Limites et continuité

Chapitre 18

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

18 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 18. Limites d’une fonction, théorème des gendarmes, continuité en un point et sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires, bornes atteintes (Weierstrass), bijection monotone, continuité uniforme (théorème de Heine).

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

1 Limites et continuité

1.1 Notion de fonction (Rappels)

Définition 1.1

Une fonction f d’une variable réelle à valeurs réelles est une correspondance f:D\to\mathbb{R} où chaque élément du domaine D\subset\mathbb{R} est associé au plus à un élément de \mathbb{R}. Si U\subset\mathbb{R} est un domaine tel que f:U\to\mathbb{R} soit une application, on appelle U le domaine de définition de f. On désigne par \mathcal{F}(D,\mathbb{K}) l’ensemble des fonctions de D à valeurs dans \mathbb{K}.

On munit \mathcal{F}(U,\mathbb{K}) de la somme, du produit, de la multiplication par un scalaire, de \max(f,g), \min(f,g) et de la composée g\circ f.

Définition 1.2 — (Fonctions bornées)

Soit f:U\to\mathbb{R}. On dit que :

  • f est majorée sur U si \exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in U,\ f(x)\leq M ;
  • f est minorée sur U si \exists m\in\mathbb{R},\ \forall x\in U,\ f(x)\geq m ;
  • f est bornée sur U si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire \exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in U,\ |f(x)|\leq M.

Définition 1.3 — (Monotonie)

Soit f:U\to\mathbb{R}. On dit que :

  • f est croissante sur U si \forall x,y\in U,\ x\leq y \Longrightarrow f(x)\leq f(y) ;
  • f est strictement croissante si \forall x,y\in U,\ x<y \Longrightarrow f(x)<f(y) ;
  • f est décroissante (resp. strictement décroissante) si -f est croissante (resp. strictement croissante) ;
  • f est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Définition 1.4 — (Parité, périodicité)

Soit I un intervalle symétrique par rapport à 0 et f:I\to\mathbb{R}. On dit que f est paire si \forall x\in I,\ f(-x)=f(x), et impaire si \forall x\in I,\ f(-x)=-f(x). Une fonction f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} est périodique de période T>0 si \forall x\in\mathbb{R},\ f(x+T)=f(x).

Définition 1.5 — (Fonction lipschitzienne)

On dit que f:U\to\mathbb{K} est lipschitzienne s’il existe k\geq 0 tel que : \forall x,y\in U,\ |f(y)-f(x)|\leq k\,|y-x| On dit aussi que f est k-lipschitzienne.

Exemple 1.1

  • f_1:x\mapsto x^2 n’est pas lipschitzienne sur \mathbb{R} ;
  • f_2:x\mapsto|x| est 1-lipschitzienne ;
  • f_3:x\mapsto x^2 est 2-lipschitzienne sur [-1,1] ;
  • f_4:x\mapsto\sin x est 1-lipschitzienne.

1.2 Limites d’une fonction

1.2.1 Voisinages et limite en un point

Définition 1.6 — (Voisinages)

Soit f:I\to\mathbb{K} définie sur un intervalle I de \mathbb{R}, et x_0\in\overline{\mathbb{R}} un point de I ou une extrémité de I.

  1. Si x_0 est fini, on appelle voisinage de x_0 tout intervalle ]x_0-\delta,x_0+\delta[ avec \delta>0 (ou \delta=+\infty) ;
  2. si x_0=+\infty, un voisinage de x_0 est tout intervalle ]A,+\infty[ avec A\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\} ;
  3. si x_0=-\infty, un voisinage de x_0 est tout intervalle ]-\infty,A[.

On dit qu’une propriété portant sur f est vraie au voisinage de x_0 si elle est vraie sur l’intersection de I avec un voisinage de x_0.

Définition 1.7 — (Limite en un point)

Soit \ell\in\mathbb{K}. On dit que f a pour limite \ell en x_0 si : \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in I,\ |x-x_0|<\delta \Longrightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon On note \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell. On définit de même les limites infinies en x_0 (par exemple f\to+\infty en x_0 si \forall A>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in I,\ |x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)>A).

Définition 1.8 — (Limites à gauche et à droite)

On appelle limite à droite en x_0 de f la limite de f_{|]x_0,b[} en x_0, notée \lim_{x_0^+}f ; on définit de même la limite à gauche \lim_{x_0^-}f. On a : f admet une limite en x_0 si et seulement si f admet une limite à gauche et à droite en x_0 et \lim_{x_0^-}f=\lim_{x_0^+}f.

Exemple 1.2

  • \lim_{x\to x_0}\sqrt{x}=\sqrt{x_0} pour tout x_0\geq 0 ;
  • la fonction partie entière E n’a pas de limite aux points x_0\in\mathbb{Z} (par exemple \lim_{2^+}E=2 et \lim_{2^-}E=1).

