Espaces préhilbertiens réels

Chapitre 15

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

22 août 2026

PCSI (1re année) — Chapitre 15. Produit scalaire, norme associée, Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormales, Gram-Schmidt, projection orthogonale, distance à un sous-espace, produit vectoriel en dimension 3.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.

Dans toute la suite, E est un espace vectoriel réel.

1 Produit scalaire

1.1 Définition

Définition 1.1 — (Produit scalaire)

On appelle produit scalaire sur E toute application \langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R} qui vérifie :

Symétrie : \forall x, y \in E, \quad \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle
Bilinéarité : \forall x, y, z \in E, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \quad \langle \lambda x + \mu y, z \rangle = \lambda \langle x, z \rangle + \mu \langle y, z \rangle
Positivité : \forall x \in E, \quad \langle x, x \rangle \geq 0
Définie positive : \forall x \in E, \quad \langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0_E

Remarque.

Si E est muni d’un produit scalaire \langle \cdot, \cdot \rangle, il sera dit espace préhilbertien.
S’il est, de plus, de dimension finie, il sera dit espace euclidien.

1.2 Exemples de produits scalaires

Exemple 1.1 — (Produit scalaire canonique sur \boldsymbol{\mathbb{R}^n})

Le produit scalaire canonique sur \mathbb{R}^n est défini par : \langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n = \sum_{k=1}^n x_k y_k = {}^tX Y où x = (x_1, \ldots, x_n), y = (y_1, \ldots, y_n) et X, Y sont les colonnes des coordonnées de x et y.

Exemple 1.2 — (Produit scalaire sur \boldsymbol{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})})

Sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), l’application : \langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^tA B) = \sum_{i,j=1}^n a_{i,j} b_{i,j} est un produit scalaire.

Exemple 1.3 — (Produit scalaire sur les fonctions continues)

Sur \mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}), l’application : \langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t)\, dt est un produit scalaire.

Exemple 1.4 — (Produit scalaire sur les fonctions \boldsymbol{2\pi}-périodiques)

Sur l’espace vectoriel \mathcal{C}_{2\pi}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) des fonctions continues 2\pi-périodiques, l’application : \langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) g(t)\, dt est un produit scalaire.

Exemple 1.5 — (Produit scalaire sur \boldsymbol{\mathbb{R}_n[X]})

Sur \mathbb{R}_n[X], l’application : \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t) Q(t)\, dt est un produit scalaire. De même, l’application : \langle P, Q \rangle = \sum_{k=0}^n P(k) Q(k) est un produit scalaire.

Exemple 1.6 — (Produit scalaire sur \boldsymbol{\mathbb{C}} considéré comme \boldsymbol{\mathbb{R}}-espace vectoriel)

\mathbb{C} est un \mathbb{R}-espace vectoriel qui s’identifie à \mathbb{R}^2. Son produit scalaire standard est défini pour z, z' \in \mathbb{C} par : \langle z, z' \rangle = \mathrm{Re}(z) \mathrm{Re}(z') + \mathrm{Im}(z) \mathrm{Im}(z') = \mathrm{Re}(\overline{z} z')

Exercice 1.1

Montrer que les applications : \varphi_1(P,Q) = \int_{-1}^1 P(t) Q(t)\, dt, \quad \varphi_2(P,Q) = \sum_{k=0}^n P(k) Q(k) définissent des produits scalaires sur E = \mathbb{R}_n[X].

2 Norme hilbertienne

2.1 Définition

Définition 2.1 — (Norme associée à un produit scalaire)

Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien. La norme associée au produit scalaire est définie par : \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}, \quad x \in E La distance associée à cette norme est : d(x, y) = \|x - y\|, \quad x, y \in E

Exemple 2.1

Dans \mathbb{R}^n muni du produit scalaire canonique : \|x\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}

2.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Proposition 2.1 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Pour x, y \in E : \boxed{|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|} Il y a égalité si et seulement si x et y sont linéairement dépendants (c’est-à-dire liés).

Preuve.

Si x = 0_E, on trouve 0 = 0, ce qui est vrai.
Supposons x \neq 0_E. Alors pour tout t \in \mathbb{R}, \langle tx + y, tx + y \rangle \geq 0, or : \langle tx + y, tx + y \rangle = t^2 \langle x, x \rangle + 2t \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle = P(t) On a donc P(t) \geq 0 pour tout t \in \mathbb{R}. Le discriminant de ce trinôme du second degré en t est donc négatif ou nul : \Delta = 4\langle x, y \rangle^2 - 4\|x\|^2 \|y\|^2 \leq 0 d’où \langle x, y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2, c’est-à-dire |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|.

