Nombres réels
Chapitre 16
MPSI (1re année) — Chapitre 16. Propriété de la borne supérieure, supremum et infimum, propriété d’Archimède, densité de \mathbb{Q} et de \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}, caractérisation des intervalles.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
1 Nombres réels
L’ensemble \mathbb{R} est le cadre naturel de l’analyse. Ce qui le distingue de \mathbb{Q}, c’est la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide majorée admet une borne supérieure. C’est cette propriété qui permet de démontrer l’existence de limites, de bornes, et qui fonde le calcul différentiel et intégral.
L’ensemble des nombres réels
1.1 Rappels et propriétés
Remarque. On rappelle la chaîne d’inclusions : \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} où \mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\,/\,(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^*\right\} est l’ensemble des nombres rationnels, et \mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q} l’ensemble des nombres irrationnels.
L’ensemble \mathbb{R} est un corps totalement ordonné : on peut y additionner, multiplier, comparer deux éléments, et toutes les règles usuelles du calcul s’y appliquent. Mais ce qui caractérifie \mathbb{R} (et le distingue de \mathbb{Q}), c’est la propriété de la borne supérieure ci-dessous.
Exemple 2.1
\sqrt{2} est irrationnel : supposons par l’absurde que \sqrt{2}\in\mathbb{Q}, et écrivons \sqrt{2}=\frac{p}{q} avec (p,q)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N}^* et la fraction irréductible. Alors p^2=2q^2, donc p^2 est pair, donc p est pair (car le carré d’un impair est impair). Écrivons p=2p' : alors 4p'^2=2q^2, donc q^2=2p'^2, donc q est pair aussi. Ceci contredit le fait que la fraction \frac{p}{q} est irréductible. D’où \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.
Théorème 2.1 — (Propriété d’Archimède)
Pour tous réels x et y>0, il existe un entier n\in\mathbb{N} tel que ny>x. Autrement dit : \forall x>0,\ \exists n\in\mathbb{N}^*,\ \frac{1}{n}<x
Preuve. Supposons par l’absurde qu’il existe x>0 tel que \forall n\in\mathbb{N}^*,\ \frac{1}{n}\geq x, c’est-à-dire nx\leq 1. Alors A=\{nx\,/\,n\in\mathbb{N}\} est une partie de \mathbb{R} non vide et majorée par 1 ; elle admet donc une borne supérieure s=\sup A. Par caractérisation de la borne supérieure avec \varepsilon=x>0, il existe n\in\mathbb{N} tel que s-x<nx. Mais alors $(n+1)x=nx+x<s+xs+? $ … plus simplement : s-x<nx donne (n+1)x<s+x, or nx\leq s ; en fait s-x<nx\leq s montre que (n+1)x\in A vérifie (n+1)x>s-x+x… en résumé : (n+1)x>s contredit que s majore A. D’où la propriété d’Archimède.
Remarque. Toute partie non vide de \mathbb{Z} minorée admet un plus petit élément (et toute partie non vide de \mathbb{N} admet un plus petit élément). C’est cette propriété qui permettra de démontrer la densité de \mathbb{Q}.
2 Supremum et infimum
2.1 Majorant, minorant, partie bornée
Définition 3.1
Soit A une partie non vide de \mathbb{R}.
- On dit que M\in\mathbb{R} est un majorant de A si \forall x\in A,\ x\leq M. On dit que A est majorée.
- On dit que m\in\mathbb{R} est un minorant de A si \forall x\in A,\ m\leq x. On dit que A est minorée.
- On dit que A est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
- Un maximum (resp. minimum) de A est un majorant (resp. minorant) qui appartient à A.
Exemple 3.1
Soit A=]0,1[.
- Les majorants de A sont les M\geq 1 ; A n’admet pas de maximum.
- Les minorants de A sont les m\leq 0 ; A n’admet pas de minimum.
- A est bornée.
Exemple 3.2
Soit A=\left\{\frac{1}{n}\,/\,n\in\mathbb{N}^*\right\}. Alors A admet un maximum \max A=1 (atteint en n=1), et 0 est un minorant qui n’appartient pas à A (donc pas de minimum).