1.2.2 Limites en l’infini

Définition 1.9

Soit f:I\to\mathbb{K} définie sur I=]a,+\infty[. On dit que f a pour limite \ell en +\infty si : \forall\varepsilon>0,\ \exists B>0,\ \forall x\in I,\ x>B \Longrightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon On définit de même la limite en -\infty et les limites infinies en \pm\infty.

Exemple 1.3

Pour tout n\geq 1 : \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty, \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty si n est pair et -\infty si n est impair, et \lim_{\pm\infty}\frac{1}{x^n}=0. Pour P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0 et Q(x)=b_mx^m+\cdots+b_0 avec a_n>0, b_m>0 : \lim_{x\to+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\begin{cases}+\infty & \text{si } n>m\\ \frac{a_n}{b_m} & \text{si } n=m\\ 0 & \text{si } n<m\end{cases}

1.2.3 Propriétés des limites

Théorème 1.1 — (Unicité de la limite)

La limite d’une fonction, si elle existe, est unique.

Proposition 1.1 — (Stabilité des inégalités)

Soit f:I\to\mathbb{R} et x_0 un point ou une extrémité de I, avec \lim_{x\to x_0}f=l\in\overline{\mathbb{R}}.

  1. S’il existe un voisinage V_{x_0} tel que \forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)\leq k, alors l\leq k.
  2. Si l<k, alors il existe un voisinage V_{x_0} tel que \forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)<k.

Théorème 1.2 — (Opérations sur les limites)

Soient f,g deux fonctions admettant des limites l,l' en x_0. Alors, lorsque les expressions ont un sens :

  • \alpha f+\beta g \to \alpha l+\beta l' ;
  • f\cdot g \to l\cdot l' ;
  • si l\neq 0, \frac{1}{f}\to\frac{1}{l} ;
  • si l=\pm\infty, \frac1f\to 0.

Les cas non couverts (par exemple +\infty-\infty, 0\times\infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac00) sont des formes indéterminées.

Théorème 1.3 — (Théorème des gendarmes)

Soient f,g,h:I\to\mathbb{R}, x_0 un point ou une extrémité de I et l\in\mathbb{R} telles que :

  1. f(x),h(x)\underset{x\to x_0}{\longrightarrow}l ;
  2. \exists V_{x_0},\ \forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)\leq g(x)\leq h(x).

Alors g admet une limite en x_0 et \lim_{x\to x_0}g=l.

Théorème 1.4 — (Limite par majoration / minoration)

Soient f,g:I\to\mathbb{R} et x_0 un point ou une extrémité de I.

  1. Si g(x)\underset{x\to x_0}{\longrightarrow}+\infty et \exists V_{x_0},\ \forall x\in V_{x_0}\cap I,\ g(x)\leq f(x), alors f(x)\underset{x\to x_0}{\longrightarrow}+\infty ;
  2. si g(x)\underset{x\to x_0}{\longrightarrow}-\infty et \exists V_{x_0},\ \forall x\in V_{x_0}\cap I,\ f(x)\leq g(x), alors f(x)\underset{x\to x_0}{\longrightarrow}-\infty.

Proposition 1.2 — (Caractérisation séquentielle de la limite)

Soit f:I\to\mathbb{K} et x_0 un point ou une extrémité de I. Alors : \lim_{x\to x_0}f(x)=l \iff \forall (u_n)\subset I,\ \left(\lim_{n\to+\infty}u_n=x_0 \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}f(u_n)=l\right)

Preuve. (\Rightarrow) Soit \varepsilon>0. Comme f(x)\to l en x_0, il existe \delta>0 tel que |x-x_0|<\delta \Longrightarrow |f(x)-l|<\varepsilon. Comme u_n\to x_0, il existe N tel que n\geq N \Longrightarrow |u_n-x_0|<\delta ; alors |f(u_n)-l|<\varepsilon. Donc f(u_n)\to l.

(\Leftarrow) Par contraposée : si f n’a pas pour limite l en x_0, alors \exists\varepsilon_0>0,\ \forall\delta>0,\ \exists x_\delta\in I tel que |x_\delta-x_0|<\delta et |f(x_\delta)-l|>\varepsilon_0. En choisissant \delta=1/n, on construit une suite (u_n) avec u_n\to x_0 et |f(u_n)-l|>\varepsilon_0 : donc f(u_n) ne tend pas vers l.

1.3 Continuité

1.3.1 Continuité en un point, continuité globale

Définition 1.10

Soit f:I\to\mathbb{K} et x_0\in I. On dit que f est continue en x_0 si f admet une limite en x_0 et \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), c’est-à-dire : \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in I,\ |x-x_0|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Exemple 1.4

Les fonctions constantes, x\mapsto\sqrt{x}, \sin, \cos, x\mapsto|x|, \exp, \ln sont continues sur leur domaine de définition. La fonction partie entière E n’est pas continue aux points de \mathbb{Z} (mais elle est continue à droite en chaque entier).

