Groupe symétrique et déterminant

Chapitre 15

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

18 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 15. Permutations, décomposition en cycles, signature, déterminants en dimensions 2 et 3, déterminant d’une famille de vecteurs, d’un endomorphisme, d’une matrice, comatrice et formules de Cramer, déterminant de Vandermonde.

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

Groupe symétrique et déterminant

Dans ce chapitre, \mathbb{K} désigne un corps (on peut penser à \mathbb{Q}, \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Le déterminant est l’outil central de l’algèbre linéaire en dimension finie : il caractérise les bases, l’inversibilité des matrices et des endomorphismes, et permet de résoudre explicitement les systèmes linéaires (formules de Cramer). Sa construction repose sur le groupe symétrique et la signature des permutations.

1 Le groupe symétrique

1.1 Définitions et premiers exemples

Définition 2.1

Une permutation de \{1,2,\ldots,n\} est une bijection de \{1,2,\ldots,n\} dans lui-même. L’ensemble des permutations, muni de la composition des applications, est un groupe noté (\mathcal{S}_n,\circ), appelé groupe symétrique. On décrit une permutation par le tableau de ses images : \sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}

Lemme 2.1

Le cardinal de \mathcal{S}_n est n!.

Preuve. L’image de 1 admet n choix, l’image de 2 admet n-1 choix (elle doit différer de l’image de 1), etc. ; l’image de n n’admet qu’une seule possibilité. Au total : n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1=n! bijections.

Exemple 2.1

La permutation f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&7&5&4&6&1&2\end{pmatrix} est la bijection définie par f(1)=3, f(2)=7, f(3)=5, f(4)=4, f(5)=6, f(6)=1, f(7)=2.

  • Composition : on superpose les tableaux ; par exemple, avec g=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\4&3&2&1&7&5&6\end{pmatrix}, on obtient g\circ f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&6&7&1&5&4&3\end{pmatrix}.
  • Inverse : on échange les deux lignes puis on réordonne : f^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\6&7&1&4&3&5&2\end{pmatrix}.

Lemme 2.2

Pour n\geq 3, le groupe \mathcal{S}_n n’est pas commutatif.

Exemple 2.2 — (Le groupe \boldsymbol{\mathcal{S}_3})

\mathcal{S}_3=\{\operatorname{id},\ \tau_1=(1\ 2),\ \tau_2=(1\ 3),\ \tau_3=(2\ 3),\ \sigma=(1\ 2\ 3),\ \sigma^{-1}=(1\ 3\ 2)\} a 3!=6 éléments. On a par exemple \tau_1\circ\sigma=\tau_2 mais \sigma\circ\tau_1=\tau_3 : le groupe n’est pas commutatif.

1.2 Décomposition en cycles

Définition 2.2

Un cycle de longueur p est une permutation \sigma pour laquelle il existe k_1,\cdots,k_p deux à deux distincts tels que \sigma(k_i)=k_{i+1} pour 1\leq i<p, \sigma(k_p)=k_1 et \sigma(k)=k si k\notin\{k_1,\cdots,k_p\} ; on le note (k_1\ k_2\ \cdots\ k_p). Un cycle de longueur 2 s’appelle une transposition. Le support d’un cycle est l’ensemble des éléments non fixés.

Exemple 2.3

  • \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\1&8&3&5&2&6&7&4\end{pmatrix} est le cycle (2\ 8\ 4\ 5) (les éléments 1,3,6,7 sont fixes) ; on a \sigma^{-1}=(5\ 4\ 8\ 2).
  • f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\7&2&5&4&6&3&1\end{pmatrix} n’est pas un cycle ; il se décompose en cycles à supports disjoints : f=(1\ 7)\circ(3\ 5\ 6).

Théorème 2.1

Toute permutation de \mathcal{S}_n se décompose en une composition de cycles à supports disjoints ; cette décomposition est unique (à l’ordre près des facteurs et à l’écriture de chaque cycle près).

Exemple 2.4

La décomposition de f=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&2&1&8&3&7&6&4\end{pmatrix} est (1\ 5\ 3)\circ(4\ 8)\circ(6\ 7).

Théorème 2.2

Toute permutation de \mathcal{S}_n se décompose en un produit de transpositions.

1.3 Signature d’une permutation

Définition 2.3

Soit \sigma\in\mathcal{S}_n. On dit que \sigma présente une inversion en (i,j) (avec i<j) si \sigma(i)>\sigma(j). On note N(\sigma) le nombre d’inversions et on appelle signature de \sigma le nombre : \varepsilon(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}=\begin{cases}+1 & \text{si } N(\sigma) \text{ est pair}\\ -1 & \text{si } N(\sigma) \text{ est impair}\end{cases}

Exemple 2.5

Pour \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&4&7&1&2&6&5\end{pmatrix}, on compte N(\sigma)=9 inversions, donc \varepsilon(\sigma)=-1. On a aussi la formule utile : \varepsilon(\sigma)=\prod_{i<j}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}

Théorème 2.3

Pour \sigma,\sigma'\in\mathcal{S}_n, on a \varepsilon(\sigma\circ\sigma')=\varepsilon(\sigma)\,\varepsilon(\sigma') : la signature est un morphisme de groupes de (\mathcal{S}_n,\circ) dans (\{+1,-1\},\times).