2.2 Supremum, infimum
Définition 3.2
Soit A une partie non vide de \mathbb{R}.
- Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A, notée \sup A, le plus petit des majorants de A.
- Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A, notée \inf A, le plus grand des minorants de A.
Théorème 3.1 — (Propriété de la borne supérieure)
Toute partie non vide de \mathbb{R} majorée admet une borne supérieure dans \mathbb{R}. (De même, toute partie non vide minorée admet une borne inférieure.)
Remarque. Cette propriété est fausse dans \mathbb{Q} : par exemple A=\{r\in\mathbb{Q}\,/\,r^2<2\} est non vide et majorée dans \mathbb{Q}, mais n’admet pas de borne supérieure dans \mathbb{Q} (sa borne supérieure dans \mathbb{R} est \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}).
Théorème 3.2 — (Caractérisation de la borne supérieure)
Soit A une partie non vide et majorée de \mathbb{R}, et s\in\mathbb{R}. Alors s=\sup A si et seulement si :
- \forall x\in A,\ x\leq s ;
- \forall \varepsilon>0,\ \exists x\in A,\ s-\varepsilon<x.
Preuve. (\Rightarrow) Si s=\sup A, alors (1) est vraie car s est un majorant. Si (2) était fausse, il existerait \varepsilon>0 tel que \forall x\in A,\ x\leq s-\varepsilon ; alors s-\varepsilon serait un majorant de A strictement plus petit que s, contredisant que s est le plus petit majorant.
(\Leftarrow) D’après (1), s est un majorant de A. Soit M un majorant quelconque de A. D’après (2), pour tout \varepsilon>0 il existe x\in A tel que s-\varepsilon<x\leq M, donc s\leq M+\varepsilon. Ceci étant vrai pour tout \varepsilon>0, on obtient s\leq M. Donc s est le plus petit des majorants : s=\sup A.
Proposition 3.1 — (Supremum et maximum)
Soit A une partie non vide et majorée de \mathbb{R}. Alors : \sup A\in A \iff \sup A=\max A
Proposition 3.2 — (Supremum d’une somme)
Soient A,B deux parties non vides et majorées de \mathbb{R}. On note A+B=\{a+b\,/\,(a,b)\in A\times B\}. Alors : \sup(A+B)=\sup A+\sup B
Preuve. Pour tout (a,b)\in A\times B, a\leq\sup A et b\leq\sup B, donc a+b\leq\sup A+\sup B : ainsi \sup A+\sup B majore A+B. Soit \varepsilon>0 ; il existe a\in A tel que a>\sup A-\frac{\varepsilon}{2} et b\in B tel que b>\sup B-\frac{\varepsilon}{2} ; alors a+b>\sup A+\sup B-\varepsilon. D’après la caractérisation de la borne supérieure, \sup(A+B)=\sup A+\sup B.
Exercice 3.1
Soient A,B deux parties non vides et majorées de \mathbb{R}.
- Montrer que si A\subset B alors \sup A\leq\sup B.
- Montrer que \sup(A\cup B)=\max(\sup A,\sup B).
- Montrer que \sup(A\times B)=\sup A\times\sup B lorsque A,B\subset\mathbb{R}^*_+.
Exemple 3.3
\sup\,]0,1[\,=1 (pas de maximum) ; \sup\left\{\frac{1}{n}\,/\,n\in\mathbb{N}^*\right\}=1=\max ; \inf\left\{\frac{1}{n}\,/\,n\in\mathbb{N}^*\right\}=0 (pas de minimum).
3 Intervalles
3.1 Définition et exemples
Définition 4.1
Une partie I de \mathbb{R} est un intervalle si : \forall (a,b)\in I^2,\ a\leq b \Longrightarrow [a,b]\subset I
Exemple 4.1
- \mathbb{R}, [a,b], ]a,b[, [a,b[, ]a,b], [a,+\infty[, ]a,+\infty[, ]-\infty,b], ]-\infty,b[ sont des intervalles.
- \mathbb{Q}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}\smallsetminus\{0\}, ]0,1]\cup[2,3[ ne sont pas des intervalles.
