Espaces préhilbertiens finis
Chapitre 27
MPSI (1re année) — Chapitre 27. Espaces préhilbertiens finis, produit scalaire, norme hilbertienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Espaces préhilbertiens finis
Dans tout ce chapitre, E désigne un \mathbb{R}-espace vectoriel. Les espaces préhilbertiens généralisent la notion géométrique de produit scalaire et permettent de parler de longueurs, d’angles et d’orthogonalité.
1 Produit scalaire
1.1 Définition
Définition 2.1 — (Produit scalaire)
Un produit scalaire sur E est une application \varphi:E\times E\longrightarrow\mathbb{R} vérifiant : 1. \varphi est bilinéaire (linéaire par rapport à chacune des deux variables) ; 2. \varphi est symétrique : \forall x,y\in E, \varphi(x,y)=\varphi(y,x) ; 3. \varphi est positive : \forall x\in E, \varphi(x,x)\geq 0 ; 4. \varphi est définie : \forall x\in E, \varphi(x,x)=0\Leftrightarrow x=0_E.
Remarque. Si \varphi est un produit scalaire sur E, on note x\cdot y ou \langle x,y\rangle au lieu de \varphi(x,y). Un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien. Si de plus E est de dimension finie, on parle d’espace euclidien.
1.2 Exemples
Exemple 2.1 — (Produit scalaire canonique sur \boldsymbol{\mathbb{R}^n})
Pour x=(x_1,\ldots,x_n) et y=(y_1,\ldots,y_n) dans \mathbb{R}^n, on pose : \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i C’est le produit scalaire canonique sur \mathbb{R}^n.
Exemple 2.2 — (Produit scalaire sur \boldsymbol{\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})})
Pour f,g\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}), on pose : \langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)\,dt C’est un produit scalaire sur \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}).
Exemple 2.3
Sur \mathbb{R}^2, pour x=(x_1,x_2) et y=(y_1,y_2), on pose \varphi(x,y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+3x_2y_2. Cette application est bilinéaire, symétrique et définie positive, donc c’est un produit scalaire.
2 Espace préhilbertien
2.1 Norme hilbertienne
Définition 3.1 — (Norme hilbertienne)
Soit (E,\langle\cdot,\cdot\rangle) un espace préhilbertien. Pour x\in E, on définit la norme de x par : \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}
2.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème 3.1 — (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Pour tous x,y\in E : \langle x,y\rangle^2\leq\|x\|^2\|y\|^2 ou encore |\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|. Il y a égalité si et seulement si x et y sont liés.
Preuve. Pour tout t\in\mathbb{R}, la fonction P(t)=\|x+ty\|^2=\|x\|^2+2t\langle x,y\rangle+t^2\|y\|^2 est un polynôme du second degré toujours positif. Son discriminant est donc \leq 0, ce qui donne \langle x,y\rangle^2\leq\|x\|^2\|y\|^2.
2.3 Identités de polarisation et du parallélogramme
Proposition 3.1 — (Identité de polarisation)
Pour tous x,y\in E : \langle x,y\rangle=\frac14\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)
Proposition 3.2 — (Identité du parallélogramme)
Pour tous x,y\in E : \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\left(\|x\|^2+\|y\|^2\right)
3 Orthogonalité
3.1 Définition
Définition 4.1 — (Orthogonalité)
Deux vecteurs x,y\in E sont orthogonaux, noté x\perp y, si \langle x,y\rangle=0. Deux parties A,B\subset E sont orthogonales, noté A\perp B, si \forall x\in A,\forall y\in B, \langle x,y\rangle=0.
3.2 Familles orthogonales
Définition 4.2 — (Famille orthogonale)
Une famille (e_1,\ldots,e_n) de vecteurs non nuls est orthogonale si les e_i sont orthogonaux deux à deux. Elle est orthonormée si elle est orthogonale et \|e_i\|=1 pour tout i.
Proposition 4.1
Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
3.3 Bases orthonormées
Proposition 4.2
Tout espace euclidien admet des bases orthonormées.
3.4 Procédé de Gram-Schmidt
Théorème 4.1 — (Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt)
Soit (e_1,\ldots,e_n) une famille libre de vecteurs de E. Alors il existe une famille orthonormée (u_1,\ldots,u_n) telle que pour tout k\in\{1,\ldots,n\} : \operatorname{Vect}(e_1,\ldots,e_k)=\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_k)
Preuve. On construit les u_k par récurrence : - u_1=\frac{e_1}{\|e_1\|} ; - Pour k\geq 2, on pose u_k=\frac{e_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle e_k,u_i\rangle u_i}{\left\|e_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle e_k,u_i\rangle u_i\right\|}.
3.5 Projection orthogonale
Définition 4.3 — (Projection orthogonale)
Soit F un sous-espace vectoriel de E et (e_1,\ldots,e_r) une base orthonormée de F. Pour x\in E, la projection orthogonale de x sur F est : p_F(x)=\sum_{i=1}^{r}\langle x,e_i\rangle e_i
Proposition 4.3 — (Distance à un sous-espace)
Soit F un sous-espace vectoriel de E et x\in E. Alors : \|x-p_F(x)\|=\min_{y\in F}\|x-y\|
Exercice 4.1
. Vérifier que \langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1y_1+2x_2y_2 définit un produit scalaire sur \mathbb{R}^2. 2. Orthonormaliser la famille ((1,1),(1,0)) de \mathbb{R}^2 muni du produit scalaire canonique. 3. Montrer que \langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)\,dt est un produit scalaire sur \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}).