Pour l’égalité, on vérifie que P(t) = 0 pour un certain t si et seulement si tx + y = 0, c’est-à-dire si x et y sont liés.

2.3 Inégalité triangulaire

Proposition 2.2 — (Inégalité triangulaire)

Pour x, y \in E : \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| Il y a égalité si et seulement si x et y sont positivement colinéaires (c’est-à-dire \exists \lambda \geq 0 tel que y = \lambda x ou x = \lambda y).

Preuve. On a : \|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2 Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \|x + y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2 D’où \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|.

2.4 Identités remarquables

Proposition 2.3 — (Identités de polarisation et identité du parallélogramme)

Pour x, y \in E :

Identité de polarisation : 2\langle x, y \rangle = \|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2
Identité du parallélogramme : \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)
Autre forme de polarisation : \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2\right)

Remarque. Il existe des normes qui ne sont pas hilbertiennes. Par exemple, la norme \|\cdot\|_\infty sur \mathbb{R}^2 vérifie pour x = (0,1) et y = (1,0) : \|x + y\|_\infty^2 + \|x - y\|_\infty^2 = 2 \neq 4 = 2(\|x\|_\infty^2 + \|y\|_\infty^2) Donc \|\cdot\|_\infty n’est pas une norme hilbertienne.

Exercice 2.1

Soient x, y et z trois réels tels que x^2 + y^2 + z^2 \leq 1. Montrer que (x + 2y + 3z)^2 \leq 14.

Exercice 2.2

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel non nul, \varphi un produit scalaire sur E, (a,b,c) \in \mathbb{R}^3. On considère \psi : E \times E \to \mathbb{R} définie par : \psi(x,y) = a\varphi(x,x) + b\varphi(x,y) + c\varphi(y,y) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur (a,b,c) pour que \psi soit un produit scalaire sur E.

3 Orthogonalité

3.1 Définitions

Définition 3.1 — (Orthogonalité)

Soient x, y \in E. On dit que x et y sont orthogonaux, et on note x \perp y, si : \langle x, y \rangle = 0

Définition 3.2 — (Orthogonal d’une partie)

Soit A une partie de E. L’orthogonal de A est : A^\perp = \{y \in E \mid \forall x \in A, \; \langle x, y \rangle = 0\}

Proposition 3.1

L’orthogonal d’une partie est un sous-espace vectoriel : \forall A \subset E, \quad A^\perp \text{ est un sous-espace vectoriel de } E

Exemple 3.1

Dans \mathbb{R}^2 muni du produit scalaire usuel \langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 :

Les deux vecteurs v_1 = (1,0) et v_2 = (0,2) sont orthogonaux.
La famille (v_1 = (1,0), v_2 = (0,2)) est orthogonale et la famille (v_1 = (1,0), v_2 = (0,1)) est orthonormale.
Pour A = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1 + x_2 = 0\}, on a : A^\perp = \{y = (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2 \mid \forall x \in A, \; \langle x, y \rangle = 0\} = \mathrm{Vect}((1,1))

Exercice 3.1

Soient \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base orthonormale de E et (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{(0,\ldots,0)\} et H le sous-espace vectoriel de E d’équation cartésienne \sum_{k=1}^n a_k x_k = 0 dans \mathcal{B}.

Déterminer l’orthogonale de H.
Déterminer la distance du vecteur x = \sum_{k=1}^n x_k e_k de E au sous-espace vectoriel H.

3.2 Familles orthogonales et orthonormales

Définition 3.3

Une famille de vecteurs (x_i)_{i \in I} est :

orthogonale si \forall i \neq j, \; x_i \perp x_j
orthonormale (ou orthonormée) si elle est orthogonale et si tous les vecteurs sont de norme 1

Proposition 3.2 — (Famille orthogonale libre)

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Preuve. Soit (x_1, \ldots, x_p) une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Supposons \sum_{k=1}^p \lambda_k x_k = 0. Pour chaque j, en prenant le produit scalaire avec x_j : 0 = \left\langle \sum_{k=1}^p \lambda_k x_k, x_j \right\rangle = \sum_{k=1}^p \lambda_k \langle x_k, x_j \rangle = \lambda_j \langle x_j, x_j \rangle = \lambda_j \|x_j\|^2 Comme x_j \neq 0, on a \|x_j\|^2 \neq 0, donc \lambda_j = 0. Ceci est vrai pour tout j, donc la famille est libre.

Proposition 3.3 — (Théorème de Pythagore)

Si (x_i)_{1 \leq i \leq n} est une famille orthogonale de vecteurs, alors : \left\|\sum_{i=1}^n x_i\right\|^2 = \sum_{i=1}^n \|x_i\|^2

Exercice 3.2 — (Théorème de Pythagore)

Soient u et v deux vecteurs orthogonaux de E. Calculer \|u+v\|^2. Illustrer le résultat obtenu à l’aide d’un dessin.