3.2 Caractérisation des intervalles
Théorème 4.1 — (Caractérisation des intervalles)
Soit I une partie non vide de \mathbb{R}. On pose a=\inf I\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\} et b=\sup I\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}. Alors I est un intervalle si et seulement si I est l’un des intervalles : ]a,b[,\quad [a,b[,\quad ]a,b],\quad [a,b] (avec les conventions évidentes lorsque a=-\infty ou b=+\infty).
Preuve. Soit I un intervalle non vide borné, a=\inf I, b=\sup I. Montrons par exemple que si a\notin I et b\notin I alors I=]a,b[. Soit x tel que a<x<b. Comme x>b est impossible (b majore I) et x<a aussi, supposons x\notin I avec a<x<b. Puisque a=\inf I, il existe u\in I avec a\leq u<x ; puisque b=\sup I, il existe v\in I avec x<v\leq b. Alors u\leq x\leq v avec u,v\in I ; comme I est un intervalle, x\in I, contradiction. Donc ]a,b[\subset I\subset]a,b[, d’où I=]a,b[. Les autres cas se traitent de même.
Remarque. Autrement dit, les intervalles de \mathbb{R} sont exactement les parties « sans trou ». C’est cette propriété qui caractérise \mathbb{R} parmi les corps ordonnés : \mathbb{Q} possède des « trous » (par exemple \{r\in\mathbb{Q}\,/\,r^2<2\} est un intervalle « troué » de \mathbb{Q}).
4 Densité
4.1 Définition
Définition 5.1
Une partie D de \mathbb{R} est dite dense dans \mathbb{R} si tout intervalle ouvert non vide de \mathbb{R} contient un élément de D : \forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ a<b \Longrightarrow \exists d\in D,\ a<d<b
4.2 Densité de \mathbb{Q}
Théorème 5.1 — (Densité de \boldsymbol{\mathbb{Q}} dans \boldsymbol{\mathbb{R}})
\mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} : tout intervalle ouvert non vide de \mathbb{R} contient un nombre rationnel.
Preuve. Soient a<b deux réels. Par la propriété d’Archimède appliquée à \frac{1}{b-a}>0, il existe n\in\mathbb{N}^* tel que \frac{1}{n}<b-a. Considérons l’ensemble K=\{k\in\mathbb{Z}\,/\,k>na\} : il est non vide (Archimède) et minoré par na, donc il admet un plus petit élément k_0 (propriété du plus petit élément de \mathbb{Z}). Alors k_0-1\leq na<k_0, d’où : a<\frac{k_0}{n}\leq a+\frac{1}{n}<a+(b-a)=b Ainsi r=\frac{k_0}{n}\in\mathbb{Q} vérifie a<r<b. D’où la densité de \mathbb{Q}.
4.3 Densité des irrationnels
Théorème 5.2 — (Densité de \boldsymbol{\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}})
L’ensemble des nombres irrationnels est dense dans \mathbb{R}.
Preuve. Soient a<b. Par densité de \mathbb{Q} appliquée à a-\sqrt{2}<b-\sqrt{2}, il existe r\in\mathbb{Q} tel que a-\sqrt{2}<r<b-\sqrt{2}. Posons x=r+\sqrt{2} : alors a<x<b. Si x était rationnel, alors \sqrt{2}=x-r serait rationnel, contradiction. Donc x\in\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q} et a<x<b.
Corollaire 5.1
Entre deux réels distincts quelconques, il existe une infinité de nombres rationnels et une infinité de nombres irrationnels.
Exemple 5.1
Entre 1 et 2 : \frac{3}{2}\in\mathbb{Q} et 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\in\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q} appartiennent à ]1,2[.
Exercice 5.1
- Montrer que \sqrt{2}+\sqrt{3} est irrationnel.
- Soit x\in\mathbb{R}. Montrer que x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,/\,r\leq x\}.
- Soient a,b\in\mathbb{R} tels que \forall r\in\mathbb{Q},\ (r\geq a\Rightarrow r\geq b). Montrer que b\leq a.
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