title: “TD — Groupe symétrique et déterminant” subtitle: “Chapitre 15” author: “Saîd MAHARI” date: last-modified date-format: “D MMMM YYYY” lang: fr format: html: theme: cosmo toc: true number-sections: true html-math-method: katex css: styles.css filters: - custom-numbered-blocks.lua —

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 15. Permutations, signatures, déterminants d’une famille, d’un endomorphisme, d’une matrice.

Dans \(\mathcal{S}_4\), considérer \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).

  1. Décomposer \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.
  2. Décomposer \(\sigma\) en produit de transpositions.
  3. Calculer la signature \(\varepsilon(\sigma)\).
  4. Calculer \(\sigma^2\), \(\sigma^3\), \(\sigma^4\).

Indications : - (1) \(\sigma = (1\;3\;2\;4)\). - (2) \((1\;3\;2\;4) = (1\;4)(1\;2)(1\;3)\). - (3) 3 transpositions, donc \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1\).

Montrer que toute permutation de \(\mathcal{S}_n\) peut s’écrire comme produit de transpositions de la forme \((k \;\; k+1)\) pour \(k \in \{1, \ldots, n-1\}\).

Indication : Pour échanger \(i\) et \(j\) avec \(i < j\), utiliser \((i \;\; i+1)(i+1 \;\; i+2)\cdots(j-1 \;\; j)\cdots(i \;\; i+1)\).

Calculer les déterminants suivants :

  1. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\)
  2. \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}\)
  3. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{vmatrix}\) (matrice de Pascal)

Indications : - (1) \(L_3 - L_2 = L_2 - L_1\), donc \(\det = 0\). - (2) \(L_1 + L_2 + L_3 = (a+b+c)(1,1,1)\). Factoriser \((a+b+c)\). - (3) Réduire par opérations élémentaires.

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\).

  1. Calculer \(\det A\).
  2. \(A\) est-elle inversible ? Si oui, calculer \(A^{-1}\).

Indication : \(A = J - I_4\) où \(J\) est la matrice de 1. Les valeurs propres de \(J\) sont 4 et 0 (multiplicité 3). Donc \(\det(J - I_4) = (4-1)(0-1)^3 = -3\).

Soient \(a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}\) deux à deux distincts. Calculer le déterminant de Vandermonde : \[V(a_1, \ldots, a_n) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}\]

Indication : Par récurrence. Pour \(n = 2\) : \(V(a_1, a_2) = a_2 - a_1\). Pour l’hérédité, \(L_k \leftarrow L_k - a_1 L_{k-1}\) pour \(k = n, n-1, \ldots, 2\). On obtient \(V(a_1, \ldots, a_n) = \prod_{k=2}^n (a_k - a_1) \cdot V(a_2, \ldots, a_n)\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

  1. Montrer que \(\det(^t\!A) = \det(A)\).
  2. Montrer que \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\).
  3. Montrer que \(A\) est inversible \(\iff \det(A) \neq 0\).
  4. Si \(A\) est inversible, montrer que \(\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}\).

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \((e_1, \ldots, e_n)\) une base. Soient \(v_1, \ldots, v_n \in E\).

  1. Montrer que \((v_1, \ldots, v_n)\) est une base de \(E\) \(\iff \det_{\mathcal{B}}(v_1, \ldots, v_n) \neq 0\).
  2. Montrer que le déterminant d’une famille de vecteurs change de signe si on échange deux vecteurs.

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) avec \(\dim E = n\).

  1. Montrer que \(\det(u)\) est bien défini (ne dépend pas de la base choisie).
  2. Montrer que \(u\) est un automorphisme \(\iff \det(u) \neq 0\).
  3. Si \(u = \lambda \mathrm{Id}_E\), calculer \(\det(u)\).

Indications : - (1) Si \(A\) et \(A'\) sont les matrices de \(u\) dans deux bases, \(A' = P^{-1} A P\), donc \(\det A' = \det A\). - (3) \(\det(\lambda \mathrm{Id}_E) = \lambda^n\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) triangulaire (supérieure ou inférieure). Montrer que \(\det A\) est le produit des coefficients diagonaux.

Indication : Par récurrence sur \(n\), développer par rapport à la première colonne (ou dernière ligne).

Calculer le déterminant de la matrice tridiagonale : \[\Delta_n = \begin{vmatrix} 2 & -1 & & 0 \\ -1 & 2 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & & -1 & 2 \end{vmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]

Indications : - Développer par rapport à la première ligne : \(\Delta_n = 2\Delta_{n-1} - \Delta_{n-2}\). - C’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Solution : \(\Delta_n = n + 1\).

Cours

Chapitre 15 : Groupe symétrique et déterminant