’intégrale, propriétés, sommes de Riemann, théorème fondamental, IPP, Taylor avec reste intégral, changement de variable, intégration numérique.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.

Dans tout ce chapitre, a et b sont deux réels avec a \leq b, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et I, J, … désignent des intervalles. Quand on notera [a,b], il sera sous-entendu que a \leq b.

1 Motivation et construction de l’intégrale

1.1 Le problème de l’aire sous une courbe

Le principe « base × hauteur » va nous permettre de définir l’intégrale d’une fonction en escalier assez facilement, mais c’est l’intégrale d’une fonction continue que nous visons. Comment définir « l’aire sous la courbe » pour une fonction continue quelconque ?

Réponse : par approximation de celle-ci par des fonctions en escalier grâce au résultat de densité.

Pour construire l’intégrale d’une fonction continue, on commence par augmenter le stock des fonctions étudiées en introduisant le concept de fonction continue par morceaux. L’espace vectoriel \mathrm{CM}([a,b], \mathbb{C}) contient ainsi à la fois celui des fonctions en escalier sur [a,b] qui nous intéresse peu mais sur lequel nous savons définir facilement l’intégrale, et \mathcal{C}([a,b], \mathbb{C}) qui nous intéresse mais sur lequel nous ne savons pas définir l’intégrale.

Par densité, la notion d’intégrale d’une fonction en escalier va être étendue aux fonctions continues par morceaux. En particulier, les fonctions continues auront ainsi chacune une intégrale.

Ce qui est assez cocasse dans cette affaire de densité, c’est que l’intersection de \mathcal{C}([a,b], \mathbb{C}) et de l’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] est toute petite, c’est juste l’ensemble des fonctions constantes. La construction de l’intégrale consiste donc à transporter un concept d’un premier endroit vers un deuxième qui n’a presque rien à voir avec le premier. Vive la densité !

2 Subdivision d’un segment et fonctions en escalier

2.1 Subdivision d’un segment

Définition 2.1

Une subdivision du segment [a,b] est une suite finie de réels \sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n) telle que : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b Le pas de la subdivision est \delta(\sigma) = \max_{0 \leq k \leq n-1}(x_{k+1} - x_k).

On parle de subdivision à pas régulière lorsque tous les intervalles [x_k, x_{k+1}] ont même longueur, c’est-à-dire lorsque x_k = a + k\frac{b-a}{n} pour k \in \{0, 1, \ldots, n\}.

2.2 Fonctions en escalier

Définition 2.2

Une fonction f : [a,b] \to \mathbb{C} est dite en escalier s’il existe une subdivision \sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n) de [a,b] telle que f soit constante sur chaque intervalle ]x_k, x_{k+1}[ pour k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}.

Une telle subdivision est dite adaptée à f.

Exemple 2.1

La fonction indicatrice \mathbb{1}_{\{1\}} sur [0,2] est en escalier.

Proposition 2.1 — (Propriétés des fonctions en escalier)

L’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] à valeurs dans \mathbb{K} est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^{[a,b]}.

De plus, la réunion d’une subdivision adaptée à f et d’une subdivision adaptée à g est une subdivision adaptée à f ET à g.

2.3 Fonctions continues par morceaux

Définition 2.3

Une fonction f : [a,b] \to \mathbb{C} est dite continue par morceaux sur [a,b] s’il existe une subdivision \sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n) de [a,b] telle que pour tout k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}, la restriction de f à ]x_k, x_{k+1}[ soit continue et prolongeable par continuité en x_k et x_{k+1}.

L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a,b] à valeurs dans \mathbb{K} est noté \mathrm{CM}([a,b], \mathbb{K}).

Proposition 2.2

Toute fonction en escalier et toute fonction continue sont continues par morceaux.

\mathrm{CM}([a,b], \mathbb{K}) est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de \mathbb{K}^{[a,b]}.

