Matrices et déterminants
Chapitre 14
PCSI (1re année) — Chapitre 14. Matrice d’une application linéaire, changements de bases, matrices semblables, déterminants (matrice, famille de vecteurs, endomorphisme), comatrice, formules de Cramer, déterminant de Vandermonde.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière PCSI.
Dans tout ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, et tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
1 Matrice d’une application linéaire
1.1 Matrice d’une famille de vecteurs
Définition 1.1
Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n, \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base de E, et v_1, \ldots, v_p des vecteurs de E.
Pour chaque j \in \{1, \ldots, p\}, le vecteur v_j s’écrit de manière unique : v_j = a_{1,j} e_1 + a_{2,j} e_2 + \cdots + a_{n,j} e_n
La matrice de la famille (v_1, \ldots, v_p) dans la base \mathcal{B} est la matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) dont la j-ème colonne est constituée des coordonnées de v_j dans la base \mathcal{B} :
A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p} \end{pmatrix}
Exemple 1.1
Dans \mathbb{R}^3 muni de la base canonique \mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3), la matrice de la famille ((1,2,3), (4,5,6)) est : A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
1.2 Matrice d’une application linéaire
Définition 1.2
Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n, \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_p) une base de E et \mathcal{B}' = (f_1, \ldots, f_n) une base de F.
Soit u : E \to F une application linéaire. Pour chaque j \in \{1, \ldots, p\}, le vecteur u(e_j) s’écrit de manière unique : u(e_j) = a_{1,j} f_1 + a_{2,j} f_2 + \cdots + a_{n,j} f_n
La matrice de l’application linéaire u par rapport aux bases \mathcal{B} et \mathcal{B}' est la matrice A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) dont la j-ème colonne est constituée des coordonnées de u(e_j) dans la base \mathcal{B}'. On note : A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u)
Remarque. Une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie est entièrement déterminée par l’image d’une base de l’espace de départ.
Exemple 1.2
Soit u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 définie par u(x,y) = (x+y, x-y, 2x).
Dans les bases canoniques : u(e_1) = u(1,0) = (1, 1, 2), \quad u(e_2) = u(0,1) = (1, -1, 0)
Donc : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
Exemple 1.3
Soit u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par u(x,y,z) = (2x+y, y-z, x+z).
u(e_1) = (2, 0, 1), \quad u(e_2) = (1, 1, 0), \quad u(e_3) = (0, -1, 1)
\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur
Proposition 1.1
Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies, \mathcal{B} une base de E, \mathcal{B}' une base de F, et u \in \mathcal{L}(E,F).
Si X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x) est la matrice colonne des coordonnées de x \in E dans la base \mathcal{B}, et A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u), alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u(x)) = A \cdot X
Exemple 1.4
Reprenons l’exemple précédent avec u(x,y) = (x+y, x-y, 2x) et x = (3, 1).
X = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}
Vérification : u(3,1) = (3+1, 3-1, 2 \times 3) = (4, 2, 6). ✓
1.4 Matrice d’une composée
Proposition 1.2
Soient E, F, G trois \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies, \mathcal{B} une base de E, \mathcal{B}' une base de F, \mathcal{B}'' une base de G.
Soient u \in \mathcal{L}(E,F) et v \in \mathcal{L}(F,G). Alors : \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}''}(v \circ u) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}''}(v) \times \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u)
Remarque. Le produit matriciel est défini de manière à correspondre à la composition des applications linéaires. L’ordre est important : la matrice de v \circ u est le produit de la matrice de v par la matrice de u, dans cet ordre.
1.5 Isomorphisme entre \mathcal{L}(E,F) et \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})
Théorème 1.1
Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n, \mathcal{B} une base de E et \mathcal{B}' une base de F.
L’application : \Phi : \mathcal{L}(E,F) \to \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}), \quad u \mapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u) est un isomorphisme de \mathbb{K}-espaces vectoriels.
Corollaire 1.1
\dim(\mathcal{L}(E,F)) = \dim(E) \times \dim(F) = p \times n.
2 Changements de bases
2.1 Matrice de passage
Définition 2.1
Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n, \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) et \mathcal{B}' = (e'_1, \ldots, e'_n) deux bases de E.
