TD — Calcul matriciel

Chapitre 14

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 14. Matrices inversibles, matrices par blocs, changement de base.

Exercice 1

Soient A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

  1. Calculer AB, BA, A^2, B^2.
  2. A et B sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leurs inverses.
  3. A et B commutent-elles ?

Exercice 2

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  1. Calculer A^n pour tout n \in \mathbb{N}.
  2. Montrer que A est inversible et calculer A^{-1}.

Indications : - (1) Écrire A = I_3 + N avec N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. On a N^3 = 0, utiliser le binôme de Newton. - (2) A^{-1} = (I_3 + N)^{-1} = I_3 - N + N^2.

Exercice 3

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. Calculer A^{-1} par la méthode de Gauss-Jordan (en échelonnant (A | I_3) pour obtenir (I_3 | A^{-1})).

Exercice 4

Soient A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K}), B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}), C \in \mathcal{M}_{q,p}(\mathbb{K}), D \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K}). On considère la matrice par blocs M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}.

  1. Si A est inversible, montrer que \det M = \det A \cdot \det(D - CA^{-1}B) (formule du complément de Schur).
  2. Si D est inversible, montrer que M est inversible si et seulement si A - BD^{-1}C est inversible.

Exercice 5

Soient A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} et \mathcal{B} la base canonique de \mathbb{R}^2. Soit \mathcal{B}' = (e_1', e_2') avec e_1' = (1, 1) et e_2' = (1, -1).

  1. Déterminer la matrice de passage P de \mathcal{B} à \mathcal{B}'.
  2. Calculer P^{-1}.
  3. Si u est l’endomorphisme de matrice A dans \mathcal{B}, déterminer la matrice de u dans \mathcal{B}'.

Indications : - (1) P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. - (3) A' = P^{-1} A P.

Exercice 6

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) une matrice nilpotente (il existe k tel que A^k = 0).

  1. Montrer que I_n - A est inversible et (I_n - A)^{-1} = I_n + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}.
  2. Application : A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Calculer (I_3 - A)^{-1}.

Exercice 7

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) telle que A^2 - 3A + 2I_n = 0.

  1. Montrer que A est inversible et exprimer A^{-1} en fonction de A.
  2. Montrer que A - I_n est inversible.

Indications : - (1) A(A - 3I_n) = -2I_n, donc A^{-1} = \frac{1}{2}(3I_n - A). - (2) (A - I_n)(A - 2I_n) = A^2 - 3A + 2I_n = 0. Non, il faut A^2 - 3A + 2I_n = (A-I_n)(A-2I_n) = 0. Donc A-I_n n’est pas nécessairement inversible. Contre-exemple : A = I_n.

Exercice 8

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) telles que AB = I_n.

  1. Montrer que A est surjective (considérée comme endomorphisme de \mathbb{K}^n).
  2. En déduire que A est bijective et A^{-1} = B.
  3. Montrer alors que BA = I_n.

Exercice 9

Soit A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) définie par a_{ij} = \min(i, j).

  1. Calculer A pour n = 3 et n = 4.
  2. Montrer que A est inversible et calculer A^{-1} (qui est tridiagonale).

Indication : Pour n = 3 : A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Exercice 10

Soient A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) telles que A + B et A - B soient inversibles.

  1. Montrer que la matrice par blocs M = \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} est inversible.
  2. Exprimer M^{-1} en fonction de (A+B)^{-1} et (A-B)^{-1}.

Indication : Poser P = \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ I_n & -I_n \end{pmatrix}. Calculer P^{-1}MP = \begin{pmatrix} A+B & 0 \\ 0 & A-B \end{pmatrix}.

Cours

Chapitre 14 : Calcul matriciel