Suites numériques

Chapitre 17

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

18 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 17. Suites numériques, majoration et monotonie, limites, opérations sur les limites, théorème des gendarmes, théorème de la limite monotone, suites adjacentes, Bolzano-Weierstrass, suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et récurrentes linéaires.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

Suites numériques

Dans ce chapitre, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}.

1 Généralités

1.1 Définitions et exemples

Définition 2.1

Une suite numérique (réelle ou complexe) est une famille (u_n)_{n\in\mathbb{N}} d’éléments de \mathbb{K} indexée par \mathbb{N} (parfois par \mathbb{N}^*, ou par \mathbb{N}\smallsetminus\{0,\cdots,n_0-1\}). Il s’agit donc d’une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{K}.

u_n s’appelle le terme général de la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}}.

Exemple 2.1

Voici quelques exemples de suites :

  1. (2)_{n\in\mathbb{N}}, \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*}, \left(\sin(n)\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(e^{in\frac{\pi}{2}}\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(\frac{1}{\sqrt{n^2-3n+2}}\right)_{n\geq 3}, (i^n)_{n\in\mathbb{N}} ;
  2. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} dont le terme général est défini par : \begin{cases} u_0\in\mathbb{R}^+ \\ \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\sqrt{u_n}\end{cases}
  3. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} dont le terme général est défini par : \begin{cases} u_0=1,\ u_1=2 \\ \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n\end{cases}
  4. (F_n)_{n\geq 0} définie par F_0=1, F_1=1 et la relation F_{n+2}=F_{n+1}+F_n (suite de Fibonacci). Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Chaque terme est la somme des deux précédents.
  5. La suite harmonique (h_n)_{n\in\mathbb{N}^*} dont le terme général est défini par : \forall n\in\mathbb{N}^*,\ h_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}

Définition 2.2 — (Suite bornée)

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{K} une suite. On dit que la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est bornée si : \exists M>0,\ \forall n\in\mathbb{N},\ |u_n|\leq M

Exemple 2.2

Les suites (2)_{n\in\mathbb{N}}, \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*}, \left(\sin(n)\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(e^{in\frac{\pi}{2}}\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(\frac{1}{\sqrt{n^2-3n+2}}\right)_{n\geq 3}, (i^n)_{n\in\mathbb{N}} sont bornées.

Définition 2.3 — (Suite stationnaire)

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{K} une suite. On dit que la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est stationnaire si : \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\ (n\geq N \Longrightarrow u_n=u_{n+1})

Exemple 2.3

  1. Soit a\in\mathbb{K}. La suite constante (a)_{n\in\mathbb{N}} est stationnaire.
  2. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} définie par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n u_k^2 est stationnaire (puisque \forall n\in\mathbb{N},\ u_n=1).
  3. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} définie par u_n=e^{i\frac{2^n\pi}{1024}} est stationnaire.

Proposition 2.1

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est stationnaire ;
  2. Il existe un rang N\in\mathbb{N} tel que la suite (u_n)_{n\geq N} est constante.

1.2 Convergence

Définition 2.4 — (Suite convergente, divergente)

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{K} une suite. On dit que (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est convergente si : \exists l\in\mathbb{K},\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\ (n\geq N \Longrightarrow |u_n-l|<\varepsilon) On dit, dans ce cas, que la suite (u_n) converge vers l, ou que l est la limite (finie) de la suite (u_n), et on note \lim_{n\to+\infty}u_n=l (ou u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}l).

Sinon, on dit que la suite (u_n) est divergente.

Remarque. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 0 si et seulement si la suite (|u_n|)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 0.

Exemple 2.4

  1. La suite \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} converge vers 0.
  2. Soit a\in\mathbb{K} tel que |a|<1. La suite (a^n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 0.
  3. La suite (i^n)_{n\in\mathbb{N}} est divergente.
  4. La suite (\ln n)_{n\in\mathbb{N}^*} est divergente.

Proposition 2.2

Soient (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{K} une suite et l\in\mathbb{K}. Si la suite (u_n) converge vers l, alors la suite (|u_n|) converge vers |l|.

Remarque. La réciproque est fausse. Il suffit de considérer la suite (i^n)_{n\in\mathbb{N}}.

Proposition 2.3

Toute suite convergente est bornée.

Remarque. La réciproque est fausse. Il suffit de considérer la suite de terme général u_n=(-1)^n.