Théorème 1.5 — (Opérations sur les fonctions continues)

Si f,g sont continues en x_0, alors \alpha f+\beta g, f\cdot g et (si f(x_0)\neq 0) \frac{g}{f} sont continues en x_0. Si f est continue sur I et g continue sur J avec f(I)\subset J, alors g\circ f est continue sur I.

Proposition 1.3 — (Caractérisation séquentielle de la continuité)

Soit f:I\to\mathbb{K} et x_0\in I. Alors : f \text{ continue en } x_0 \iff \forall (u_n)\to x_0,\ \left(f(u_n)\right)\to f(x_0)

Remarque. On retiendra surtout l’implication : si f est continue sur I et (u_n) est une suite convergente de limite \ell\in I, alors f(u_n)\to f(\ell). On l’utilisera intensivement pour l’étude des suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n) : si f est continue et u_n\to\ell, alors f(\ell)=\ell.

Définition 1.11 — (Prolongement par continuité)

Soit I un intervalle, x_0\in I et f:I\smallsetminus\{x_0\}\to\mathbb{R}. On dit que f est prolongeable par continuité en x_0 si f admet une limite finie \ell en x_0. On définit alors le prolongement par continuité \tilde f par \tilde f(x)=f(x) si x\neq x_0 et \tilde f(x_0)=\ell ; \tilde f est continue en x_0.

Exemple 1.5

La fonction f(x)=x\sin\left(\frac1x\right) (x\neq 0) vérifie |f(x)|\leq|x|, donc f(x)\to 0 en 0 : elle est prolongeable par continuité en 0 et son prolongement \tilde f(x)=x\sin(1/x) (x\neq 0), \tilde f(0)=0, est continu en 0.

1.4 Continuité sur un intervalle

1.4.1 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 1.6 — (Théorème des valeurs intermédiaires)

Soit f:[a,b]\to\mathbb{R} une fonction continue sur un segment. Pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il existe c\in[a,b] tel que f(c)=y.

Preuve. Supposons f(a)\leq y\leq f(b) et considérons A=\{x\in[a,b]\,/\,f(x)\leq y\}. A est non vide (car a\in A) et majoré par b : il admet une borne supérieure c=\sup A.

  • Montrons f(c)\leq y : comme c=\sup A, il existe une suite (u_n)\subset A avec u_n\to c. Pour tout n, f(u_n)\leq y ; comme f est continue en c, f(u_n)\to f(c), donc par passage à la limite f(c)\leq y.
  • Montrons f(c)\geq y : si c=b, c’est acquis puisque f(b)\geq y. Sinon, pour tout x\in]c,b], x\notin A donc f(x)>y ; comme f est continue en c (limite à droite), f(c)\geq y.

Donc f(c)=y.

Corollaire 1.1

Soit f:[a,b]\to\mathbb{R} continue. Si f(a)\cdot f(b)\leq 0, alors il existe c\in[a,b] tel que f(c)=0.

Corollaire 1.2

Soit f:I\to\mathbb{R} continue sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle.

Preuve. Soient y_1,y_2\in f(I) avec y_1\leq y_2, et y\in[y_1,y_2]. Il existe x_1,x_2\in I avec y_1=f(x_1), y_2=f(x_2) ; donc y est compris entre f(x_1) et f(x_2). D’après le TVI appliqué sur l’intervalle d’extrémités x_1,x_2, il existe x tel que y=f(x), donc y\in f(I).

Exemple 1.6

  • Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle : si P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0 avec n impair et a_n>0, alors \lim_{-\infty}P=-\infty et \lim_{+\infty}P=+\infty, donc il existe a,b avec f(a)<0<f(b), et le corollaire conclut.
  • Pour tout y\in\mathbb{R}, l’équation x+e^x=y admet une solution : la fonction f(x)=x+e^x est continue, \lim_{-\infty}f=-\infty et \lim_{+\infty}f=+\infty.

1.4.2 Fonctions continues sur un segment : bornes atteintes

Théorème 1.7 — (Théorème de Weierstrass : bornes atteintes)

Soit f:[a,b]\to\mathbb{R} continue sur un segment. Alors f est bornée sur [a,b] et elle atteint ses bornes : il existe m,M tels que f([a,b])=[m,M], c’est-à-dire il existe c,d\in[a,b] tels que \forall x\in[a,b],\ f(c)\leq f(x)\leq f(d).

Preuve.

