TD — Limites et continuité
Chapitre 18
MPSI (1re année) — TD du Chapitre 18. Limites, continuité, TVI, bornes atteintes, continuité uniforme (Heine).
Exercice 1
Calculer les limites suivantes :
- \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}
- \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}
- \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x)
- \lim_{x \to 0^+} x^x
Indications : - (1) Limite usuelle : 1. - (3) Multiplier par \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1} + x}. Limite : 0. - (4) x^x = e^{x \ln x}, et x \ln x \to 0. Limite : 1.
Exercice 2
Soit f : [0, 1] \to [0, 1] continue. Montrer que f admet au moins un point fixe (i.e. \exists c \in [0, 1], f(c) = c).
Indication : Appliquer le TVI à g(x) = f(x) - x sur [0, 1]. g(0) \geq 0 et g(1) \leq 0.
Exercice 3
Soit f : [0, 1] \to [0, 1] continue. Montrer que f est bornée et atteint ses bornes.
Indication : Théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
Exercice 4
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue et telle que \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty. Montrer que f admet un minimum global.
Indication : Pour M > f(0), il existe A > 0 tel que |x| > A \Rightarrow f(x) > M. Donc le minimum de f sur [-A, A] est le minimum global.
Exercice 5
Soit f : [a, b] \to \mathbb{R} continue avec f(a) \cdot f(b) < 0. Montrer qu’il existe c \in ]a, b[ tel que f(c) = 0.
Exercice 6
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue et périodique. Montrer que f est bornée.
Indication : f est bornée sur [0, T] (segment, continue), donc sur \mathbb{R} par périodicité.
Exercice 7
Soit f : ]0, 1[ \to \mathbb{R} continue. Montrer que si f est uniformément continue sur ]0, 1[, alors f peut être prolongée par continuité en 0 et en 1.
Indications : - Si f est uniformément continue, pour \varepsilon = 1, \exists \delta > 0 tel que |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < 1. - La suite (f(1/n)) est de Cauchy, donc converge. Noter \ell sa limite. - Montrer que \lim_{x \to 0^+} f(x) = \ell.
Exercice 8
Montrer que f : x \mapsto \sqrt{x} est uniformément continue sur [0, +\infty[ mais que g : x \mapsto x^2 ne l’est pas.
Indications : - Pour f : |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq \sqrt{|x - y|}. - Pour g : prendre x_n = n + \frac{1}{n} et y_n = n. |x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0 mais |x_n^2 - y_n^2| = 2 + \frac{1}{n^2} \not\to 0.
Exercice 9
Soit f : [a, b] \to \mathbb{R} continue. Montrer que f est uniformément continue sur [a, b] (théorème de Heine).
Indication : Par l’absurde. S’il existe \varepsilon > 0 tel que \forall n, \exists x_n, y_n avec |x_n - y_n| < \frac{1}{n} et |f(x_n) - f(y_n)| \geq \varepsilon. Par compacité de [a,b], extraire une sous-suite convergente.
Exercice 10
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} continue et telle que \lim_{|x| \to +\infty} f(x) = 0.
- Montrer que f est bornée.
- Montrer que f est uniformément continue sur \mathbb{R}.
Indications : - (1) Hors de [-A, A], |f(x)| < 1. Sur [-A, A], f est bornée. - (2) f est UC sur [-A-1, A+1] (Heine), et hors de cet intervalle, |f(x) - f(y)| \leq |f(x)| + |f(y)| < 2\varepsilon.
Exercice 11
Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} vérifiant |f(x) - f(y)| \leq k |x - y| pour tout x, y avec k \in [0, 1[.
- Montrer que f est uniformément continue.
- Soit u_0 \in \mathbb{R} et u_{n+1} = f(u_n). Montrer que |u_{n+1} - u_n| \leq k^n |u_1 - u_0|.
- En déduire que (u_n) converge vers l’unique point fixe de f.