Proposition 2.4

Soient (u_n)_{n\in\mathbb{N}},(v_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{K} deux suites telles que :

  1. (u_n) est bornée ;
  2. (v_n) converge vers 0.

Alors la suite (u_n v_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 0.

Exemple 2.5

  1. La suite \left(\frac{e^{in}}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} converge vers 0.
  2. La suite \left(\frac{\sin(n)}{\sqrt{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} converge vers 0.
  3. La suite \left(\frac{u_n}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} converge vers 0, avec u_0\in]0,1[ et u_{n+1}=u_n(2-u_n) (on montre par récurrence que 0<u_n<1).

1.3 Suites extraites

Définition 2.5

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{K} une suite. On appelle suite extraite (ou sous-suite) de la suite (u_n) toute suite (v_n)_{n\in\mathbb{N}} définie par : \forall n\in\mathbb{N},\ v_n=u_{\varphi(n)} avec \varphi:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} une application strictement croissante.

Exemple 2.6

Soit la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} de terme général u_n=(-1)^n.

  • Si on considère \phi(n)=2n, alors la suite extraite correspondante a pour terme général u_{\phi(n)}=(-1)^{2n}=1 : la suite (u_{\phi(n)}) est constante égale à 1.
  • Si on considère \psi(n)=3n, alors la suite extraite correspondante a pour terme général u_{\psi(n)}=(-1)^{3n}=(-1)^n : la suite (u_{\psi(n)}) est égale à (u_n).

Exemple 2.7

  1. Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{K} une suite. Les suites \left(u_{2n}\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(u_{2n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(u_{3n}\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(u_{6n}\right)_{n\in\mathbb{N}}, \left(u_{pn+r}\right)_{n\in\mathbb{N}} ((p,r)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}) sont des suites extraites de la suite (u_n).
  2. Les suites (i)_{n\in\mathbb{N}}, (1)_{n\in\mathbb{N}}, (-1)_{n\in\mathbb{N}}, (-i)_{n\in\mathbb{N}} sont des suites extraites de la suite \left(i^n\right)_{n\in\mathbb{N}}.

Proposition 2.5

(u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers une limite l\in\mathbb{K} si et seulement si toutes ses suites extraites convergent vers l.

Remarque.

  • Une technique pour montrer qu’une suite est divergente est d’avoir une suite extraite divergente, ou bien deux suites extraites convergentes qui ne convergent pas vers la même limite. Par exemple, la suite ((-1)^n)_{n\in\mathbb{N}} est divergente puisqu’elle admet deux suites extraites qui n’ont pas la même limite.
  • Attention : plusieurs suites extraites d’une suite (u_n) qui convergent vers une même limite l n’implique pas que la suite (u_n) converge. Par exemple, si u_n=(-1)^n, alors les suites extraites \left(u_{2n}\right), \left(u_{2n+2}\right), \left(u_{4n}\right), \left(u_{4n+2}\right), … convergent toutes vers la même limite 1 mais la suite (u_n) diverge. Pourtant, on a le résultat suivant :

Proposition 2.6

Si les deux suites extraites (u_{2n})_{n\in\mathbb{N}} et (u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}} convergent vers la même limite l\in\mathbb{K}, alors la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} converge vers l.

Exercice 2.1

Étudier les suites suivantes :

  1. \left(\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right)\right)_{n\in\mathbb{N}} ;
  2. \left(n(-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}} ;
  3. \left(e^{i\pi((-1)^n+1)}\right)_{n\in\mathbb{N}} ;
  4. \left(\frac{1}{2}+(-1)^n\frac{n^2}{n^2+4}\right)_{n\in\mathbb{N}}.

2 Suites réelles

Dans tout ce paragraphe, \mathbb{K}=\mathbb{R} ; toute suite numérique considérée sera donc dite suite réelle et on note \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}.

2.1 Majoration, minoration, monotonie

Définition 3.1

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle.