3 Approximation des fonctions continues par des fonctions en escalier

3.1 Théorème de densité

Théorème 3.1 — (Approximation par une fonction en escalier)

Soit f : [a,b] \to \mathbb{K} une fonction continue. Alors pour tout \varepsilon > 0, il existe une fonction en escalier \varphi : [a,b] \to \mathbb{K} telle que : \forall t \in [a,b], \quad |f(t) - \varphi(t)| \leq \varepsilon

Preuve. La fonction f est continue sur le segment [a,b], qui est compact. D’après le théorème de Heine, f est uniformément continue sur [a,b]. Donc pour tout \varepsilon > 0, il existe \alpha > 0 tel que pour tous x, y \in [a,b] : |x-y| < \alpha \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon

On fixe un entier n \in \mathbb{N}^* tel que \frac{b-a}{n} < \alpha et on pose x_k = a + k\frac{b-a}{n} pour k \in \{0, 1, \ldots, n\}.

On définit \varphi sur [a,b] par : pour tout i \in \{0, 1, \ldots, n-1\} et tout x \in [x_i, x_{i+1}[, \varphi(x) = f(x_i), et \varphi(b) = f(b).

Par construction, \varphi est en escalier sur [a,b]. De plus, pour tout x \in [x_i, x_{i+1}] : |\varphi(x) - f(x)| = |f(x_i) - f(x)| \leq \varepsilon car |x - x_i| \leq x_{i+1} - x_i = \frac{b-a}{n} < \alpha.

Corollaire 3.1

Dans le cas \mathbb{K} = \mathbb{R}, on parvient ainsi à construire un couple de fonctions en escalier \varphi et \psi qui encadrent f à \varepsilon près sur [a,b] : \varphi \leq f \leq \psi \quad \text{et} \quad 0 \leq \psi - \varphi \leq \varepsilon

4 Construction de l’intégrale

4.1 Intégrale d’une fonction en escalier

Soient f : [a,b] \to \mathbb{C} en escalier et \sigma = (x_0, x_1, \ldots, x_n) une subdivision de [a,b] adaptée à f. Si y_i désigne pour tout i \in \{0, 1, \ldots, n-1\} la valeur de f sur ]x_i, x_{i+1}[, le nombre complexe : \sum_{i=0}^{n-1} y_i (x_{i+1} - x_i) ne dépend pas de la subdivision \sigma choisie. On l’appelle l’intégrale de f sur [a,b], notée : \int_{[a,b]} f = \int_a^b f(t)\, dt

On définit ici directement l’intégrale d’une fonction en escalier COMPLEXE. Une telle intégrale ne peut bien sûr pas être interprétée en termes d’« aire sous la courbe », fût-elle algébrique.

Théorème 4.1 — (Deux propriétés de l’intégrale d’une fonction en escalier)

Soient f, g : [a,b] \to \mathbb{C} en escalier et \lambda, \mu \in \mathbb{C}.

  1. Linéarité : \int_{[a,b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a,b]} f + \mu \int_{[a,b]} g
  2. Inégalité triangulaire : \left|\int_{[a,b]} f\right| \leq \int_{[a,b]} |f| \leq (b-a)\|f\|_\infty

4.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Définition 4.1

Soit f : [a,b] \to \mathbb{C} continue par morceaux. On définit l’intégrale de f sur [a,b] par : \int_a^b f(t)\, dt = \lim_{p \to +\infty} \int_a^b \varphi_p(t)\, dt où (\varphi_p)_{p \in \mathbb{N}} est une suite de fonctions en escalier sur [a,b] convergeant uniformément vers f.

Théorème 4.2 — (Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux)

Soient f, g \in \mathrm{CM}([a,b], \mathbb{C}).

  1. Linéarité : Pour tous \lambda, \mu \in \mathbb{C} : \int_{[a,b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a,b]} f + \mu \int_{[a,b]} g
  2. Inégalité triangulaire : \left|\int_{[a,b]} f\right| \leq \int_{[a,b]} |f|
  3. Relation de Chasles : Pour tout c \in [a,b] : \int_{[a,b]} f = \int_{[a,c]} f + \int_{[c,b]} f
  4. Lien avec parties réelle et imaginaire : \int_{[a,b]} f = \int_{[a,b]} \mathrm{Re}(f) + i\int_{[a,b]} \mathrm{Im}(f)
  5. Modification d’un nombre fini de valeurs : Si f et g sont égales sauf en un nombre fini de points, alors \int_{[a,b]} f = \int_{[a,b]} g.