3.3 Bases orthonormales

Définition 3.4 — (Base orthonormale)

Une base \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) d’un espace euclidien E est orthonormale si elle est orthonormale.

Théorème 3.1 — (Existence de bases orthonormales)

Tout espace euclidien admet au moins une base orthonormale.

Théorème 3.2 — (Théorème de la base orthonormale incomplète)

Toute famille orthonormale d’un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale.

3.4 Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Théorème 3.3 — (Algorithme de Gram-Schmidt)

Soit (x_1, \ldots, x_p) une famille libre d’un espace préhilbertien E. Alors il existe une unique famille orthonormale (e_1, \ldots, e_p) telle que : \forall k \in \{1, \ldots, p\}, \quad \mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_k) \quad \text{et} \quad \langle x_k, e_k \rangle > 0

L’algorithme est le suivant : e_1 = \frac{x_1}{\|x_1\|}, \quad e_k = \frac{x_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle x_k, e_j \rangle e_j}{\left\|x_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle x_k, e_j \rangle e_j\right\|} \quad \text{pour } k \geq 2

Exemple 3.2 — (Application de Gram-Schmidt sur \boldsymbol{\mathbb{R}_2[X]})

Construisons une base orthonormale de \mathbb{R}_2[X] pour le produit scalaire \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\, dt en appliquant l’algorithme de Gram-Schmidt à la base (1, X, X^2).

Étape 1 : e_1 = \frac{1}{\|1\|}. On calcule \|1\|^2 = \int_{-1}^1 1\, dt = 2, donc \|1\| = \sqrt{2} et : e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}

Étape 2 : On calcule x_2' = X - \langle X, e_1 \rangle e_1. On a \langle X, e_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-1}^1 t\, dt = 0 (fonction impaire). Donc x_2' = X et : e_2 = \frac{X}{\|X\|} = \frac{X}{\sqrt{\int_{-1}^1 t^2\, dt}} = \frac{X}{\sqrt{2/3}} = X\sqrt{\frac{3}{2}}

Étape 3 : On calcule x_3' = X^2 - \langle X^2, e_1 \rangle e_1 - \langle X^2, e_2 \rangle e_2. On obtient finalement : e_3 = \frac{1}{\sqrt{8/5}}\left(X^2 - \frac{1}{3}\right)

3.5 Coordonnées dans une base orthonormale

Proposition 3.4

Soit \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base orthonormale de E. Si x = \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i et y = \sum_{i=1}^n \beta_i e_i, alors :

\alpha_j = \langle x, e_j \rangle pour tout j
\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i
\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \alpha_i^2

Preuve. On a : \langle x, e_j \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i, e_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \alpha_i \langle e_i, e_j \rangle = \alpha_j car \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i,j} (symbole de Kronecker).

De même : \langle x, y \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i, \sum_{j=1}^n \beta_j e_j \right\rangle = \sum_{i,j} \alpha_i \beta_j \langle e_i, e_j \rangle = \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i

Remarque. On remarque que \langle x, y \rangle = {}^tX Y où X et Y sont les colonnes des coordonnées de x et y dans la base orthonormale \mathcal{B} et . est le produit scalaire canonique sur \mathbb{R}^n.

4 Projection orthogonale

4.1 Supplémentaire orthogonal

Proposition 4.1

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Alors : E = F \oplus F^\perp

Proposition 4.2 — (Dimension de \boldsymbol{F^\perp})

Si E est un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E, alors : \dim(F) + \dim(F^\perp) = \dim(E)

4.2 Projection orthogonale

Définition 4.1 — (Projection orthogonale)

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. La projection orthogonale sur F est l’application p_F : E \to F définie par : p_F(x) = y \quad \text{où } x = y + z \text{ avec } y \in F \text{ et } z \in F^\perp

Proposition 4.3 — (Expression du projeté orthogonal)

Si \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p) est une base orthonormale de F, alors : p_F(x) = \sum_{k=1}^p \langle x, e_k \rangle e_k

Remarque. À défaut d’une base orthonormale de F, les élèves doivent savoir déterminer p_F(x) en résolvant un système linéaire traduisant l’orthogonalité du vecteur x - p_F(x) aux vecteurs d’une base (ou d’une famille génératrice) de F.

Exercice 4.1 — (Projection orthogonale et distance à un sous-espace)

Soient E un espace euclidien, u un vecteur non nul et H = u^\perp. Soient p la projection orthogonale sur H et s la symétrie orthogonale par rapport à H.

