Dérivation
Chapitre 19
MPSI (1re année) — Chapitre 19. Dérivées des fonctions usuelles, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, applications (monotonie, extremums, inégalités), classes \mathcal{C}^k, formule de Leibniz.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Dérivation
1 Formules de dérivation (Rappels)
Théorème 2.1
Si f : I \longrightarrow J et g : J \longrightarrow K, avec I, J et K des intervalles de \mathbb{R}, sont deux fonctions vérifiant : f dérivable sur I et g dérivable sur J, alors g\circ f est dérivable sur I et on a : \forall x\in I,\ (g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'(f(x)) En particulier, si f est bijective et f' ne s’annule pas sur I, alors f^{-1} est dérivable et : \forall x\in J,\ (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
Dérivées des fonctions usuelles :
| Fonction | Dérivée | Fonction | Dérivée | |
|---|---|---|---|---|
| x^n | nx^{n-1} | u^n | nu'u^{n-1} | |
| \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^2} | \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} | |
| \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} | \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} | |
| e^x | e^x | e^u | u'e^u | |
| \ln x | \frac{1}{x} | \ln u | \frac{u'}{u} | |
| \cos x | -\sin x | \cos u | -u'\sin u | |
| \sin x | \cos x | \sin u | u'\cos u | |
| \tan x | 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} | \tan u | \frac{u'}{\cos^2 u} | |
| \operatorname{ch}x | \operatorname{sh}x | \operatorname{ch}u | u'\operatorname{sh}u | |
| \operatorname{sh}x | \operatorname{ch}x | \operatorname{sh}u | u'\operatorname{ch}u | |
| \operatorname{th}x | 1-\operatorname{th}^2 x=\frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} | \operatorname{th}u | \frac{u'}{\operatorname{ch}^2 u} |
2 Théorème de Rolle et accroissements finis
2.1 Théorème de Rolle
Théorème 3.1 — (Théorème de Rolle)
Soit f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R} une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Si f(a)=f(b), alors il existe c\in]a,b[ tel que : f'(c)=0
Preuve. La fonction f est continue sur le segment [a,b] : d’après le théorème de Weierstrass, elle y atteint ses bornes. Si f est constante, alors f'=0 et tout c\in]a,b[ convient. Sinon, f atteint un extremum en un point c\in[a,b] avec f(c)\neq f(a)=f(b), donc c\in]a,b[ : c’est un extremum local en un point intérieur où f est dérivable, donc f'(c)=0.
2.2 Théorème des accroissements finis
Théorème 3.2 — (Théorème des accroissements finis)
Soit f : [a,b] \longrightarrow \mathbb{R} une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c\in]a,b[ tel que : f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
Preuve. On applique le théorème de Rolle à la fonction : g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) qui est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie g(a)=g(b)=0. Il existe donc c\in]a,b[ tel que g'(c)=0, c’est-à-dire f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Remarque. Il existe au moins un point du graphe de f où la tangente est parallèle à la corde joignant (a,f(a)) à (b,f(b)).
2.3 Applications des accroissements finis
Proposition 3.1
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} dérivable sur un intervalle I. Alors :
- si \forall x\in I,\ f'(x)=0, alors f est constante sur I ;
- si \forall x\in I,\ f'(x)\geq 0, alors f est croissante sur I (si f'\leq 0, f est décroissante) ;
- si \forall x\in I,\ f'(x)>0, alors f est strictement croissante sur I ;
- si \exists M\geq 0,\ \forall x\in I,\ |f'(x)|\leq M, alors f est M-lipschitzienne : \forall x,y\in I,\ |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|.
Exemple 3.1 — (Inégalités classiques)
- Pour x\geq 0, e^x\geq 1+x : appliquer les accroissements finis (ou l’étude de f(x)=e^x-1-x).
- Pour x>-1, \ln(1+x)\leq x.
- Pour x\geq 0, \sin x\leq x ; et pour tout x\in\mathbb{R}, |\sin x|\leq |x| (car |\sin'|\leq 1).
- Pour x\geq 0, \cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}, puis \sin x\geq x-\frac{x^3}{6}.
- Pour x\geq 0, \sqrt{1+x}\leq 1+\frac{x}{2}.
Théorème 3.3 — (Extremum local)
Soit f : I \longrightarrow \mathbb{R} dérivable sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I, alors : f'(a)=0
Remarque. La réciproque est fausse : f(x)=x^3 vérifie f'(0)=0 sans admettre d’extremum en 0. De plus, sur un intervalle fermé [a,b], un extremum peut être atteint en a ou b sans que f' s’y annule.
3 Classes \mathcal{C}^k
3.1 Définitions et premières propriétés
Définition 4.1
Soit k\in\mathbb{N}. On dit que f : I \longrightarrow \mathbb{R} est de classe \mathcal{C}^k sur I si f est k fois dérivable sur I et si f^{(k)} est continue sur I. On dit que f est de classe \mathcal{C}^{\infty} si elle est de classe \mathcal{C}^k pour tout k\in\mathbb{N}.
Proposition 4.1
- Les fonctions usuelles (x\mapsto x^n, \exp, \sin, \cos, \operatorname{ch}, \operatorname{sh}, \ln sur ]0,+\infty[…) sont \mathcal{C}^{\infty} sur leur domaine.
- Somme, produit et composée de fonctions \mathcal{C}^k sont \mathcal{C}^k.
- Si f est une bijection \mathcal{C}^k dont la dérivée ne s’annule pas, alors f^{-1} est \mathcal{C}^k.
3.2 Dérivées d’ordre n et formule de Leibniz
Proposition 4.2 — (Dérivées \boldsymbol{n}-ièmes usuelles)
- \left(e^{ax+b}\right)^{(n)}=a^n e^{ax+b} ;
- \left(\sin(ax+b)\right)^{(n)}=a^n\sin\left(ax+b+\frac{n\pi}{2}\right) et \left(\cos(ax+b)\right)^{(n)}=a^n\cos\left(ax+b+\frac{n\pi}{2}\right) ;
- \left(\frac{1}{x-a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}} ;
- \left(\ln x\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}.
Théorème 4.1 — (Formule de Leibniz)
Soient f,g : I \longrightarrow \mathbb{R} deux fonctions n fois dérivables. Alors fg est n fois dérivable et : (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}
Exemple 4.1
- Pour f(x)=x^2e^x : avec u=x^2 (u'=2x, u''=2, u^{(k)}=0 si k\geq 3) : f^{(n)}(x)=x^2e^x+2nx e^x+n(n-1)e^x=\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)e^x
- Pour f(x)=xe^{2x} : f^{(n)}(x)=x\,2^n e^{2x}+n\,2^{n-1}e^{2x}=\left(2^n x+n2^{n-1}\right)e^{2x}.
Exercice 4.1
- Montrer que \forall x\in\mathbb{R}, e^x\geq 1+x, avec égalité ssi x=0. En déduire \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty.
- Montrer que \forall x\geq 0, \cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}, puis \sin x\geq x-\frac{x^3}{6}.
- Calculer la dérivée n-ième de f(x)=x\ln x sur ]0,+\infty[.
- Soit f dérivable sur \mathbb{R} telle que f(0)=0 et \forall x,\ |f'(x)|\leq |f(x)|. Montrer que f=0.