TD — Variables aléatoires finies
Chapitre 26
MPSI (1re année) — TD du Chapitre 26. Loi, espérance, variance, lois uniforme, de Bernoulli, binomiale.
Exercice 1
On lance un dé équilibré. Soit X le résultat obtenu.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 2
On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit X le nombre de piles obtenus.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 3
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p). Montrer que :
- E(X) = np.
- V(X) = np(1-p).
Indication : Écrire X = X_1 + \cdots + X_n avec les X_i indépendantes de loi \mathcal{B}(p).
Exercice 4
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire avec remise 5 boules. Soit X le nombre de boules rouges tirées.
- Déterminer la loi de X.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 5
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \{1, 2, \ldots, n\} avec P(X = k) = \frac{1}{n} pour tout k.
- Vérifier que P est bien une loi de probabilité.
- Calculer E(X) et V(X).
Exercice 6
Soit X \hookrightarrow \mathcal{B}(p). Calculer E(X), V(X) et E(X^2).
Exercice 7
Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes avec X \hookrightarrow \mathcal{B}(n, p) et Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m, p). Montrer que X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m, p).
Indication : Utiliser les fonctions génératrices ou la convolution.
Exercice 8
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans \{0, 1, 2\} avec E(X) = 1 et V(X) = 1/2. Déterminer la loi de X.
Indications : - Poser p_k = P(X = k) pour k = 0, 1, 2. - p_0 + p_1 + p_2 = 1, p_1 + 2p_2 = 1, E(X^2) - (E(X))^2 = 1/2 donc E(X^2) = 3/2. - p_1 + 4p_2 = 3/2. Résoudre.
Exercice 9
Soit X une variable aléatoire finie. Montrer que V(X) = 0 si et seulement si X est constante presque sûrement.
Exercice 10
On lance un dé équilibré. Si le résultat est pair, on gagne 2€, sinon on perd 1€. Soit G le gain algébrique.
- Déterminer la loi de G.
- Calculer E(G). Le jeu est-il équitable ?