TD — Dérivation
Chapitre 19
MPSI (1re année) — TD du Chapitre 19. Rolle, accroissements finis, classes \mathcal{C}^k.
Exercice 1
Soit f : [a, b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ avec f(a) = f(b). Montrer qu’il existe c \in ]a,b[ tel que f'(c) = 0 (théorème de Rolle).
Indication : Si f est constante, c’est immédiat. Sinon, f atteint un extremum en un point intérieur.
Exercice 2
Soit f : [a, b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Montrer qu’il existe c \in ]a,b[ tel que : f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)
Indication : Appliquer Rolle à g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).
Exercice 3
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dérivable avec f'(x) \geq 0 pour tout x. Montrer que f est croissante.
Exercice 4
Soit f : ]a, b[ \to \mathbb{R} dérivable avec f'(x) = 0 pour tout x. Montrer que f est constante.
Exercice 5
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^1. Montrer que si f' est bornée, alors f est lipschitzienne.
Indication : |f(x) - f(y)| = |x-y| \cdot |f'(c)| \leq M|x-y| par les accroissements finis.
Exercice 6
Soit f : [0, 1] \to \mathbb{R} continue, dérivable sur ]0,1[ avec f(0) = 0 et f(1) = 1. Montrer qu’il existe c_1, c_2 \in ]0,1[ distincts tels que : \frac{1}{f'(c_1)} + \frac{1}{f'(c_2)} = 2
Indications : - Par le TVI, il existe a \in ]0,1[ tel que f(a) = 1/2. - Appliquer le TAF sur [0,a] et [a,1].
Exercice 7
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^2 avec f''(x) \geq 0 pour tout x. Montrer que f est convexe.
Exercice 8
Soit f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R} continue, dérivable sur ]0,+\infty[ avec f(0) = 0 et f' croissante. Montrer que g(x) = f(x)/x est croissante sur ]0,+\infty[.
Indication : Calculer g'(x) = \frac{xf'(x) - f(x)}{x^2} et montrer xf'(x) \geq f(x).
Exercice 9
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^n. Montrer par récurrence la formule de Leibniz : (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}
Exercice 10
Soit f : [a, b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ avec f(a) < f(b). Montrer que pour tout m \in ]f(a), f(b)[, il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = m (TVI pour f).
Indication : Appliquer le TVI à f sur [a,b].