Théorème 4.3 — (Propriétés pour les fonctions réelles)

Soient f, g \in \mathrm{CM}([a,b], \mathbb{R}).

  1. Positivité : Si f \geq 0, alors \int_{[a,b]} f \geq 0.
  2. Croissance : Si f \leq g, alors \int_{[a,b]} f \leq \int_{[a,b]} g.
  3. Positivité stricte : Si f est positive sur [a,b], strictement en au moins un point de continuité, et si a < b, alors \int_{[a,b]} f > 0.

4.3 Extension de la notation

Définition 4.2

On étend la notation \int_a^b f(t)\, dt au cas où b \leq a par : \int_a^b f(t)\, dt = -\int_b^a f(t)\, dt \quad \text{si } b \leq a En particulier, \int_a^a f(t)\, dt = 0.

Proposition 4.1 — (Valeur moyenne)

La valeur moyenne d’une fonction continue par morceaux f sur [a,b] est : \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\, dt

5 Primitives et théorème fondamental du calcul intégral

5.1 Primitives

Définition 5.1

Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction continue sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F : I \to \mathbb{K} dérivable sur I telle que : \forall x \in I, \quad F'(x) = f(x)

Proposition 5.1 — (Table des primitives usuelles)

Les primitives des fonctions usuelles sont :

Fonction f(x) Primitive F(x)
e^x e^x
\ln x x\ln x - x
\frac{1}{x} \ln|x|
x^\alpha (\alpha \neq -1) \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}
\sin x -\cos x
\cos x \sin x
\tan x -\ln|\cos x|
\sinh x \cosh x
\cosh x \sinh x
\frac{1}{1+x^2} \arctan x
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \arcsin x

Les élèves doivent savoir utiliser les primitives de x \mapsto e^{\lambda x} pour calculer celles de x \mapsto e^{ax}\cos(bx) et x \mapsto e^{ax}\sin(bx). Ils doivent aussi savoir calculer les primitives d’une fonction du type x \mapsto \frac{1}{ax^2 + bx + c}.

Exemple 5.1

Calculons les primitives de x \mapsto e^{2x}\cos(3x).

On utilise la formule : \int e^{ax}\cos(bx)\, dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos(bx) + b\sin(bx)) + C

Donc : \int e^{2x}\cos(3x)\, dx = \frac{e^{2x}}{4+9}(2\cos(3x) + 3\sin(3x)) + C = \frac{e^{2x}}{13}(2\cos(3x) + 3\sin(3x)) + C

Exemple 5.2

Calculons les primitives de x \mapsto \frac{1}{x^2 + x + 1}.

On a x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}. En posant u = \frac{2x+1}{\sqrt{3}} : \int \frac{dx}{x^2 + x + 1} = \int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C

5.2 Théorème fondamental du calcul intégral

Théorème 5.1 — (Théorème fondamental du calcul intégral)

Soit f : I \to \mathbb{K} une fonction continue sur un intervalle I et a \in I. Alors :

  1. La fonction x \mapsto \int_a^x f(t)\, dt est une primitive de f sur I. C’est l’unique primitive de f qui s’annule en a.

  2. Pour toute primitive G de f sur I : G(x) = G(a) + \int_a^x f(t)\, dt, \quad x \in I

  3. Pour tous a, b \in I : \int_a^b f(t)\, dt = G(b) - G(a) où G est une primitive quelconque de f sur I.

Preuve. Soit x \in I et h \in \mathbb{R} tel que x+h \in I. On a : \frac{1}{h}\left(\int_a^{x+h} f(t)\, dt - \int_a^x f(t)\, dt\right) = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\, dt

Or, d’après le théorème de la valeur moyenne (ou la positivité de l’intégrale), si m_h = \min_{[x, x+h]} f et M_h = \max_{[x, x+h]} f : m_h \leq \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\, dt \leq M_h

Quand h \to 0, par continuité de f, m_h \to f(x) et M_h \to f(x). Par le théorème des gendarmes : \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(x)

Exemple 5.3

La fonction x \mapsto \int_0^x e^{t^2}\, dt est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est x \mapsto e^{x^2}.