  1. On dit que la suite (u_n) est minorée (respectivement majorée) si : \exists m\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N},\ m\leq u_n \quad (\text{respectivement } \exists M\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leq M)
  2. On dit que la suite (u_n) est croissante (respectivement décroissante) si : \forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leq u_{n+1} \quad (\text{respectivement } u_{n+1}\leq u_n) Elle est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) si u_n<u_{n+1} (respectivement u_{n+1}<u_n).
  3. On dit que la suite (u_n) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Exemple 3.1

  1. La suite \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} est strictement décroissante.
  2. La suite (\ln n)_{n\in\mathbb{N}^*} est strictement croissante.
  3. La suite \left(n\sin\left(n\pi/2\right)\right)_{n\in\mathbb{N}} n’est pas monotone.
  4. La suite \left((n-1)(n-2)\right)_{n\in\mathbb{N}^*} est croissante.
  5. La suite harmonique \left(h_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} est strictement croissante.

Proposition 3.1

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. La suite (u_n) est croissante ;
  2. Pour tous m,n\in\mathbb{N}, si n\leq m alors u_n\leq u_m ;
  3. La suite (-u_n) est décroissante.

2.2 Limites infinies

Définition 3.2

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle. On dit que (u_n) diverge vers +\infty (respectivement vers -\infty) et on écrit \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty (ou u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty) (respectivement \lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty) si : \forall M\in\mathbb{R},\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\ (n\geq N \Longrightarrow u_n\geq M) (respectivement \forall M\in\mathbb{R},\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\ (n\geq N \Longrightarrow u_n\leq M))

Exemple 3.2

  1. La suite (n^2)_{n\in\mathbb{N}^*} diverge vers +\infty.
  2. La suite \left(n(-1)^n\right)_{n\in\mathbb{N}} est divergente mais elle ne diverge ni vers +\infty ni vers -\infty.
  3. La suite \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} n’est pas divergente (elle est convergente).

Théorème 3.1 — (Unicité de la limite)

La limite (finie ou infinie) d’une suite réelle, si elle existe, est unique.

Proposition 3.2

Soient (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle admettant une limite l\in\overline{\mathbb{R}} et k\in\mathbb{R}.

  1. S’il existe un rang N\in\mathbb{N} tel que pour tout n\geq N, u_n<k (ou u_n\leq k), alors l\leq k.
  2. Si l<k, alors il existe un rang N\in\mathbb{N} tel que pour tout n\geq N, u_n<k.

2.3 Opérations sur les limites

Théorème 3.2

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles admettant deux limites respectives l et l' de \overline{\mathbb{R}}.

  1. Si l et l' sont finies, alors pour tous \alpha,\beta\in\mathbb{R}, la suite (\alpha u_n+\beta v_n) est convergente et : \alpha u_n+\beta v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\alpha l+\beta l'
  2. La suite (u_n v_n) est convergente et u_n v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} l\cdot l' (lorsque le produit a un sens).
  3. Si l\neq 0, alors la suite \left(\frac{1}{u_n}\right) est bien définie à partir d’un certain rang et convergente, et \frac{1}{u_n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{l}.
  4. Si l=\pm\infty et l'\in\overline{\mathbb{R}}\smallsetminus\{0\}, alors u_n v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\infty (avec le signe donné par la règle des signes).
  5. Si l=\pm\infty, alors la suite \left(\frac{1}{u_n}\right) est bien définie à partir d’un certain rang et convergente, et \frac{1}{u_n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0.

On peut résumer ce qui précède (plus d’autres cas) dans les tableaux suivants (avec l,l'\in\mathbb{R}) :

Somme

limite de (u_n) l l +\infty -\infty +\infty
limite de (v_n) l' \pm\infty +\infty -\infty -\infty
limite de (u_n+v_n) l+l' \pm\infty +\infty -\infty F.I

Produit

limite de (u_n) l l\neq 0 \pm\infty 0
limite de (v_n) l' \pm\infty \pm\infty \pm\infty
limite de (u_n v_n) l\cdot l' \pm\infty \pm\infty F.I

Quotient

limite de (u_n) l\neq 0 \pm\infty l 0^+ ou 0^- \pm\infty 0
limite de (v_n) l' l' \pm\infty l'\neq 0 \pm\infty 0
limite de (v_n/u_n) l'/l 0 \pm\infty \pm\infty F.I F.I

Exemple 3.3

  1. La suite \left(\frac{2n^2+n+1}{n^2+n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge vers 2.
  2. La suite \left(\frac{1-n^2}{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} diverge vers -\infty.

2.4 Théorème des gendarmes et comparaison

Théorème 3.3 — (Théorème des gendarmes)

Soient (u_n), (v_n), (w_n) trois suites réelles et l\in\mathbb{R} telles que :

  1. u_n,w_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} l ;
  2. \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\ u_n\leq v_n\leq w_n.

