Variables aléatoires finies
Chapitre 26
MPSI (1re année) — Chapitre 26. Variables aléatoires finies, loi d’une variable aléatoire, espérance, variance, écart-type, lois uniforme, de Bernoulli et binomiale.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Variables aléatoires finies
Dans tout ce chapitre, (\Omega,P) désigne un espace probabilisé fini.
1 Variables aléatoires finies
1.1 Définition
Définition 2.1 — (Variable aléatoire finie)
Une variable aléatoire finie sur (\Omega,P) est une application X:\Omega\longrightarrow\mathbb{R} dont l’image X(\Omega) est un ensemble fini.
Exemple 2.1
Lors du lancer d’un dé équilibré, la variable X qui associe à chaque résultat sa valeur est une variable aléatoire finie avec X(\Omega)=\{1,2,3,4,5,6\}.
1.2 Loi d’une variable aléatoire
Définition 2.2 — (Loi d’une variable aléatoire)
Soit X une variable aléatoire finie avec X(\Omega)=\{x_1,\ldots,x_n\}. La loi de X est l’application qui associe à chaque x_i la probabilité P(X=x_i).
Exemple 2.2
Lors du lancer d’un dé équilibré, la loi de X est donnée par P(X=k)=\frac16 pour k\in\{1,\ldots,6\}.
Proposition 2.1
Soit X une variable aléatoire finie. Alors : \sum_{x\in X(\Omega)}P(X=x)=1
Définition 2.3 — (Support)
Le support d’une variable aléatoire finie X est l’ensemble X(\Omega) des valeurs prises par X.
2 Loi d’une fonction d’une variable aléatoire
Proposition 3.1
Soit X une variable aléatoire finie et g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} une fonction. Alors g\circ X est une variable aléatoire finie. Pour tout y\in g(X(\Omega)) : P(g(X)=y)=\sum_{x\in X(\Omega),\,g(x)=y}P(X=x)
Exemple 3.1
Soit X la variable aléatoire donnant le résultat du lancer d’un dé équilibré, et g(x)=x^2. Alors g(X) prend les valeurs \{1,4,9,16,25,36\} avec les mêmes probabilités.
3 Espérance
3.1 Définition
Définition 4.1 — (Espérance)
Soit X une variable aléatoire finie avec X(\Omega)=\{x_1,\ldots,x_n\}. L’espérance de X est : E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_iP(X=x_i)
Exemple 4.1
Lors du lancer d’un dé équilibré : E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72.
3.2 Propriétés
Proposition 4.1 — (Linéarité de l’espérance)
Soient X et Y deux variables aléatoires finies et \lambda,\mu\in\mathbb{R}. Alors : E(\lambda X+\mu Y)=\lambda E(X)+\mu E(Y)
Proposition 4.2 — (Espérance d’une constante)
Pour toute constante a\in\mathbb{R} : E(a)=a.
Proposition 4.3 — (Espérance d’une fonction)
Soit X une variable aléatoire finie et g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}. Alors : E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)}g(x)P(X=x)
Proposition 4.4 — (Croissance)
Si X\leq Y (c’est-à-dire \forall\omega\in\Omega, X(\omega)\leq Y(\omega)), alors E(X)\leq E(Y).
4 Variance
4.1 Définition
Définition 5.1 — (Variance)
Soit X une variable aléatoire finie. La variance de X est : V(X)=E\left((X-E(X))^2\right)
Définition 5.2 — (Écart-type)
L’écart-type de X est \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
4.2 Propriétés
Proposition 5.1 — (Formule de la variance)
V(X)=E(X^2)-(E(X))^2
Proposition 5.2
Soient X une variable aléatoire finie et \lambda,\mu\in\mathbb{R}. Alors : V(\lambda X+\mu)=\lambda^2V(X)
Proposition 5.3
V(X)=0 si et seulement si X est constante (presque sûrement).
Proposition 5.4 — (Variance d’une somme)
Si X et Y sont deux variables aléatoires finies, alors : V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y) où \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) est la covariance de X et Y.
5 Lois usuelles
5.1 Loi uniforme
Définition 6.1 — (Loi uniforme)
On dit que X suit la loi uniforme sur \{1,\ldots,n\} si P(X=k)=\frac1n pour tout k\in\{1,\ldots,n\}. On note X\sim\mathcal{U}(\{1,\ldots,n\}). Alors : E(X)=\frac{n+1}{2},\qquad V(X)=\frac{n^2-1}{12}
5.2 Loi de Bernoulli
Définition 6.2 — (Loi de Bernoulli)
On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p\in[0,1] si X prend les valeurs 0 et 1 avec P(X=1)=p et P(X=0)=1-p. On note X\sim\mathcal{B}(p). Alors : E(X)=p,\qquad V(X)=p(1-p)
5.3 Loi binomiale
Définition 6.3 — (Loi binomiale)
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n\in\mathbb{N}^* et p\in[0,1] si : P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\quad\text{pour }k\in\{0,\ldots,n\} On note X\sim\mathcal{B}(n,p). Alors : E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p)
Exemple 6.1 — (Lancer de dé)
On lance 10 fois un dé équilibré. Soit X le nombre de fois où l’on obtient 6. Alors X\sim\mathcal{B}\left(10,\frac16\right), donc E(X)=10\cdot\frac16=\frac{10}{6}=\frac53 et V(X)=10\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac{5}{36}\cdot 10.
Remarque. Une variable binomiale \mathcal{B}(n,p) est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p.
Exercice 6.1
. On lance un dé équilibré. Soit X le résultat. Calculer E(X) et V(X). 2. On lance une pièce équilibrée 5 fois. Soit X le nombre de « pile ». Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. 3. On lance un dé équilibré 3 fois. Soit X le nombre de fois où l’on obtient 6. Calculer E(X) et V(X).
Solution. . E(X)=\frac72, V(X)=\frac{35}{12}. 2. X\sim\mathcal{B}\left(5,\frac12\right), donc E(X)=\frac52, V(X)=\frac54. 3. X\sim\mathcal{B}\left(3,\frac16\right), donc E(X)=\frac36=\frac12, V(X)=3\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac{5}{12}.