Exemple 5.4

La fonction \varphi(x) = \int_0^1 e^{xt^2}\, dt est définie et dérivable sur \mathbb{R}^*_+ de dérivée \varphi'(x) = \frac{e^x}{2x} - \frac{1}{2x}\int_0^1 e^{xt^2}\, dt.

En effet, pour tout x > 0 : \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^{\sqrt{x}} e^{u^2}\, du En posant F(y) = \int_0^y e^{u^2}\, du, on a \varphi(x) = \frac{F(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.

5.3 Intégrales d’une fonction paire / impaire / périodique

Théorème 5.2 — (Intégrales d’une fonction paire / impaire / périodique)

Soit f \in \mathrm{CM}([-a,a], \mathbb{C}).

  • Si f est paire : \int_{-a}^a f(x)\, dx = 2\int_0^a f(x)\, dx
  • Si f est impaire : \int_{-a}^a f(x)\, dx = 0

Si f est T-périodique et continue par morceaux sur \mathbb{R} : \int_a^{a+T} f(t)\, dt = \int_0^T f(t)\, dt \quad \text{pour tout } a \in \mathbb{R}

6 Intégration par parties et changement de variable

6.1 Intégration par parties (IPP)

Théorème 6.1 — (Intégration par parties ou IPP)

Soient u, v \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{C}) et a, b \in I. Alors : \boxed{\int_a^b u'(t)v(t)\, dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\, dt}

Preuve. Comme u et v sont de classe \mathcal{C}^1, les fonctions (uv)', u'v et uv' sont continues. D’après le théorème fondamental du calcul intégral et par linéarité de l’intégrale : [uv]_a^b = \int_a^b (uv)'(t)\, dt = \int_a^b (u'v + uv')(t)\, dt = \int_a^b u'(t)v(t)\, dt + \int_a^b u(t)v'(t)\, dt

Exemple 6.1

Calculons \int_0^1 xe^x\, dx.

Posons u(x) = x et v(x) = e^x, donc u'(x) = 1 et v'(x) = e^x. Alors : \int_0^1 xe^x\, dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e-1) = 1

Exemple 6.2

Calculons \int_0^\pi t\sin t\, dt.

Posons u(t) = t et v'(t) = \sin t, donc u'(t) = 1 et v(t) = -\cos t. Alors : \int_0^\pi t\sin t\, dt = [-t\cos t]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos t)\, dt = \pi + [\sin t]_0^\pi = \pi

Exemple 6.3 — (IPP délicat)

Calculons \int_0^{2\pi} \frac{1-\cos x}{x^2}\, dx.

Les fonctions x \mapsto \frac{1-\cos x}{x^2} et x \mapsto \frac{\sin x}{x} sont continues sur ]0, 2\pi] et prolongeables par continuité en 0 par les valeurs \frac{1}{2} et 1 respectivement, donc les intégrales sont bien définies.

Formellement, par IPP : \int_u^{2\pi} (1-\cos x) \cdot \frac{1}{x^2}\, dx = \left[(1-\cos x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)\right]_u^{2\pi} + \int_u^{2\pi} \sin x \cdot \frac{1}{x}\, dx

Hélas, la fonction x \mapsto -\frac{1}{x} n’est pas de classe \mathcal{C}^1 sur [0, 2\pi], elle l’est seulement sur ]0, 2\pi]. On procède donc par passage à la limite quand u \to 0^+.

6.2 Changement de variable

Théorème 6.2 — (Changement de variable)

Soient \varphi \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{R}) à valeurs dans J, f \in \mathcal{C}(J, \mathbb{C}) et a, b \in I. Alors : \boxed{\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\, dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\, dx}

Exemple 6.4

Calculons \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\, dx.

Posons t = 1 + x^2, donc dt = 2x\, dx. Quand x = 0, t = 1 ; quand x = 1, t = 2. Donc : \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\, dx = \frac{1}{2}\int_1^2 \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}[\ln t]_1^2 = \frac{\ln 2}{2}

Un changement de variable affine x = a + (b-a)t permet de se ramener à l’intervalle [0,1]. Il est aussi utile pour exploiter la périodicité et les symétries d’une fonction.