Alors la suite (v_n) converge vers l.

Exercice 3.1

Soient (u_n), (v_n) deux suites réelles telles que \forall n\in\mathbb{N},\ u_n,v_n\in[0,1] et u_n v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1. Montrer que u_n,v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1.

Exercice 3.2 — (Limites de référence)

Soit \alpha,\beta>0. Montrer les limites de référence suivantes : \lim_{n\to+\infty}n^{\alpha}e^{-n}=0 \quad;\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln n)^{\beta}}{n^{\alpha}}=0 \quad;\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{n^{\alpha}}{n!}=0 \quad;\quad \lim_{n\to+\infty}n^{-n}n!=0

Exercice 3.3

Étudier les suites suivantes : \left(u_n=\frac{\sin(2n)}{\sqrt{n}}\right)_{n\geq 1}\ ;\quad \left(u_n=\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}\right)_{n\geq 1}\ ;\quad \left(u_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{\sqrt{n^9+k}}\right)_{n\geq 1}\ ;\quad \left(u_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right)_{n\geq 1}\ (x\in\mathbb{R})

Théorème 3.4 — (Théorème de divergence par majoration ou minoration)

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles telles que :

  1. (v_n) diverge vers +\infty (respectivement vers -\infty) ;
  2. \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\ v_n\leq u_n (respectivement u_n\leq v_n).

Alors la suite (u_n) diverge vers +\infty (respectivement vers -\infty).

Exercice 3.4

Étudier les suites suivantes : \left(u_n=\sin(2n)+n\right)_{n\in\mathbb{N}}\ ;\quad \left(u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt[3]{k}}\right)_{n\geq 1}\ ;\quad \left(u_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{n+k}\right)_{n\geq 1}\ ;\quad \left(u_n=\sum_{k=1}^{n^2}\frac{k^2}{n^3+k^2}\right)_{n\geq 1}

2.5 Théorème de la limite monotone

Théorème 3.5 — (Théorème de la limite monotone)

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle croissante (respectivement décroissante).

  1. Si (u_n) est majorée (respectivement minorée), alors elle est convergente et on a : u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\sup\{u_n\,/\,n\in\mathbb{N}\} \quad \left(\text{respectivement } u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\inf\{u_n\,/\,n\in\mathbb{N}\}\right)
  2. Si (u_n) est non majorée (respectivement non minorée), alors elle diverge vers +\infty (respectivement vers -\infty).

Exercice 3.5

Étudier la convergence de la suite dont le terme général est défini par u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}.

Exercice 3.6

Étudier la convergence de la suite dont le terme général est défini par u_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{2k+1}\right).

Exercice 3.7

On considère l’ensemble E=\left\{\left(1+\frac{1}{p}\right)^p\,/\,p\in\mathbb{N}^*\right\}. Montrer que \sup E=e.

2.6 Suites adjacentes

Définition 3.3 — (Suites adjacentes)

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes si :

  1. l’une est croissante et l’autre décroissante ;
  2. v_n-u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0.

Exemple 3.4

  1. Les suites \left(1-\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} et \left(1+\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*} sont adjacentes.
  2. Les suites (u_n)_{n\in\mathbb{N}^*} et (v_n)_{n\in\mathbb{N}^*} définies par u_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k} et v_n=u_n+\frac{1}{2n+1} sont adjacentes.
  3. Soit x\in\mathbb{R}. Les suites (r_n) et (r'_n) définies par r_n=\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n} et r'_n=r_n+\frac{1}{10^n} sont adjacentes.

Théorème 3.6

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites réelles adjacentes (avec (u_n) croissante et (v_n) décroissante), alors :

  1. (u_n) et (v_n) convergent vers la même limite l\in\mathbb{R} ;
  2. \forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leq l\leq v_n.

Remarque. Une technique pour montrer qu’une suite réelle (u_n) est convergente est de montrer que ses suites extraites \left(u_{2n}\right) et \left(u_{2n+1}\right) sont adjacentes.

Exercice 3.8 — (Critère de Leibniz)

Soit (a_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite réelle décroissante convergeant vers 0. Montrer que la suite (S_n)_{n\in\mathbb{N}} définie par S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k a_k est convergente.