La matrice de passage de \mathcal{B} à \mathcal{B}', notée P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, est la matrice de la famille \mathcal{B}' dans la base \mathcal{B}. Autrement dit, la j-ème colonne de P est constituée des coordonnées de e'_j dans la base \mathcal{B}.
Proposition 2.1
La matrice de passage P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} est inversible, et : P^{-1} = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}', \mathcal{B}}
Exemple 2.1
Dans \mathbb{R}^2, soient \mathcal{B} = (e_1, e_2) la base canonique et \mathcal{B}' = (e'_1, e'_2) avec e'_1 = e_1 + e_2 et e'_2 = e_1 - e_2.
P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}
2.2 Effet d’un changement de base sur les coordonnées d’un vecteur
Proposition 2.2
Soient \mathcal{B} et \mathcal{B}' deux bases de E, P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, et x \in E. Si X = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(x) et X' = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(x), alors : X = P \cdot X' \quad \text{et} \quad X' = P^{-1} \cdot X
2.3 Effet d’un changement de bases sur la matrice d’une application linéaire
Théorème 2.1 — (Formule de changement de bases)
Soient E et F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies, \mathcal{B}_E, \mathcal{B}'_E deux bases de E, \mathcal{B}_F, \mathcal{B}'_F deux bases de F.
Soit u \in \mathcal{L}(E,F). On pose : - P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}_E, \mathcal{B}'_E} - Q = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}_F, \mathcal{B}'_F} - A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_E, \mathcal{B}_F}(u) - B = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'_E, \mathcal{B}'_F}(u)
Alors : \boxed{B = Q^{-1} A P}
2.4 Cas particulier des endomorphismes
Corollaire 2.1 — (Formule de changement de base pour un endomorphisme)
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie, \mathcal{B} et \mathcal{B}' deux bases de E, P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}, et u \in \mathcal{L}(E). Si A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) et B = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u), alors : \boxed{B = P^{-1} A P}
3 Matrices semblables
3.1 Définition
Définition 3.1
Deux matrices A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) sont dites semblables s’il existe une matrice inversible P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) telle que : B = P^{-1} A P
Proposition 3.1
La relation de similitude est une relation d’équivalence sur \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) :
- Réflexivité : A est semblable à elle-même (avec P = I_n).
- Symétrie : Si B = P^{-1}AP, alors A = PBP^{-1}, donc A est semblable à B.
- Transitivité : Si B = P^{-1}AP et C = Q^{-1}BQ, alors C = (PQ)^{-1}A(PQ), donc A est semblable à C.
Proposition 3.2 — (Interprétation)
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.
Proposition 3.3 — (Invariants par similitude)
Si A et B sont semblables, alors :
- \det(A) = \det(B)
- \mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(B)
- \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(B)
- A et B ont les mêmes valeurs propres
- A^n et B^n sont semblables pour tout n \in \mathbb{N}
Exemple 3.1
Les matrices A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} sont-elles semblables ?
On vérifie les invariants : \mathrm{tr}(A) = 5 = \mathrm{tr}(B), \det(A) = 6 = \det(B), \mathrm{rg}(A) = 2 = \mathrm{rg}(B).
Les valeurs propres de A sont 2 et 3. Les valeurs propres de B sont aussi 2 et 3. Donc A et B sont semblables.
4 Déterminants
4.1 Définition du déterminant d’une matrice carrée
Définition 4.1 — (Déterminant d’une matrice carrée)
Soit A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Le déterminant de A, noté \det(A) ou |A|, est défini récursivement par :
- Pour n = 1 : \det(a_{1,1}) = a_{1,1}
- Pour n \geq 2 : développement par rapport à la première ligne (ou colonne) : \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1,j} \det(A_{1,j}) où A_{1,j} est la matrice obtenue en supprimant la première ligne et la j-ème colonne de A.
Exemple 4.1
Pour n = 2 : \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc
Pour n = 3 : \det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} = a_{1,1}(a_{2,2}a_{3,3} - a_{2,3}a_{3,2}) - a_{1,2}(a_{2,1}a_{3,3} - a_{2,3}a_{3,1}) + a_{1,3}(a_{2,1}a_{3,2} - a_{2,2}a_{3,1})
4.2 Développement de Laplace
Théorème 4.1 — (Développement de Laplace)
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors pour tout i \in \{1, \ldots, n\} : \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} \det(A_{i,j}) et pour tout j \in \{1, \ldots, n\} : \det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} \det(A_{i,j})
On appelle ce développement le développement de Laplace par rapport à la i-ème ligne (resp. j-ème colonne).