Proposition 2.1

  1. La signature d’une transposition vaut -1 ; celle d’un p-cycle vaut (-1)^{p-1}.
  2. Si \sigma est produit de k transpositions, alors \varepsilon(\sigma)=(-1)^k : la parité de k ne dépend pas de la décomposition. On dit que \sigma est paire (resp. impaire) si \varepsilon(\sigma)=+1 (resp. -1).
  3. L’ensemble A_n des permutations paires est un sous-groupe de \mathcal{S}_n, appelé groupe alterné, et \operatorname{Card}A_n=\frac{n!}{2}.

2 Déterminants en dimensions 2 et 3

2.1 Dimension 2

Définition 3.1

Le déterminant d’une matrice 2\times 2 est : \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

C’est le produit des éléments de la diagonale principale moins le produit des éléments de l’autre diagonale.

2.2 Dimension 3 et règle de Sarrus

Définition 3.2

Pour A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_3(\mathbb{K}) : \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12} Règle de Sarrus : on recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice, puis on additionne les produits de trois termes suivant les diagonales descendantes et on soustrait ceux suivant les diagonales montantes. Attention : cette méthode ne s’applique pas aux matrices de taille supérieure à 3.

Exemple 3.1

\det\begin{pmatrix}2&1&0\\1&-1&3\\3&2&1\end{pmatrix}=\underbrace{2\times(-1)\times1}_{-2}+\underbrace{1\times3\times3}_{9}+\underbrace{0\times1\times2}_{0}-\underbrace{3\times(-1)\times0}_{0}-\underbrace{2\times3\times2}_{12}-\underbrace{1\times1\times1}_{1}=-6

2.3 Interprétation géométrique

Proposition 3.1

  1. L’aire du parallélogramme défini par v_1=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix} et v_2=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix} est \mathcal{A}=\big|\det(v_1,v_2)\big|.
  2. Le volume du parallélépipède défini par trois vecteurs de \mathbb{R}^3 est \mathcal{V}=\big|\det(v_1,v_2,v_3)\big|.

3 Définition générale du déterminant

3.1 Déterminant d’une famille de vecteurs

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n muni d’une base \mathcal{B}=(e_1,\cdots,e_n).

Théorème 4.1 — (Existence et unicité)

Il existe une unique application \det_{\mathcal{B}}:E^n\longrightarrow\mathbb{K}, appelée déterminant dans la base \mathcal{B}, telle que :

  1. elle est n-linéaire : linéaire par rapport à chaque vecteur, les autres étant fixés ;
  2. elle est alternée : nulle dès que deux vecteurs sont égaux ;
  3. \det_{\mathcal{B}}(e_1,\cdots,e_n)=1.

Théorème 4.2 — (Formule par les permutations)

Si x_j=\sum_{i=1}^n a_{ij}e_i pour 1\leq j\leq n, alors : \det_{\mathcal{B}}(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{\sigma\in\mathcal{S}_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{j=1}^n a_{\sigma(j),j}=\sum_{\sigma\in\mathcal{S}_n}\varepsilon(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}

Proposition 4.1 — (Propriétés immédiates)

  1. \det(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)\det(x_1,\cdots,x_n) ; en particulier, échanger deux vecteurs change le signe du déterminant ;
  2. le déterminant est nul dès que la famille est liée (deux vecteurs égaux, un vecteur nul…) ;
  3. ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres ne change pas le déterminant ;
  4. multiplier un vecteur par \lambda multiplie le déterminant par \lambda.

Corollaire 4.1

Une famille de n vecteurs d’un espace de dimension n est une base (i.e. une famille libre) si et seulement si son déterminant est non nul.

4 Déterminant d’un endomorphisme

Définition 5.1

Soit f\in\mathcal{L}(E) avec \dim E=n et \mathcal{B} une base de E. On appelle déterminant de f le scalaire : \det f=\det_{\mathcal{B}}\big(f(e_1),\cdots,f(e_n)\big) Cette valeur ne dépend pas du choix de la base \mathcal{B}.

Preuve. Si \mathcal{B}' est une autre base et P la matrice de passage de \mathcal{B} à \mathcal{B}', alors \det_{\mathcal{B}'}f=\det P^{-1}\cdot\det_{\mathcal{B}}f\cdot\det P=\det_{\mathcal{B}}f, puisque \det P^{-1}\det P=1.

Proposition 5.1

f est un automorphisme de E si et seulement si \det f\neq 0.

Exemple 5.1

  • \det(\operatorname{id}_E)=1 ; \det(h_\lambda)=\lambda^n pour l’homothétie de rapport \lambda.
  • Soit f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}_2[X],\ P\mapsto P(0)X^2+P'(0)X+\frac12 P''(0) ; sa matrice dans la base canonique est A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}, donc \det f=\det A=-1\neq 0 : f est un automorphisme.