2.7 Bolzano-Weierstrass et caractérisations séquentielles

Théorème 3.7 — (Théorème de Bolzano-Weierstrass)

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

Corollaire 3.1

De toute suite réelle, on peut extraire une suite convergente dans \overline{\mathbb{R}}.

Exercice 3.9

Donner un exemple de suite qui admet des sous-suites admettant comme limites +\infty, -\infty et un réel.

Exercice 3.10

Soit (u_n)_n une suite réelle. (u_n)_n est dite de Cauchy si elle vérifie : \left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists n_0\in\mathbb{N}\right)\left(\forall(p,q)\in\mathbb{N}^2\right)\ (q\geq p\geq n_0 \Longrightarrow |u_q-u_p|\leq\varepsilon) Montrer que (u_n)_n est de Cauchy si et seulement si elle est convergente.

Théorème 3.8 — (Caractérisations séquentielles)

Soit X une partie non vide de \mathbb{R}.

  1. Si X est majorée, alors il existe une suite (x_n)_n d’éléments de X qui converge vers \sup X.
  2. Si X est non majorée, alors il existe une suite (x_n)_n d’éléments de X qui diverge vers +\infty.

Corollaire 3.2

Soit X une partie non vide de \mathbb{R}.

  1. Si X est minorée, alors il existe une suite (x_n)_n d’éléments de X qui converge vers \inf X.
  2. Si X est non minorée, alors il existe une suite (x_n)_n d’éléments de X qui diverge vers -\infty.

Proposition 3.3 — (Réciproque du théorème)

Soit X une partie non vide de \mathbb{R} et \alpha\in\mathbb{R}.

  1. Si \alpha est un majorant (respectivement minorant) de X et il existe une suite (x_n)_n d’éléments de X qui converge vers \alpha, alors \alpha est la borne supérieure (respectivement la borne inférieure) de X.
  2. S’il existe une suite (x_n)_n d’éléments de X qui diverge vers +\infty (respectivement vers -\infty), alors X est non majorée (respectivement non minorée).

Exercice 3.11

Déterminer la borne inférieure de l’ensemble A=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n\,/\,n\in\mathbb{N}^*\right\}.

Théorème 3.9 — (Caractérisation séquentielle de la densité)

Soit X une partie non vide de \mathbb{R}. X est dense dans \mathbb{R} si et seulement si pour tout réel x, il existe une suite (x_n)_n d’éléments de X qui converge vers x.

Exercice 3.12

Montrer, en utilisant la caractérisation séquentielle, que les ensembles suivants sont denses dans \mathbb{R} : \mathbb{Q}\quad;\quad \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}\quad;\quad \mathbb{D}=\left\{q\cdot 10^{-p}\,/\,(p,q)\in\mathbb{N}\times\mathbb{Z}\right\}

3 Suites complexes

Dans tout ce paragraphe, \mathbb{K}=\mathbb{C} et toute suite numérique considérée sera dite suite complexe.

Théorème 4.1 — (Unicité de la limite)

La limite d’une suite complexe, si elle existe, est unique.

Proposition 4.1 — (Caractérisation par les parties réelle et imaginaire)

Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite complexe et l\in\mathbb{C}. Alors : u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} l \iff \begin{cases} \mathcal{R}e(u_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\mathcal{R}e(l) \\ \mathcal{I}m(u_n)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\mathcal{I}m(l)\end{cases}

Théorème 4.2 — (Opérations sur les limites)

Soient (u_n) et (v_n) deux suites complexes admettant deux limites respectives l et l' de \mathbb{C}.

  1. Pour tous \alpha,\beta\in\mathbb{C}, la suite (\alpha u_n+\beta v_n) est convergente et \alpha u_n+\beta v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\alpha l+\beta l' ;
  2. La suite (u_n v_n) est convergente et u_n v_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} l\cdot l' ;
  3. Si l\neq 0, alors la suite \left(\frac{1}{u_n}\right) est bien définie à partir d’un certain rang et convergente, et \frac{1}{u_n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{l}.

Théorème 4.3 — (Bolzano-Weierstrass)

De toute suite complexe bornée, on peut extraire une suite convergente.

