TD — Courbes planes

Chapitre 28

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 28. Courbes paramétrées, coordonnées polaires, tangentes, asymptotes.

Exercice 1

Étudier et tracer la courbe paramétrée : \begin{cases} x(t) = t^2 \\ y(t) = t^3 - t \end{cases}

Indications : - Étudier la parité et les symétries. - Calculer x'(t) et y'(t), déterminer les points stationnaires. - Étudier les branches infinies.

Exercice 2

Étudier la courbe paramétrée (cycloïde) : \begin{cases} x(t) = t - \sin t \\ y(t) = 1 - \cos t \end{cases}

Indications : - Périodicité de 2\pi. - Symétrie par rapport à la droite x = \pi. - Points stationnaires en t = 2k\pi.

Exercice 3

Passer en coordonnées polaires les équations cartésiennes suivantes :

  1. x^2 + y^2 = 1
  2. x^2 + y^2 - 2x = 0
  3. y = x

Indication : Poser x = r\cos\theta, y = r\sin\theta.

Exercice 4

Étudier et tracer les courbes polaires suivantes :

  1. r = 1 + \cos\theta (cardioïde)
  2. r = \cos 2\theta (rosace)
  3. r = e^\theta (spirale logarithmique)

Exercice 5

Déterminer la tangente à la courbe paramétrée \gamma(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t) au point t = 0.

Indication : Calculer \gamma'(0) et écrire l’équation de la droite.

Exercice 6

Étudier les asymptotes de la courbe : \begin{cases} x(t) = \dfrac{t}{t-1} \\ y(t) = \dfrac{t^2}{t-1} \end{cases}

Indications : - En t = 1 : asymptote verticale. - En t \to \pm\infty : chercher asymptote oblique y = ax + b.

Exercice 7

Étudier la courbe paramétrée (astroïde) : \begin{cases} x(t) = \cos^3 t \\ y(t) = \sin^3 t \end{cases}

Indications : - Symétries par rapport aux deux axes. - Points stationnaires en t = k\pi/2. - Équation cartésienne : x^{2/3} + y^{2/3} = 1.

Exercice 8

Soit \gamma(t) = (x(t), y(t)) une courbe paramétrée. Montrer que si \gamma'(t_0) = 0 mais \gamma''(t_0) \neq 0, alors la courbe admet une tangente en t_0 dirigée par \gamma''(t_0).

Exercice 9

Convertir en coordonnées polaires et étudier la courbe d’équation cartésienne : (x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2

Indications : - En polaires : r^4 = r^2\cos 2\theta, donc r^2 = \cos 2\theta (lemniscate de Bernoulli). - Domaine : \cos 2\theta \geq 0.

Exercice 10

Étudier la courbe paramétrée : \begin{cases} x(t) = \dfrac{1}{1+t^2} \\ y(t) = \dfrac{t}{1+t^2} \end{cases}

Indications : - Montrer que x^2 + y^2 = x, donc la courbe est un cercle. - Étudier les symétries et le domaine.

Cours

Chapitre 28 : Courbes planes