TD — Polynômes

Chapitre 10

Auteur·rice

Saîd MAHARI

Date de publication

23 août 2026

MPSI (1re année) — TD du Chapitre 10. Anneau \mathbb{K}[X], opérations et degré, division euclidienne, pgcd et Bézout, racines et multiplicité, théorème de d’Alembert-Gauss, factorisation dans \mathbb{C}[X] et \mathbb{R}[X].

Exercice 1

Soit P(X) = 3X^3 - 2, Q(X) = X^2 + X - 1, R(X) = aX + b.

  1. Calculer P + Q, P \times Q, (P+Q) \times R et P \times Q \times R.
  2. Trouver a et b afin que le degré de P - QR soit le plus petit possible.

Indication : Développer QR et identifier les coefficients dominants pour annuler les termes de plus haut degré.

Exercice 2

Soient P, Q \in \mathbb{K}[X].

  1. Montrer que si \deg P \neq \deg Q alors \deg(P + Q) = \max(\deg P, \deg Q).
  2. Donner un contre-exemple dans le cas où \deg P = \deg Q.
  3. Montrer que \deg(PQ) = \deg P + \deg Q.

Exercice 3

Effectuer la division euclidienne de A = X^4 + 2X^3 - X + 3 par B = X^2 + X - 1.

Indication : Diviser les termes de plus haut degré successivement.

Exercice 4

Calculer A \wedge B par l’algorithme d’Euclide, où A = X^4 - 1 et B = X^3 + X^2 + X + 1. En déduire U, V tels que AU + BV = A \wedge B.

Indications : - A = X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1). - B = X^3 + X^2 + X + 1 = (X+1)(X^2+1). - Donc A \wedge B = (X+1)(X^2+1) = B.

Exercice 5

Soit P(X) = X^4 - 4X^3 + 5X^2 - 2X.

  1. Montrer que 1 est racine de P. Quelle est sa multiplicité ?
  2. Factoriser P dans \mathbb{R}[X] puis dans \mathbb{C}[X].

Indications : - Calculer P(1), P'(1), P''(1) pour déterminer la multiplicité. - Factoriser par X(X-1)^2 puis chercher la dernière racine.

Exercice 6

Factoriser dans \mathbb{C}[X] puis dans \mathbb{R}[X] :

  1. X^4 + 1
  2. X^6 - 1
  3. X^4 - 2X^2 + 4

Indications : - (1) Les racines sont les solutions de X^4 = -1 = e^{i\pi}. - (2) X^6 - 1 = (X^3-1)(X^3+1). - (3) Poser Y = X^2 et résoudre Y^2 - 2Y + 4 = 0 dans \mathbb{C}.

Exercice 7

Décomposer en éléments simples sur \mathbb{R} puis sur \mathbb{C} :

  1. \frac{1}{X^2 - 1}
  2. \frac{X}{(X^2+1)^2}
  3. \frac{X^3 + 1}{X^2(X-1)}

Indications : - (1) X^2 - 1 = (X-1)(X+1). - (2) Sur \mathbb{R} : \frac{aX+b}{X^2+1} + \frac{cX+d}{(X^2+1)^2}. - (3) D’abord effectuer la division euclidienne (partie entière).

Exercice 8

Soit P(X) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6.

  1. Vérifier que 1 est racine. Factoriser P.
  2. Vérifier les relations de Viète.
  3. Calculer r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 où r_1, r_2, r_3 sont les racines.

Indications : - (1) P(1) = 0. Diviser par (X-1). - (3) r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (r_1+r_2+r_3)^2 - 2(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3).

Exercice 9

Soit P \in \mathbb{R}[X] tel que P(x) \geq 0 pour tout x \in \mathbb{R}. Montrer que P est une somme de deux carrés de polynômes de \mathbb{R}[X].

Indications : - Factoriser P dans \mathbb{C}[X]. - Les racines non réelles apparaissent par paires conjuguées. - Les racines réelles ont une multiplicité paire. - Regrouper les facteurs pour obtenir P = A^2 + B^2.

Exercice 10

Soit n \in \mathbb{N}^*. Montrer que le polynôme P_n(X) = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!} n’a pas de racine multiple.

Indication : Calculer P_n'(X) = P_{n-1}(X) et montrer que P_n et P_n' n’ont pas de racine commune.

Exercice 11

Soit F(X) = \frac{2X^2 + 7X - 20}{X + 2}.

  1. Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en \pm\infty.
  2. Étudier la position du graphe de F par rapport à cette droite.

Indication : Effectuer la division euclidienne de 2X^2 + 7X - 20 par X + 2.

Cours

Chapitre 10 : Polynômes