4 Suites récurrentes

4.1 Suite arithmétique

Définition 5.1

On dit que la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite arithmétique de terme initial u_0\in\mathbb{K} et de raison r\in\mathbb{K} si elle vérifie la relation récurrente suivante : \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n+r

Proposition 5.1

Si (u_n) est une suite arithmétique de terme initial u_0\in\mathbb{K} et de raison r\in\mathbb{K}, alors :

  1. \forall n\in\mathbb{N},\ u_n=u_0+nr ;
  2. (u_n) converge si et seulement si r=0 ;
  3. \forall m,n\in\mathbb{N}\ (m\leq n),\ \sum_{k=m}^n u_k=(n-m+1)u_0+\frac{r(n-m+1)(n+m)}{2} ;
  4. Si la suite (u_n) est réelle, alors elle est croissante si r\geq 0 et décroissante sinon.

Exercice 5.1

Déterminer sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 7^3.

4.2 Suite géométrique

Définition 5.2

On dit que la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite géométrique de terme initial u_0\in\mathbb{K} et de raison q\in\mathbb{K} si elle vérifie la relation récurrente suivante : \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=q\,u_n

Proposition 5.2

Si (u_n) est une suite géométrique de terme initial u_0\in\mathbb{K} et de raison q\in\mathbb{K}, alors :

  1. \forall n\in\mathbb{N},\ u_n=q^n u_0 ;
  2. \forall m,n\in\mathbb{N}\ (m\leq n),\ \sum_{k=m}^n u_k=\begin{cases} u_0\frac{q^m-q^{n+1}}{1-q}, & \text{si } q\neq 1 \\ u_0(n-m+1), & \text{sinon}\end{cases} ;
  3. Si la suite (u_n) est réelle positive, alors elle est croissante si q\geq 1 et décroissante si 0\leq q\leq 1.

Exercice 5.2

Soit (a,b)\in\mathbb{R}^2. On considère la suite (u_n)_n donnée par u_0=a, u_1=b et \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=\frac{1}{2}\left(u_{n+1}+u_n\right). Pour n\in\mathbb{N}, on pose v_n=u_{n+1}-u_n.

  1. Montrer que la suite (v_n)_n est géométrique.
  2. Calculer, en fonction de n (n\geq 1), la somme S_n=\sum_{k=0}^{n-1}v_k.
  3. En déduire, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n en fonction de n ainsi que la limite de (u_n)_n.

4.3 Suite arithmético-géométrique

Définition 5.3

Soit (a,b)\in\mathbb{C}^2. On dit que (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite arithmético-géométrique si elle est définie comme suit : \begin{cases} u_0\in\mathbb{K} \\ \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=a\,u_n+b\end{cases}

Proposition 5.3

\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\begin{cases} u_0+nb, & \text{si } a=1 \\ a^n\left(u_0-\frac{b}{1-a}\right)+\frac{b}{1-a}, & \text{sinon}\end{cases}

Exercice 5.3

Expliciter la suite (u_n)_n vérifiant u_0=2 et \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n-2.

4.4 Suite récurrente linéaire d’ordre 2

Définition 5.4

Soit (a,b)\in\mathbb{C}^2. On dit que (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 si elle vérifie la relation récurrente suivante : \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=a\,u_{n+1}+b\,u_n \quad (\star) On associe à la relation récurrente (\star) l’équation, dite équation caractéristique, suivante : r^2-ar-b=0

Proposition 5.4

  1. Si \mathbb{K}=\mathbb{C}, alors :
    1. Si l’équation caractéristique admet deux solutions distinctes r_1 et r_2, alors : \forall n\in\mathbb{N},\ u_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n ;
    2. Si l’équation caractéristique admet une solution double r, alors : \forall n\in\mathbb{N},\ u_n=(\alpha n+\beta)r^n ; où (\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2.
  2. Si \mathbb{K}=\mathbb{R}, alors :
    1. Si l’équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes r_1 et r_2, alors : u_n=\alpha r_1^n+\beta r_2^n ;
    2. Si l’équation caractéristique admet une solution réelle double r, alors : u_n=(\alpha n+\beta)r^n ;
    3. Si l’équation caractéristique admet deux solutions distinctes conjuguées r=\rho e^{i\theta} et \overline{r}, alors : u_n=\alpha\rho^n\cos(n\theta)+\beta\rho^n\sin(n\theta) ; où (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2.

Exercice 5.4

Expliciter la suite (u_n)_n vérifiant u_0=u_1=1 et \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n.

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Chapitre 17 : Suites numériques