TD — Espaces préhilbertiens finis
Chapitre 27
MPSI (1re année) — TD du Chapitre 27. Produit scalaire, orthogonalité, Gram-Schmidt.
Exercice 1
Montrer que les applications suivantes définissent un produit scalaire :
- \langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k y_k sur \mathbb{R}^n.
- \langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\, dt sur \mathbb{R}[X].
- \langle A, B \rangle = \mathrm{tr}({}^tA B) sur \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
Exercice 2
Soit (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) un espace préhilbertien réel. Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| et préciser le cas d’égalité.
Indication : Étudier le polynôme P(\lambda) = \|x + \lambda y\|^2 \geq 0.
Exercice 3
Montrer que f_1(x) = 1, f_2(x) = x, f_3(x) = x^2 - 1/3 forment une famille orthogonale dans \mathbb{R}_2[X] muni de \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\, dt.
Exercice 4
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la famille (1, X, X^2) dans \mathbb{R}_2[X] muni de \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\, dt.
Indications : - e_1 = 1/\|1\| = 1/\sqrt{2}. - e_2 : soustraire la projection de X sur \mathrm{Vect}(e_1). - e_3 : soustraire les projections de X^2 sur \mathrm{Vect}(e_1, e_2).
Exercice 5
Soient x, y \in E avec \|x\| = 3, \|y\| = 4 et \langle x, y \rangle = 6. Calculer :
- \|x + y\|
- \|x - y\|
- L’angle entre x et y.
Exercice 6
Soit E un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que :
- F^\perp est un sous-espace vectoriel.
- F \cap F^\perp = \{0\}.
- E = F \oplus F^\perp.
Exercice 7
Soit f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par f(x,y,z) = (y+z, x+z, x+y).
- Montrer que f est symétrique pour le produit scalaire usuel.
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
- Montrer que \mathbb{R}^3 admet une base orthonormée de vecteurs propres de f.
Exercice 8
Soit E un espace euclidien et u \in \mathcal{L}(E). Montrer que u est orthogonal (c’est-à-dire \langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle pour tous x, y) si et seulement si u conserve la norme.
Indication : Utiliser la formule de polarisation \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2).
Exercice 9
Soit P \in \mathbb{R}[X]. Montrer que \langle P, Q \rangle = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) définit un produit scalaire sur \mathbb{R}_1[X] mais pas sur \mathbb{R}_2[X].
Indication : Sur \mathbb{R}_2[X], le polynôme X(X-1) est non nul mais a une norme nulle.
Exercice 10
Soit E un espace euclidien et (e_1, \ldots, e_n) une base orthonormée. Montrer que pour tout x \in E : x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k \quad \text{et} \quad \|x\|^2 = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle^2
Indication : Décomposer x dans la base et utiliser l’orthonormalité.