Espaces probabilisés finis
Chapitre 25
MPSI (1re année) — Chapitre 25. Espaces probabilisés finis, probabilité d’un événement, probabilité uniforme, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, formule de Bayes, indépendance.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Espaces probabilisés finis
Dans tout ce chapitre, \Omega désigne un ensemble fini non vide appelé univers, dont les éléments sont appelés éventualités ou résultats.
1 Probabilités sur un ensemble fini
1.1 Définition
Définition 2.1 — (Probabilité)
Une probabilité sur \Omega est une application P:\mathcal{P}(\Omega)\longrightarrow\mathbb{R}^+ vérifiant : 1. P(\Omega)=1 ; 2. Pour toutes parties disjointes A,B\subset\Omega : P(A\cup B)=P(A)+P(B).
Le couple (\Omega,P) est appelé espace probabilisé fini. Les parties de \Omega sont appelées événements.
Définition 2.2 — (Événement)
Un événement est une partie de \Omega. Un événement A est dit réalisé si l’éventualité obtenue appartient à A. L’événement \Omega est l’événement certain, et \varnothing est l’événement impossible.
Définition 2.3 — (Événement contraire)
L’événement contraire de A est \bar A=\Omega\setminus A.
1.2 Probabilité uniforme
Définition 2.4 — (Probabilité uniforme)
On dit que la probabilité P sur \Omega est uniforme si toutes les éventualités ont la même probabilité. Alors pour toute partie A\subset\Omega : P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}
Exemple 2.1
Lors du lancer d’un dé équilibré à 6 faces, la probabilité est uniforme sur \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}. La probabilité d’obtenir un nombre pair est P(\{2,4,6\})=\frac{3}{6}=\frac12.
1.3 Probabilité d’un événement
Proposition 2.1 — (Propriétés)
Soit P une probabilité sur \Omega. 1. P(\varnothing)=0. 2. Pour toute partie A\subset\Omega : P(\bar A)=1-P(A). 3. 0\leq P(A)\leq 1 pour tout événement A.
1.4 Probabilité de la réunion de deux événements
Proposition 2.2
Pour toutes parties A,B\subset\Omega : P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
Exemple 2.2
Lors du lancer d’un dé équilibré, soit A=« obtenir un nombre pair » et B=« obtenir un nombre \geq 4 ». Alors A\cap B=\{4,6\}, donc P(A\cup B)=\frac36+\frac36-\frac26=\frac46=\frac23.
2 Probabilités conditionnelles
2.1 Définition
Définition 3.1 — (Probabilité conditionnelle)
Soient A et B deux événements avec P(B)>0. La probabilité conditionnelle de A sachant B est : P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Exemple 3.1
On lance un dé équilibré. Soit A=« obtenir un nombre pair » et B=« obtenir un nombre \leq 3 ». Alors A\cap B=\{2\}, donc P(A|B)=\frac{1/6}{3/6}=\frac13.
2.2 Propriétés
Proposition 3.1
Soit B un événement avec P(B)>0. L’application A\mapsto P(A|B) est une probabilité sur \Omega, appelée probabilité conditionnelle sachant B.
Proposition 3.2 — (Formule des probabilités composées)
Si P(A)>0 et P(B)>0, alors : P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
2.3 Formule des probabilités totales
Théorème 3.1 — (Formule des probabilités totales)
Soient A_1,\ldots,A_n des événements formant un système complet d’événements (c’est-à-dire deux à deux incompatibles et dont la réunion est \Omega), avec P(A_i)>0 pour tout i. Alors pour tout événement B : P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)
2.4 Formule de Bayes
Théorème 3.2 — (Formule de Bayes)
Soient A_1,\ldots,A_n un système complet d’événements avec P(A_i)>0 pour tout i. Soit B un événement avec P(B)>0. Alors pour tout i : P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}
Exemple 3.2 — (Problème des urnes)
Une urne U_1 contient 3 boules blanches et 2 boules noires. Une urne U_2 contient 1 boule blanche et 3 boules noires. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ? Par la formule des probabilités totales : P(B)=\frac12\cdot\frac35+\frac12\cdot\frac14=\frac{3}{10}+\frac18=\frac{11}{40}.
3 Indépendance
3.1 Définition
Définition 4.1 — (Indépendance de deux événements)
Deux événements A et B sont indépendants si : P(A\cap B)=P(A)P(B)
Remarque. Si P(B)>0, l’indépendance de A et B équivaut à P(A|B)=P(A).
Exemple 4.1
Lors du lancer de deux dés équilibrés, l’événement « le premier dé donne 6 » et l’événement « le deuxième dé donne 6 » sont indépendants.
3.2 Indépendance mutuelle
Définition 4.2 — (Indépendance mutuelle)
Des événements A_1,\ldots,A_n sont mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble \{i_1,\ldots,i_k\}\subset\{1,\ldots,n\} : P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})
Remarque. L’indépendance deux à deux n’implique pas l’indépendance mutuelle. Il faut vérifier toutes les intersections.
Exercice 4.1
. On lance un dé équilibré. Soient A=« obtenir un nombre pair », B=« obtenir un nombre impair », C=« obtenir 1 ou 2 ». Les événements A, B, C sont-ils indépendants deux à deux ? Mutuellement indépendants ? 2. On tire deux cartes d’un jeu de 52 cartes. Soient A=« la première carte est un as » et B=« la deuxième carte est un as ». Les événements A et B sont-ils indépendants si le tirage est avec remise ? Sans remise ?