Montrer que \forall x \in E, p(x) = x - \frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
Montrer que \forall x \in E, s(x) = x - 2\frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u.
On considère dans \mathbb{R}^3 le plan (\Pi : x - y + z = 0). Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à \Pi.

4.3 Distance à un sous-espace vectoriel

Définition 4.2 — (Distance à un sous-espace vectoriel)

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. La distance d’un vecteur x à F est : d(x, F) = \inf_{y \in F} \|x - y\|

Théorème 4.1 — (Le projeté orthogonal minimise la distance)

Le projeté orthogonal de x sur F est l’unique élément de F qui minimise la distance de x à F : \boxed{\|x - p_F(x)\| = \min_{y \in F} \|x - y\|}

Proposition 4.4 — (Formule de la distance à un hyperplan)

En dimension finie, si F = \mathrm{Vect}(u)^\perp est un hyperplan (avec u \neq 0), alors : d(x, F) = \frac{|\langle x, u \rangle|}{\|u\|}

Proposition 4.5 — (Inégalité de Bessel)

Pour tout x \in E : \|p_F(x)\| \leq \|x\|

Exercice 4.2 — (Application de la projection orthogonale)

Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire (on admet que l’intégrale sur [-1,1] d’une fonction f continue et positive est nulle si et seulement si f est nulle sur [-1,1]).

À l’aide du procédé de Schmidt appliqué à la base (1, X, X^2), construire une base orthonormée de \mathbb{R}_2[X] pour ce produit scalaire.

On considère le polynôme P_0 = X^3. Calculer la projection orthogonale de X^3 sur \mathbb{R}_2[X]. En déduire que pour ce produit scalaire, on a : d(X^3, \mathbb{R}_2[X]) = \frac{2}{5\sqrt{7}}

5 Produit vectoriel en dimension 3

5.1 Définition

Définition 5.1 — (Produit vectoriel)

Dans un espace euclidien orienté de dimension 3 muni d’une base orthonormale directe (e_1, e_2, e_3), le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est le vecteur noté u \wedge v (ou u \times v) défini par : \langle u \wedge v, w \rangle = \det(u, v, w) \quad \text{pour tout } w \in E

où \det(u, v, w) est le déterminant de la famille (u, v, w) dans la base orthonormale directe.

Proposition 5.1 — (Expression du produit vectoriel)

Si u = (u_1, u_2, u_3) et v = (v_1, v_2, v_3) dans une base orthonormale directe, alors : u \wedge v = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1)

Proposition 5.2 — (Propriétés du produit vectoriel)

Le produit vectoriel vérifie :

Bilinéarité : (\lambda u + \mu v) \wedge w = \lambda(u \wedge w) + \mu(v \wedge w)
Antisymétrie : u \wedge v = -(v \wedge u)
u \wedge v = 0 si et seulement si u et v sont colinéaires
u \wedge v est orthogonal à u et à v

5.2 Produit mixte

Définition 5.2 — (Produit mixte)

Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w est : [u, v, w] = \langle u \wedge v, w \rangle = \det(u, v, w)

Proposition 5.3 — (Interprétation géométrique)

La valeur absolue |[u, v, w]| représente le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs u, v et w.

Proposition 5.4

Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement si [u, v, w] = 0.

Exemple 5.1

Dans \mathbb{R}^3 muni de la base canonique orthonormale directe :

e_1 \wedge e_2 = e_3, e_2 \wedge e_3 = e_1, e_3 \wedge e_1 = e_2
e_1 \wedge e_1 = 0, e_2 \wedge e_2 = 0, e_3 \wedge e_3 = 0

Exercice 5.1

Soient u = (1, 2, 3) et v = (4, 5, 6) dans \mathbb{R}^3.

Calculer u \wedge v.
Vérifier que u \wedge v est orthogonal à u et à v.
Calculer le produit mixte [u, v, e_1].

6 Exercices de synthèse

Exercice 6.1

Soit P le sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \mathbb{R}^4 défini par : P = \{u = (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \text{ et } x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0\}

Déterminer une base de P.
Déterminer P^\perp.
Déterminer la distance du vecteur (1, 0, 0, 0) à P.

Exercice 6.2

Soit \varphi l’application définie sur \mathbb{R}_2[X] par : \varphi(P, Q) = \int_{-1}^1 P(t) Q(t)\, dt

Montrer que \varphi est un produit scalaire.
On suppose n = 2. Écrire la matrice associée à \varphi dans la base (1, X, X^2). Construire une base orthonormale (P_0, P_1, P_2) par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt appliqué à (1, X, X^2).

Exercice 6.3