7 Inégalité des accroissements finis et formule de Taylor

7.1 Inégalité des accroissements finis

Théorème 7.1 — (Inégalité des accroissements finis)

Si f est continue et de classe \mathcal{C}^1 sur le segment [a,b], alors : \left|f(b) - f(a)\right| \leq (b-a)\sup_{[a,b]}|f'|

Preuve. D’après le théorème fondamental du calcul intégral : f(b) - f(a) = \int_a^b f'(t)\, dt Par l’inégalité triangulaire : |f(b) - f(a)| = \left|\int_a^b f'(t)\, dt\right| \leq \int_a^b |f'(t)|\, dt \leq (b-a)\sup_{[a,b]}|f'|

7.2 Formule de Taylor avec reste intégral

Théorème 7.2 — (Formule de Taylor avec reste intégral)

Soit f : I \to \mathbb{C} une fonction de classe \mathcal{C}^{n+1} sur un intervalle I. Alors pour tous a, x \in I : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\, dt

7.3 Inégalité de Taylor-Lagrange

Théorème 7.3 — (Inégalité de Taylor-Lagrange)

Si f est de classe \mathcal{C}^{n+1} sur [a,b], alors : \left|f(b) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k\right| \leq \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}\sup_{[a,b]}|f^{(n+1)}|

Exemple 7.1 — (Développement limité de l’exponentielle)

La fonction t \mapsto e^{zt} est de classe \mathcal{C}^\infty sur [0,1] et pour tous n \in \mathbb{N} et t \in [0,1] : |f^{(n+1)}(t)| = |z|^{n+1}e^{t\,\mathrm{Re}(z)} \leq |z|^{n+1}e^{|\mathrm{Re}(z)|}

D’après l’inégalité de Taylor-Lagrange : \left|e^z - \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}\right| \leq \frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}e^{|\mathrm{Re}(z)|}

On conclut par encadrement.

8 Sommes de Riemann et intégration numérique

8.1 Sommes de Riemann

Théorème 8.1 — (Sommes de Riemann ou méthode des rectangles)

Pour toute fonction f \in \mathrm{CM}([a,b], \mathbb{C}) : \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to +\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right)

Exemple 8.1

Calculons \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}.

Par continuité de x \mapsto \frac{1}{1+x} sur [0,1] : \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 \frac{dt}{1+t} = \ln 2

Exemple 8.2

Calculons \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right).

Par continuité de \sin sur [0,\pi] : \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\frac{\pi}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\, dt = \frac{2}{\pi}

8.2 Méthode des trapèzes

Théorème 8.2 — (Méthode des trapèzes)

Pour toute fonction f \in \mathrm{CM}([a,b], \mathbb{C}) : \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to +\infty} \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) + f\left(a + (k+1)\frac{b-a}{n}\right)}{2}

La méthode des trapèzes est en général plus précise que la méthode des rectangles pour un même nombre de subdivisions.

9 Exercices

Exercice 9.1

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}
  2. \int_0^{\pi/2} \sin^2 x\, dx
  3. \int_1^e x\ln x\, dx
  4. \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

Exercice 9.2

Calculer \int_0^{2\pi} e^{ix}\, dx de deux manières différentes :

  1. En utilisant une primitive directe.
  2. En séparant partie réelle et partie imaginaire.

Exercice 9.3

Montrer que pour tout n \in \mathbb{N}^* : \int_0^1 x^n(1-x)^n\, dx = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}

Exercice 9.4

Soit f : [0,1] \to \mathbb{R} continue. Montrer que : \int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 f(1-x)\, dx

Exercice 9.5

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue et T-périodique. Montrer que : \int_0^{nT} f(t)\, dt = n\int_0^T f(t)\, dt \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}

Exercice 9.6

Calculer les sommes suivantes en reconnaissant des sommes de Riemann :

  1. \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}
  2. \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} e^{k/n}
  3. \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1 + (k/n)^2}

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Chapitre 16 : Intégration des fonctions continues sur un segment