  • f est bornée. Supposons par l’absurde que f ne soit pas majorée. Alors pour tout n\geq 0, il existe x_n\in[a,b] avec f(x_n)\geq n. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on extrait une sous-suite x_{\varphi(n)}\to\ell\in[a,b]. Comme f est continue en \ell, f(x_{\varphi(n)})\to f(\ell) ; mais f(x_{\varphi(n)})\geq\varphi(n)\to+\infty, contradiction. Donc f est majorée ; de même f est minorée.
  • Les bornes sont atteintes. f([a,b]) est un intervalle borné (TVI), notons M=\sup f([a,b]). Il existe une suite y_n\in f([a,b]) avec y_n\to M ; soit x_n avec f(x_n)=y_n. Par Bolzano-Weierstrass, x_{\varphi(n)}\to\ell\in[a,b] ; par continuité f(x_{\varphi(n)})\to f(\ell), donc M=f(\ell)\in f([a,b]). De même pour le minimum.

1.5 Fonctions monotones et bijections

Théorème 1.8 — (Bijection monotone)

Soit f:I\to\mathbb{R} continue et strictement monotone sur un intervalle I. Alors :

  1. f réalise une bijection de I vers l’intervalle image J=f(I) ;
  2. la bijection réciproque f^{-1}:J\to I est continue et strictement monotone, avec le même sens de variation que f.

Exemple 1.7

f(x)=x^2 n’est pas injective sur \mathbb{R}, mais ses restrictions f_1:[0,+\infty[\to[0,+\infty[ et f_2:]-\infty,0]\to[0,+\infty[ sont des bijections, de réciproques f_1^{-1}(y)=\sqrt{y} et f_2^{-1}(y)=-\sqrt{y}.

1.6 Continuité uniforme (Théorème de Heine)

Définition 1.12 — (Continuité uniforme)

Soit f:I\to\mathbb{K}. On dit que f est uniformément continue sur I si : \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall(x,y)\in I^2,\ |x-y|\leq\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon (La différence avec la continuité simple : \delta ne dépend que de \varepsilon, pas du point.)

Remarque.

  • Toute fonction uniformément continue sur I est continue sur I. La réciproque est fausse en général : x\mapsto x^2 n’est pas uniformément continue sur \mathbb{R}, et x\mapsto\frac1x ne l’est pas sur ]0,1].
  • Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.

Théorème 1.9 — (Théorème de Heine)

Toute fonction continue sur un segment [a,b] est uniformément continue sur [a,b].

Preuve. Par l’absurde : supposons f continue sur [a,b] mais non uniformément continue. Alors il existe \varepsilon_0>0 tel que \forall\delta>0,\ \exists(x,y)\in[a,b]^2 avec |x-y|<\delta et |f(x)-f(y)|\geq\varepsilon_0. En prenant \delta=1/n, on obtient deux suites (x_n),(y_n) de [a,b] avec |x_n-y_n|<1/n et |f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon_0.

Par Bolzano-Weierstrass, on extrait x_{\varphi(n)}\to\ell\in[a,b] ; comme |y_{\varphi(n)}-x_{\varphi(n)}|<1/\varphi(n)\to 0, on a aussi y_{\varphi(n)}\to\ell. Par continuité de f en \ell, f(x_{\varphi(n)})\to f(\ell) et f(y_{\varphi(n)})\to f(\ell), donc |f(x_{\varphi(n)})-f(y_{\varphi(n)})|\to 0, ce qui contredit |f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon_0. D’où le résultat.

Exercice 1.1

Soit f:[0,1]\to[0,1] une application croissante.

  1. On suppose qu’il existe x\in[0,1] et k\in\mathbb{N}^* tels que f^k(x)=x. Montrer que x est un point fixe de f (i.e. f(x)=x).
  2. Montrer que f admet un point fixe. (Indication : construire deux suites adjacentes (a_n), (b_n) avec a_n\leq f(a_n)\leq f(b_n)\leq b_n et montrer que leur limite commune est un point fixe.)

Solution.

  1. Par l’absurde : si f(x)\neq x, alors f(x)>x ou f(x)<x. Comme f est croissante, f(x)>x \Longrightarrow x=f^k(x)\geq f^{k-1}(x)\geq\cdots\geq f(x)>x, absurde ; de même dans l’autre cas. D’où f(x)=x.
  2. On pose a_0=0, b_0=1 et c_n=\frac{a_n+b_n}{2}, puis a_{n+1}=c_n si f(c_n)\leq c_n et a_{n+1}=a_n sinon ; b_{n+1}=b_0 si f(c_n)\leq c_n et b_{n+1}=c_n sinon. On vérifie a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n, b_n-a_n=\frac{1}{2^n} et a_n\leq f(a_n)\leq f(b_n)\leq b_n. Les suites (a_n), (b_n) sont adjacentes, de limite commune \ell ; en passant à la limite (et en utilisant la monotonie), on obtient f(\ell)=\ell.

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Chapitre 18 : Limites et continuité