TD — Suites numériques

Chapitre 17

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 17. Limites, convergence, suites adjacentes, suites récurrentes.

Exercice 1

Étudier la convergence des suites suivantes et déterminer leur limite éventuelle :

  1. u_n = \dfrac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + n + 1}
  2. u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
  3. u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}
  4. u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n

Indications : - (1) Diviser numérateur et dénominateur par n^2. Limite : 2. - (2) Multiplier par \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}. Limite : 0. - (4) Suite croissante majorée par e. Limite : e.

Exercice 2

Soient (u_n) et (v_n) définies par u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} et v_n = u_n + \frac{1}{n}.

  1. Montrer que (u_n) est croissante et (v_n) est décroissante.
  2. Montrer que (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
  3. En déduire qu’elles convergent vers la même limite.

Exercice 3

Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}.

  1. Montrer que (u_n) est bien définie, croissante et majorée par 2.
  2. En déduire que (u_n) converge.
  3. Déterminer \lim u_n.

Indications : - (1) Par récurrence : u_n \in [0, 2] et u_{n+1} - u_n = \sqrt{2 + u_n} - u_n. - (3) Si \ell = \lim u_n, alors \ell = \sqrt{2 + \ell}, donc \ell^2 = 2 + \ell, \ell = 2.

Exercice 4

Soit (u_n) définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + 1.

  1. Calculer u_1, u_2, u_3.
  2. Montrer que v_n = u_n - 2 est géométrique.
  3. En déduire u_n en fonction de n et \lim u_n.

Exercice 5

Soit f : [0, 1] \to [0, 1] définie par f(x) = x^2. On définit u_{n+1} = f(u_n) avec u_0 \in [0, 1].

  1. Montrer que (u_n) est bien définie et à valeurs dans [0, 1].
  2. Étudier la convergence selon la valeur de u_0.

Indications : - Si u_0 = 1, u_n = 1 pour tout n. - Si u_0 \in [0, 1[, u_n = u_0^{2^n} \to 0.

Exercice 6

Soient (u_n) et (v_n) définies par u_0 = a > 0, v_0 = b > 0 et : u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}, \quad v_{n+1} = \sqrt{u_n v_n}

  1. Montrer que u_n \geq v_n \geq 0 pour tout n \geq 1 (inégalité arithmético-géométrique).
  2. Montrer que (u_n) est décroissante et (v_n) est croissante à partir du rang 1.
  3. Montrer que (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
  4. Leur limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b.

Exercice 7

Soit (u_n) définie par u_0 > 0 et u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}.

  1. Montrer que (u_n) est strictement croissante.
  2. Montrer que (u_n) diverge vers +\infty.

Indications : - (2) Par l’absurde : si u_n \to \ell fini, alors \ell = \ell + \frac{1}{\ell}, donc \frac{1}{\ell} = 0, contradiction.

Exercice 8

Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{u_n}.

  1. Calculer les premiers termes.
  2. Montrer que u_{2n} et u_{2n+1} sont adjacentes.
  3. Montrer que (u_n) converge vers \varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} (nombre d’or).

Exercice 9

Soit (u_n) une suite réelle vérifiant u_{n+1} - u_n \to 0.

  1. La suite (u_n) converge-t-elle nécessairement ?
  2. Donner un contre-exemple.
  3. Montrer que si (u_n) est monotone, alors elle converge ou tend vers \pm \infty.

Indication pour (2) : u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} (série harmonique). u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} \to 0 mais u_n \to +\infty.

Exercice 10

Soient (u_n) une suite croissante et (v_n) une suite décroissante telles que u_n \leq v_n pour tout n.

  1. Montrer que (u_n) et (v_n) convergent.
  2. Montrer que \lim u_n \leq \lim v_n.
  3. Si v_n - u_n \to 0, montrer que les deux suites convergent vers la même limite (suites adjacentes).

Cours

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