5 Déterminant d’une matrice

Définition 6.1

Le déterminant d’une matrice carrée A est le déterminant de la famille de ses vecteurs colonnes dans la base canonique : \det A=\det(C_1,\cdots,C_n). On le note aussi |A| ou \begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.

Théorème 6.1 — (Propriétés fondamentales)

  1. \det(AB)=\det A\cdot\det B ;
  2. \det(A^T)=\det A ;
  3. A est inversible si et seulement si \det A\neq 0, et alors \det(A^{-1})=\frac{1}{\det A} ;
  4. le déterminant d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit de ses termes diagonaux ;
  5. le déterminant est invariant par les opérations élémentaires L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j ; il est multiplié par \lambda par L_i\leftarrow\lambda L_i et changé de signe par L_i\leftrightarrow L_j.

Exemple 6.1

Deux matrices semblables ont même déterminant : si B=P^{-1}AP avec P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}), alors \det B=\det P^{-1}\det A\det P=\det A.

Remarque. Ces propriétés fournissent la méthode pratique de calcul : on échelonne la matrice par opérations élémentaires en suivant leurs effets sur le déterminant, jusqu’à une matrice triangulaire dont le déterminant est immédiat.

6 Cofacteurs, comatrice, formules de Cramer

Définition 7.1

Soit A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}). On note A_{ij} la matrice extraite obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j ; le cofacteur de A relatif à a_{ij} est C_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij} ; la comatrice est \operatorname{Com}(A)=(C_{ij}). Les signes suivent le schéma d’un échiquier : +,-,+,\cdots

Théorème 7.1 — (Inverse par la comatrice)

Soit A inversible, de comatrice C. Alors : A^{-1}=\frac{1}{\det A}\,C^T

Exemple 7.1

Pour A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix} : \det A=2 et C=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}, d’où A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}.

Théorème 7.2 — (Règle de Cramer)

Soit AX=Y un système de n équations à n inconnues avec \det A\neq 0. Alors l’unique solution est donnée par : x_i=\frac{\det A_i}{\det A} où A_i est la matrice A dont la i-ème colonne est remplacée par le second membre Y.

Exemple 7.2

Pour le système \begin{cases}x_1+x_3=1\\x_2+2x_3=0\\x_1-x_2+x_3=3\end{cases}, on a \det A=-2 et la méthode de Cramer (ou le pivot) donne la solution unique (-18,-6,1)… par exemple, pour le système \begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases} : x=\frac{\begin{vmatrix}5&2\\1&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}=\frac{-7}{-7}=1, y=\frac{\begin{vmatrix}1&5\\3&1\end{vmatrix}}{-7}=\frac{-14}{-7}=2.

7 Rang et déterminants remarquables

Théorème 8.1

Le rang d’une matrice A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) est le plus grand entier r tel qu’il existe un mineur d’ordre r extrait de A non nul. Une matrice et sa transposée ont même rang.

Proposition 8.1 — (Déterminant de Vandermonde)

V_n(t_1,\cdots,t_n)=\begin{vmatrix}1&t_1&t_1^2&\cdots&t_1^{n-1}\\ 1&t_2&t_2^2&\cdots&t_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&t_n&t_n^2&\cdots&t_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(t_j-t_i)

Exemple 8.1

\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}=(2-1)(3-1)(3-2)=2\neq 0 : la famille (1+X+X^2,\ 1+2X+4X^2,\ 1+3X+9X^2) est une base de \mathbb{R}_2[X].

Proposition 8.2 — (Déterminant de Cauchy)

Pour (\alpha_i),(\beta_j) tels que \alpha_i+\beta_j\neq 0 : \det\left(\frac{1}{\alpha_i+\beta_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(\alpha_j-\alpha_i)(\beta_j-\beta_i)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(\alpha_i+\beta_j)} En prenant \alpha_i=i et \beta_j=j-1, on obtient le déterminant de la matrice de Hilbert : \det H_n=\frac{\left(\prod_{k=1}^n k!\right)^3}{n!^3\prod_{k=n}^{2n-1}k!}.

Exercice 8.1

  1. Calculer \det\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}, \det\begin{pmatrix}1&2&3\\1&4&6\\1&4&4\end{pmatrix} et \det\begin{pmatrix}1&0&6\\3&4&15\\5&6&21\end{pmatrix}.
  2. Montrer que si A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) est antisymétrique et inversible, alors n est pair.
  3. Calculer le déterminant de la famille \big(1+X+X^2,\ 1+2X+4X^2,\ 1+3X+9X^2\big) dans \mathbb{R}_2[X] et en déduire que c’est une base.
  4. Décomposer en cycles à supports disjoints \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\5&7&2&6&1&4&3\end{pmatrix}, puis calculer \sigma^2, \sigma^3 et sa signature.

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Chapitre 15 : Groupe symétrique et déterminant