TD — Dimension finie

Chapitre 13

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 13. Espaces de dimension finie, théorème de la base incomplète, dimension d’un espace et d’un sous-espace, dimension d’une somme, rang d’une application linéaire, théorème du rang, hyperplans et formes linéaires.

Exercice 1

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n.

  1. Montrer que toute famille de n+1 vecteurs est liée.
  2. Montrer que toute famille de n-1 vecteurs n’est pas génératrice.
  3. Montrer qu’une famille de n vecteurs est une base si et seulement si elle est libre si et seulement si elle est génératrice.

Exercice 2

Dans \mathbb{R}^4, on considère F = \mathrm{Vect}((1, 2, 0, 1), (2, 1, 1, 0)) et G = \mathrm{Vect}((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 2)).

  1. Déterminer \dim F et \dim G.
  2. Déterminer une base de F \cap G.
  3. En déduire \dim(F + G) et une base de F + G.

Indication : Pour F \cap G, résoudre \alpha u_1 + \beta u_2 = \gamma v_1 + \delta v_2.

Exercice 3

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et F, G deux sous-espaces de E.

  1. Montrer que \dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) (formule de Grassmann).
  2. Montrer que F + G = F \oplus G \iff \dim(F + G) = \dim F + \dim G.

Exercice 4

Soit f : E \to F une application linéaire entre deux espaces de dimension finie.

  1. Montrer que \dim E = \dim \ker f + \dim \mathrm{Im}\, f (théorème du rang).
  2. En déduire que si \dim E = \dim F, alors f injective \iff f surjective \iff f bijective.

Exercice 5

Soient f, g \in \mathcal{L}(E) où \dim E = n. Montrer que :

  1. \mathrm{rg}(f + g) \leq \mathrm{rg}(f) + \mathrm{rg}(g).
  2. \mathrm{rg}(f \circ g) \leq \min(\mathrm{rg}(f), \mathrm{rg}(g)).
  3. \dim \ker(f \circ g) \leq \dim \ker f + \dim \ker g.

Indication pour (3) : \ker(f \circ g) = g^{-1}(\ker f). La restriction de g à \ker(f \circ g) a pour image \mathrm{Im}(g) \cap \ker f.

Exercice 6

Soit \varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} définie par \varphi(x, y, z) = 2x - y + 3z.

  1. Montrer que \varphi est une forme linéaire.
  2. Déterminer \ker \varphi. Quelle est sa dimension ?
  3. Donner une base de \ker \varphi et compléter en une base de \mathbb{R}^3.

Indication : \ker \varphi est un hyperplan de \mathbb{R}^3 (dimension 2). Une base : ((1, 2, 0), (0, 3, 1)).

Exercice 7

Soit E un espace de dimension n et \varphi : E \to \mathbb{K} une forme linéaire non nulle.

  1. Montrer que \ker \varphi est un hyperplan de E.
  2. Réciproquement, montrer que tout hyperplan H de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
  3. Montrer que deux formes linéaires \varphi, \psi ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

Exercice 8

Soient f, g \in \mathcal{L}(E) avec \dim E = n telles que f \circ g = 0 et f + g bijective.

  1. Montrer que \mathrm{Im}\, g \subset \ker f.
  2. Montrer que \dim \mathrm{Im}\, g + \dim \mathrm{Im}\, f = n.
  3. En déduire que \mathrm{Im}\, g = \ker f.

Indication : \mathrm{rg}(f + g) = n \leq \mathrm{rg}(f) + \mathrm{rg}(g). Or \mathrm{Im}\, g \subset \ker f \Rightarrow \mathrm{rg}(g) \leq \dim \ker f = n - \mathrm{rg}(f), donc \mathrm{rg}(f) + \mathrm{rg}(g) \leq n. Égalité partout.

Exercice 9

Soient F_1, \ldots, F_p des sous-espaces vectoriels d’un espace E de dimension finie. Montrer par récurrence que : \dim(F_1 + \cdots + F_p) \leq \sum_{k=1}^p \dim F_k avec égalité si et seulement si la somme est directe.

Exercice 10

Soit E un espace de dimension finie n \geq 2 et H_1, H_2 deux hyperplans distincts de E.

  1. Montrer que \dim(H_1 \cap H_2) = n - 2.
  2. Montrer que H_1 + H_2 = E.
  3. Généraliser : si H_1, \ldots, H_k sont des hyperplans tels que \bigcap_{i=1}^k H_i \neq \{0\}, alors \dim\left(\bigcap_{i=1}^k H_i\right) \geq n - k.

Cours

Chapitre 13 : Dimension finie