TD — Espaces probabilisés finis

Chapitre 25

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 25. Probabilité conditionnelle, Bayes, indépendance.

Exercice 1

On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité des événements suivants :

  1. Obtenir une somme de 7.
  2. Obtenir deux 6.
  3. Obtenir au moins un 6.

Exercice 2

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement et sans remise 2 boules.

  1. Calculer la probabilité de tirer 2 boules rouges.
  2. Calculer la probabilité de tirer une rouge puis une noire.
  3. Calculer la probabilité de tirer au moins une rouge.

Exercice 3

Une maladie touche 1% de la population. Un test détecte la maladie avec une probabilité de 0,95 si la personne est malade, et donne un résultat positif à tort avec une probabilité de 0,05 si elle est saine.

  1. Quelle est la probabilité qu’une personne testée positive soit réellement malade ?
  2. Que devient cette probabilité si la prévalence est de 0,1% ?

Indication : Utiliser la formule de Bayes.

Exercice 4

Soient A et B deux événements avec P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 et P(A \cup B) = 1/2.

  1. Calculer P(A \cap B).
  2. Calculer P_A(B).
  3. A et B sont-ils indépendants ?

Exercice 5

Trois machines M_1, M_2, M_3 produisent respectivement 50%, 30% et 20% des pièces d’une usine. Les taux de défauts sont respectivement 2%, 3% et 5%.

  1. Quelle est la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit défectueuse ?
  2. Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne de M_1 ?

Exercice 6

On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir pile. Soit X le nombre de lancers nécessaires.

  1. Déterminer la loi de X.
  2. Calculer E(X) et V(X).

Exercice 7

Soient A, B, C trois événements mutuellement indépendants. Montrer que :

  1. A et B \cap C sont indépendants.
  2. A et B \cup C sont indépendants.

Exercice 8

Deux joueurs lancent chacun un dé. Le joueur A lance en premier. Quelle est la probabilité que A obtienne un résultat strictement supérieur à B ?

Indication : Par symétrie, P(A > B) = P(B > A). Et P(A = B) = 1/6.

Exercice 9

Une urne contient n boules blanches et m boules noires. On tire successivement et sans remise k boules (k \leq n + m). Quelle est la probabilité de tirer exactement r boules blanches ?

Indication : Loi hypergéométrique : P = \frac{\binom{n}{r}\binom{m}{k-r}}{\binom{n+m}{k}}.

Exercice 10

Soit (A_n)_{n \in \mathbb{N}^*} une suite d’événements mutuellement indépendants. Montrer que si \sum P(A_n) converge, alors : P\left(\bigcap_{n=1}^{+\infty} A_n\right) = \prod_{n=1}^{+\infty} P(A_n)

Indication : Passer à la limite dans P(\bigcap_{k=1}^n A_k) = \prod_{k=1}^n P(A_k).

Cours

Chapitre 25 : Espaces probabilisés finis