TD — Espaces vectoriels et applications linéaires

Chapitre 12

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 12. Structure d’espace vectoriel, sous-espaces vectoriels, sommes directes, familles libres et génératrices, bases, applications linéaires, noyau, image, isomorphismes, projecteurs et symétries.

Exercice 1

Montrer que les ensembles suivants sont des \mathbb{R}-espaces vectoriels :

  1. L’ensemble des suites réelles (u_n)_{n \in \mathbb{N}}.
  2. L’ensemble \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) des fonctions de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.
  3. L’ensemble des fonctions paires (resp. impaires) de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.
  4. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y'' + y = 0.

Exercice 2

Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels de \mathbb{R}^3 ?

  1. F_1 = \{(x, y, z) \mid x + y + z = 0\}
  2. F_2 = \{(x, y, z) \mid x + y + z = 1\}
  3. F_3 = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 = z^2\}
  4. F_4 = \{(x, y, z) \mid x = 2y = 3z\}

Indication : Vérifier : 0 \in F, stabilité par addition et par multiplication scalaire. F_2 ne contient pas 0 ; F_3 n’est pas stable par addition.

Exercice 3

Soient F = \mathrm{Vect}((1, 2, 3), (2, 4, 6)) et G = \mathrm{Vect}((1, 0, -1), (0, 1, 1)) dans \mathbb{R}^3.

  1. Déterminer \dim F et \dim G.
  2. Déterminer F \cap G et F + G.
  3. La somme F + G est-elle directe ?

Exercice 4

Dans \mathbb{R}^4, on considère F = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \mid x_1 + x_2 = x_3 + x_4\} et G = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \mid x_1 - x_2 = x_3 - x_4\}.

  1. Déterminer une base de F et une base de G.
  2. Déterminer F \cap G et F + G.
  3. \mathbb{R}^4 = F \oplus G ?

Exercice 5

Les familles suivantes sont-elles libres ? Sont-elles génératrices ?

  1. Dans \mathbb{R}^3 : ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)).
  2. Dans \mathbb{R}^3 : ((1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)).
  3. Dans \mathbb{R}_2[X] : (1, X, X^2, X^3).

Indications : - (1) Calculer le déterminant : 1(1) - 1(-1) = 2 \neq 0. Famille libre et génératrice (base). - (2) L_3 = 2L_2 - L_1, famille liée.

Exercice 6

Soient f : E \to F une application linéaire et A \subset E.

  1. Montrer que f(A) est un sous-espace vectoriel de F si A est un sev de E.
  2. Montrer que f^{-1}(B) est un sev de E si B est un sev de F.
  3. Montrer que f(\mathrm{Vect}(A)) = \mathrm{Vect}(f(A)).

Exercice 7

Soit f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par f(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x).

  1. Montrer que f est linéaire.
  2. Déterminer \ker f et \mathrm{Im}\, f.
  3. f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?

Indications : - (2) f(x,y,z) = 0 \iff x + y = y + z = z + x = 0 \iff x = y = z = 0. Donc \ker f = \{0\}, f injective. - En dimension finie, injective \Rightarrow bijective (même dimension).

Exercice 8

Soit D : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_{n-1}[X] définie par D(P) = P' (dérivation).

  1. Montrer que D est linéaire.
  2. Déterminer \ker D et \mathrm{Im}\, D.
  3. Vérifier le théorème du rang.

Indications : - (2) \ker D = \mathbb{R}_0[X] (polynômes constants), \dim \ker D = 1. - \mathrm{Im}\, D = \mathbb{R}_{n-1}[X], \dim \mathrm{Im}\, D = n. - (3) \dim \mathbb{R}_n[X] = n + 1 = 1 + n = \dim \ker D + \dim \mathrm{Im}\, D. ✓

Exercice 9

Soient p, q \in \mathcal{L}(E) tels que p^2 = p, q^2 = q et p + q = \mathrm{Id}_E.

  1. Montrer que p \circ q = q \circ p = 0.
  2. Montrer que E = \mathrm{Im}(p) \oplus \mathrm{Im}(q).

Indication : (p+q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = p + pq + qp + q = \mathrm{Id}_E = p + q, donc pq + qp = 0. Multiplier à gauche par p : p^2 q + pqp = 0 \Rightarrow pq + pqp = 0, etc.

Exercice 10

Soit s \in \mathcal{L}(E) tel que s^2 = \mathrm{Id}_E (symétrie).

  1. Montrer que p = \frac{1}{2}(s + \mathrm{Id}_E) est un projecteur.
  2. En déduire que E = \ker(s - \mathrm{Id}_E) \oplus \ker(s + \mathrm{Id}_E).

Indication : p^2 = \frac{1}{4}(s^2 + 2s + \mathrm{Id}_E) = \frac{1}{4}(\mathrm{Id}_E + 2s + \mathrm{Id}_E) = \frac{1}{2}(s + \mathrm{Id}_E) = p.

Cours

Chapitre 12 : Espaces vectoriels et applications linéaires