TD — Nombres réels

Chapitre 16

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 16. Borne supérieure, densité de \mathbb{Q} et de \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, intervalles.

Exercice 1

Déterminer, lorsqu’elles existent, la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles suivants :

  1. A = \left\{\dfrac{1}{n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^*\right\}
  2. B = \left\{\dfrac{n}{n+1} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}\right\}
  3. C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 2\}
  4. D = \left\{(-1)^n + \dfrac{1}{n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^*\right\}

Indications : - (1) \sup A = 1, \inf A = 0 (non atteint). - (2) \sup B = 1 (non atteint), \inf B = 0 (atteint). - (3) C = ]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[, \sup C = \sqrt{2}, \inf C = -\sqrt{2}.

Exercice 2

Soit A \subset \mathbb{R} non vide et majoré. Montrer que \sup A est l’unique réel M tel que :

  1. \forall a \in A, \; a \leq M ;
  2. \forall \varepsilon > 0, \; \exists a \in A, \; a > M - \varepsilon.

Exercice 3

Soient A, B \subset \mathbb{R} non vides et bornés avec A \subset B.

  1. Montrer que \sup A \leq \sup B et \inf A \geq \inf B.
  2. Soit A + B = \{a + b \mid a \in A, b \in B\}. Montrer que \sup(A + B) = \sup A + \sup B.

Indication pour (2) : - Majorant : a + b \leq \sup A + \sup B pour tout a \in A, b \in B. - Plus petit : pour \varepsilon > 0, \exists a \in A, b \in B avec a > \sup A - \varepsilon/2 et b > \sup B - \varepsilon/2, donc a + b > \sup A + \sup B - \varepsilon.

Exercice 4

Montrer que \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R} : pour tous a < b dans \mathbb{R}, il existe q \in \mathbb{Q} tel que a < q < b.

Indication : Choisir n \in \mathbb{N}^* tel que \frac{1}{n} < b - a (propriété d’Archimède). Il existe alors m \in \mathbb{Z} tel que m \leq na < m + 1. Poser q = \frac{m+1}{n}.

Exercice 5

Montrer que \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}.

Indication : Si a < b, alors a - \sqrt{2} < b - \sqrt{2}. Par densité de \mathbb{Q}, il existe q \in \mathbb{Q} tel que a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}. Alors \alpha = q + \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} et a < \alpha < b.

Exercice 6

Montrer que \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.

Indication : Par l’absurde. Si \sqrt{2} = \frac{p}{q} avec p \wedge q = 1, alors 2q^2 = p^2, donc 2 \mid p^2 \Rightarrow 2 \mid p. Poser p = 2k : q^2 = 2k^2, donc 2 \mid q. Contradiction.

Exercice 7

Soit f : [a, b] \to \mathbb{R} continue. Montrer que f([a, b]) est un intervalle fermé borné (image d’un segment par une application continue).

Indication : Utiliser le TVI pour montrer que c’est un intervalle, et le théorème des bornes atteintes pour montrer qu’il est fermé borné.

Exercice 8

Soient A, B deux parties non vides de \mathbb{R} telles que \forall a \in A, \forall b \in B, \; a \leq b.

  1. Montrer que \sup A \leq \inf B.
  2. Si \sup A = \inf B, montrer qu’il existe un unique réel c séparant A et B (\forall a \in A, \forall b \in B, a \leq c \leq b).

Exercice 9

Soit x \in \mathbb{R}. On note \lfloor x \rfloor la partie entière de x. Montrer que :

  1. \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1.
  2. Pour tout n \in \mathbb{N}^*, \left|\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} - x\right| < \dfrac{1}{n}.
  3. En déduire une autre preuve de la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R}.

Exercice 10

Montrer que tout ouvert non vide de \mathbb{R} est réunion dénombrable d’intervalles ouverts disjoints.

Indications : - Pour chaque x \in U ouvert, il existe un plus grand intervalle ouvert I_x \subset U contenant x. - Deux tels intervalles sont égaux ou disjoints. - Chacun contient un rationnel distinct, donc il y en a au plus une infinité dénombrable.

Cours

Chapitre 16 : Nombres réels