TD — Fractions rationnelles

Chapitre 11

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 11. Décomposition en éléments simples, pôles et parties polaires.

Exercice 1

Décomposer en éléments simples dans \mathbb{C}(X) puis dans \mathbb{R}(X) les fractions suivantes :

  1. F_1(X) = \dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)(X+2)}
  2. F_2(X) = \dfrac{X^3}{X^2 - 1}
  3. F_3(X) = \dfrac{1}{(X-1)^2(X+1)}
  4. F_4(X) = \dfrac{X^2 + 3X + 1}{(X^2 + 1)(X - 2)}

Indications : - (2) Effectuer d’abord la division euclidienne car \deg(P) \geq \deg(Q). - (3) Pour un pôle double \alpha, la partie polaire est \frac{a}{X-\alpha} + \frac{b}{(X-\alpha)^2}. - (4) Dans \mathbb{R}(X), les facteurs irréductibles de degré 2 donnent des termes \frac{aX+b}{X^2+1}.

Exercice 2

Soit F(X) = \dfrac{X^4 + 1}{X^4 - 1}.

  1. Effectuer la division euclidienne.
  2. Factoriser le dénominateur dans \mathbb{R}[X] et dans \mathbb{C}[X].
  3. En déduire la décomposition en éléments simples dans \mathbb{R}(X) et dans \mathbb{C}(X).

Exercice 3

Déterminer la décomposition en éléments simples des fractions suivantes :

  1. F(X) = \dfrac{1}{X^n - 1} pour n \in \mathbb{N}^*.
  2. F(X) = \dfrac{1}{(X-a)(X-b)} avec a \neq b.
  3. F(X) = \dfrac{1}{X(X+1)(X+2)\cdots(X+n)}.

Indications : - (1) Les racines de X^n - 1 sont \omega_k = e^{2ik\pi/n} pour k = 0, \ldots, n-1. Le coefficient associé est \frac{1}{n\omega_k^{n-1}} = \frac{\omega_k}{n}. - (3) Utiliser le produit télescopique ou les différences finies.

Exercice 4

Soit F(X) = \dfrac{P(X)}{Q(X)} avec \deg P < \deg Q et Q scindé à racines simples \alpha_1, \ldots, \alpha_n.

  1. Montrer que la décomposition en éléments simples est F(X) = \sum_{k=1}^n \dfrac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot \dfrac{1}{X - \alpha_k}.
  2. Application : décomposer F(X) = \dfrac{X^2 + 1}{X^3 - X}.

Indication : Pour trouver le coefficient \lambda_k, multiplier par X - \alpha_k et évaluer en X = \alpha_k : \lambda_k = \frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} (règle des résidus).

Exercice 5

Soit F(X) = \dfrac{1}{(X^2 + 1)^2}. Décomposer F en éléments simples dans \mathbb{C}(X) puis en déduire la décomposition dans \mathbb{R}(X).

Indications : - Dans \mathbb{C}(X) : X^2 + 1 = (X-i)(X+i), donc (X^2+1)^2 = (X-i)^2(X+i)^2. - La partie polaire en i est \frac{a}{X-i} + \frac{b}{(X-i)^2}. - Par conjugaison, les coefficients en -i sont les conjugués. - Dans \mathbb{R}(X) : F(X) = \frac{aX+b}{X^2+1} + \frac{cX+d}{(X^2+1)^2}.

Exercice 6

Décomposer F(X) = \dfrac{X^{n-1}}{X^n + 1} en éléments simples dans \mathbb{C}(X) pour n \in \mathbb{N}^*.

Indication : Les racines de X^n + 1 = 0 sont \omega_k = e^{i(2k+1)\pi/n} pour k = 0, \ldots, n-1. Chaque coefficient vaut \frac{1}{n}.

Exercice 7

Soit F(X) = \dfrac{P(X)}{(X-a)^m} avec \deg P < m. Montrer que la décomposition en éléments simples est : F(X) = \sum_{k=1}^m \frac{P^{(m-k)}(a)}{(m-k)!} \cdot \frac{1}{(X-a)^k}

Indication : Écrire P(X) = \sum_{j=0}^{m-1} \frac{P^{(j)}(a)}{j!}(X-a)^j (formule de Taylor) et diviser par (X-a)^m.

Exercice 8

Déterminer la partie entière et la décomposition en éléments simples de :

  1. F(X) = \dfrac{X^5 + 2X^3 - X + 1}{X^3 - X}
  2. F(X) = \dfrac{(X+1)^n}{X^n} pour n \in \mathbb{N}^*

Indication pour (2) : Utiliser le binôme de Newton (X+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k.

Exercice 9

Soit F(X) = \dfrac{1}{1 + X + X^2 + \cdots + X^{n-1}} pour n \geq 2.

  1. Montrer que F(X) = \dfrac{X - 1}{X^n - 1} pour X \neq 1.
  2. En déduire la décomposition en éléments simples dans \mathbb{C}(X).

Exercice 10

Soit F(X) \in \mathbb{R}(X) une fraction rationnelle impaire (F(-X) = -F(X)). Montrer que dans sa décomposition en éléments simples :

  1. La partie entière est impaire (donc nulle si \deg P < \deg Q).
  2. Les pôles non nuls apparaissent par paires (\alpha, -\alpha) avec des parties polaires reliées.
  3. Le pôle éventuel en 0 a une partie polaire impaire (puissances impaires de X).

Indication : Appliquer la transformation X \mapsto -X à la décomposition et utiliser l’unicité.

Cours

Chapitre 11 : Fractions rationnelles