Définition 4.2 — (Mineur et cofacteur)
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).
- Le mineur de a_{i,j} est le déterminant \det(A_{i,j}).
- Le cofacteur de a_{i,j} est \Delta_{i,j} = (-1)^{i+j} \det(A_{i,j}).
Exemple 4.2
Calculons le déterminant de A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} en développant par rapport à la première ligne :
\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}
= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35) = -3 + 12 - 9 = 0
4.3 Propriétés du déterminant
Proposition 4.1 — (Propriétés fondamentales du déterminant)
Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).
- Multiplicativité : \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)
- Inverse : Si A est inversible, \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
- Transposée : \det({}^tA) = \det(A)
- Scalaire : \det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)
Proposition 4.2 — (Effet des opérations élémentaires sur le déterminant)
Les opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) ont les effets suivants sur le déterminant :
- L_i \leftarrow \lambda L_i avec \lambda \neq 0 : le déterminant est multiplié par \lambda.
- L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j avec \lambda \in \mathbb{K} (et j \neq i) : le déterminant ne change pas.
- L_i \leftrightarrow L_j : le déterminant change de signe.
Proposition 4.3 — (Caractérisation de l’inversibilité)
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors : A \text{ est inversible} \iff \det(A) \neq 0
Proposition 4.4 — (Déterminant d’une matrice triangulaire)
Le déterminant d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit de ses coefficients diagonaux.
En particulier, le déterminant d’une matrice diagonale est le produit de ses coefficients diagonaux.
Exemple 4.3
\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \times 7 \times 4 = 56
Proposition 4.5 — (Cas de deux colonnes identiques)
Si une matrice carrée a deux colonnes identiques, son déterminant est nul.
4.4 Déterminant d’une famille de vecteurs
Définition 4.3 — (Déterminant d’une famille de vecteurs)
Soient E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n, \mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n) une base de E, et (v_1, \ldots, v_n) une famille de n vecteurs de E.
Le déterminant de la famille (v_1, \ldots, v_n) dans la base \mathcal{B}, noté \det_{\mathcal{B}}(v_1, \ldots, v_n), est le déterminant de la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des v_j dans la base \mathcal{B}.
Proposition 4.6 — (Caractérisation des bases)
Une famille (v_1, \ldots, v_n) de n vecteurs d’un espace vectoriel de dimension n est une base si et seulement si : \det_{\mathcal{B}}(v_1, \ldots, v_n) \neq 0
4.5 Déterminant d’un endomorphisme
Définition 4.4 — (Déterminant d’un endomorphisme)
Soit u \in \mathcal{L}(E) avec \dim(E) = n. Le déterminant de u est : \det(u) = \det(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)) où \mathcal{B} est une base quelconque de E.
Proposition 4.7
Le déterminant d’un endomorphisme ne dépend pas du choix de la base. De plus :
- \det(v \circ u) = \det(v) \cdot \det(u)
- Si u est un automorphisme : \det(u^{-1}) = \frac{1}{\det(u)}
Proposition 4.8 — (Interprétation géométrique)
Dans \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 muni d’une base orthonormée directe :
- Le déterminant de deux vecteurs (u, v) de \mathbb{R}^2 représente l’aire algébrique du parallélogramme construit sur u et v.
- Le déterminant de trois vecteurs (u, v, w) de \mathbb{R}^3 représente le volume algébrique du parallélépipède construit sur u, v et w.
5 Comatrice
5.1 Définition
Définition 5.1 — (Comatrice)
Soit A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). La comatrice de A, notée \mathrm{Com}(A), est la matrice définie par : \mathrm{Com}(A)_{i,j} = \Delta_{i,j} = (-1)^{i+j} \det(A_{i,j}) où \Delta_{i,j} est le cofacteur de a_{i,j}.
Théorème 5.1 — (Formule de la comatrice)
Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). Alors : A \cdot {}^t\mathrm{Com}(A) = {}^t\mathrm{Com}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n
Corollaire 5.1 — (Inverse d’une matrice inversible)
Si A est inversible : \boxed{A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot {}^t\mathrm{Com}(A)}
Exemple 5.1
Calculons l’inverse de A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.
\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2.
La comatrice est : \mathrm{Com}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
Donc : A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}
Vérification : A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. ✓
6 Formules de Cramer
Théorème 6.1 — (Règle de Cramer)
Soit A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) et B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^n. Le système AX = B admet une unique solution X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} donnée par : \boxed{x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}} où A_j est la matrice obtenue en remplaçant la j-ème colonne de A par B.
Exemple 6.1
Résolvons le système : \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}
On a A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}.
\det(A) = 4 - 6 = -2.
x = \frac{\det\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}}{-2} = \frac{20 - 22}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1
y = \frac{\det\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 11 \end{pmatrix}}{-2} = \frac{11 - 15}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2
Donc la solution est (x, y) = (1, 2).
7 Déterminant de Vandermonde
7.1 Définition et formule
Définition 7.1 — (Matrice de Vandermonde)
Soient x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{K}. La matrice de Vandermonde associée est : V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}
Théorème 7.1 — (Déterminant de Vandermonde)
\boxed{\det(V) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)}
Exemple 7.1
Pour n = 3 : \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{pmatrix} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)
Proposition 7.1 — (Conséquence : caractérisation de l’inversibilité)
La matrice de Vandermonde V est inversible si et seulement si les x_i sont deux à deux distincts.
7.2 Lien avec le problème d’interpolation de Lagrange
Théorème 7.2 — (Interpolation de Lagrange)
Soient n points distincts x_1, \ldots, x_n de \mathbb{K} et y_1, \ldots, y_n \in \mathbb{K}. Il existe un unique polynôme P \in \mathbb{K}_{n-1}[X] tel que : P(x_i) = y_i \quad \text{pour tout } i \in \{1, \ldots, n\}
Preuve. Le problème revient à résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues (les coefficients du polynôme). La matrice de ce système est une matrice de Vandermonde, qui est inversible car les x_i sont distincts. D’après la règle de Cramer, le système admet une unique solution.
Le déterminant de Vandermonde joue un rôle fondamental dans l’interpolation polynomiale, car il garantit l’existence et l’unicité du polynôme d’interpolation.
8 Exercices
Exercice 8.1
Soit u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 définie par u(x,y,z) = (x+2y-z, 2x+3y).
- Déterminer la matrice de u dans les bases canoniques.
- Calculer \mathrm{Ker}(u) et \mathrm{Im}(u).
- Vérifier le théorème du rang.
Exercice 8.2
Soient \mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de \mathbb{R}^3 et \mathcal{B}' = (e'_1, e'_2, e'_3) avec : e'_1 = e_1 + e_2, \quad e'_2 = e_2 + e_3, \quad e'_3 = e_1 + e_3
- Déterminer la matrice de passage P = \mathrm{Pass}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}.
- Calculer P^{-1}.
- Soit x = 2e_1 + 3e_2 + e_3. Déterminer les coordonnées de x dans la base \mathcal{B}'.
Exercice 8.3
Soit u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 définie par u(x,y) = (3x-y, x+y).
- Déterminer la matrice A de u dans la base canonique.
- Soit \mathcal{B}' = ((1,1), (1,-1)). Déterminer la matrice B de u dans la base \mathcal{B}'.
- Vérifier que A et B sont semblables.
Exercice 8.4
Calculer les déterminants suivants :
- \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}
- \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}
- \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}
Exercice 8.5
Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
- Calculer \det(A).
- Déterminer la comatrice de A.
- Calculer A^{-1} en utilisant la comatrice.
Exercice 8.6
Résoudre le système suivant par la règle de Cramer : \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + 2y + z = 2 \\ x + y + 2z = 3 \end{cases}
Exercice 8.7
Calculer le déterminant de Vandermonde pour n = 4 et x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4.
Exercice 8.8
Soit P \in \mathbb{R}_3[X] tel que P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 5, P(3) = 10.
- Montrer qu’il existe un unique polynôme P vérifiant ces conditions.
- Déterminer P en utilisant l’interpolation de Lagrange.