Polynômes

Chapitre 10

Auteur·rice

Said MAHARI

Date de publication

18 août 2026

MPSI (1re année) — Chapitre 10. Anneau \mathbb{K}[X], opérations et degré, division euclidienne, pgcd et Bézout, racines et multiplicité, théorème de d’Alembert-Gauss, factorisation dans \mathbb{C}[X] et \mathbb{R}[X].

Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.

Polynômes

Dans ce chapitre, \mathbb{K} désigne l’un des corps \mathbb{Q}, \mathbb{R} ou \mathbb{C}. Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches : leur arithmétique présente une grande analogie avec celle des entiers.

1 Définitions et opérations

1.1 Définitions

Définition 2.1

Un polynôme à coefficients dans \mathbb{K} est une expression de la forme P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_2X^2+a_1X+a_0, avec n\in\mathbb{N} et a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{K}. L’ensemble des polynômes est noté \mathbb{K}[X].

  • X est appelé indéterminée ;
  • les a_i sont appelés les coefficients du polynôme ;
  • si tous les coefficients sont nuls, P est le polynôme nul, noté 0 ;
  • on appelle degré de P le plus grand entier i tel que a_i\neq 0 ; on le note \deg P. Par convention \deg(0)=-\infty ;
  • un polynôme de la forme P=a_0 avec a_0\in\mathbb{K} est un polynôme constant. Si a_0\neq 0, son degré est 0.

Exemple 2.1

  • X^3-5X+\frac34 est un polynôme de degré 3.
  • X^n+1 est un polynôme de degré n.
  • 2 est un polynôme constant, de degré 0.

1.2 Opérations sur les polynômes

  • Égalité. P=a_nX^n+\cdots+a_0 et Q=b_nX^n+\cdots+b_0 sont égaux si et seulement si \forall i,\ a_i=b_i.
  • Addition. P+Q=(a_n+b_n)X^n+(a_{n-1}+b_{n-1})X^{n-1}+\cdots+(a_1+b_1)X+(a_0+b_0).
  • Multiplication. P\times Q=c_rX^r+\cdots+c_0 avec r=n+m et c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j.
  • Multiplication par un scalaire. Si \lambda\in\mathbb{K}, \lambda\cdot P est le polynôme dont le i-ème coefficient est \lambda a_i.

Exemple 2.2

Soient P=aX^3+bX^2+cX+d et Q=\alpha X^2+\beta X+\gamma. Alors : P+Q=aX^3+(b+\alpha)X^2+(c+\beta)X+(d+\gamma) P\times Q=(a\alpha)X^5+(a\beta+b\alpha)X^4+(a\gamma+b\beta+c\alpha)X^3+(b\gamma+c\beta+d\alpha)X^2+(c\gamma+d\beta)X+d\gamma Enfin P=Q si et seulement si a=0, b=\alpha, c=\beta et d=\gamma. La multiplication par un scalaire \lambda\cdot P équivaut à multiplier le polynôme constant \lambda par P.

Proposition 2.1

Pour P,Q,R\in\mathbb{K}[X] :

  • 0+P=P, \quad P+Q=Q+P, \quad (P+Q)+R=P+(Q+R) ;
  • 1\cdot P=P, \quad P\times Q=Q\times P, \quad (P\times Q)\times R=P\times(Q\times R) ;
  • P\times(Q+R)=P\times Q+P\times R.

Pour le degré, il faut faire attention :

Proposition 2.2

Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans \mathbb{K}. \deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q \qquad \deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)

On note \mathbb{K}_n[X]=\{P\in\mathbb{K}[X]\mid \deg P\leq n\}. Si P,Q\in\mathbb{K}_n[X] alors P+Q\in\mathbb{K}_n[X].

Théorème 2.1

  1. (\mathbb{K}[X],+,\times) est un anneau commutatif intègre d’unité 1.
  2. (\mathbb{K}[X],+,\cdot) est un \mathbb{K}-espace vectoriel dont une base est la famille (X^n)_{n\in\mathbb{N}}.
  3. (\mathbb{K}_n[X],+,\cdot) est un \mathbb{K}-espace vectoriel dont une base est la famille (X^k)_{0\leq k\leq n}.

Remarque.

  • (\mathbb{K}[X],+,\cdot) est de dimension infinie.
  • (\mathbb{K}_n[X],+,\cdot) est de dimension finie et \dim\mathbb{K}_n[X]=n+1.

1.3 Vocabulaire

Définition 2.2

  • Les polynômes comportant un seul terme non nul (du type a_kX^k) sont appelés monômes.
  • Soit P=a_nX^n+\cdots+a_0 avec a_n\neq 0. On appelle terme dominant le monôme a_nX^n ; le coefficient a_n est le coefficient dominant de P.
  • Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est unitaire.

Exemple 2.3

P(X)=(X-1)(X^n+X^{n-1}+\cdots+X+1)=\left(X^{n+1}+X^n+\cdots+X\right)-\left(X^n+\cdots+1\right)=X^{n+1}-1. P est donc un polynôme de degré n+1, unitaire, somme de deux monômes.

Remarque. Tout polynôme est donc une somme finie de monômes.

Remarque. Si P=\sum_{k=0}^m a_kX^k et Q=\sum_{k=0}^n b_kX^k\in\mathbb{K}[X] avec a_m,b_n\neq 0, alors : \deg(P+Q)=\max(\deg P,\deg Q) \iff \begin{cases} m\neq n \\ \text{ou} \\ m=n \text{ mais } b_n\neq -a_n\end{cases}

Exercice 2.1

  1. Soit P(X)=3X^3-2, Q(X)=X^2+X-1, R(X)=aX+b. Calculer P+Q, P\times Q, (P+Q)\times R et P\times Q\times R. Trouver a et b afin que le degré de P-QR soit le plus petit possible.
  2. Calculer (X+1)^5-(X-1)^5.
  3. Déterminer le degré de (X^2+X+1)^n-aX^{2n}-bX^{2n-1} en fonction de a,b.
  4. Montrer que si \deg P\neq\deg Q alors \deg(P+Q)=\max(\deg P,\deg Q). Donner un contre-exemple dans le cas \deg P=\deg Q.

2 Arithmétique des polynômes

2.1 Division euclidienne

Définition 3.1

Soient A,B\in\mathbb{K}[X]. On dit que B divise A s’il existe Q\in\mathbb{K}[X] tel que A=BQ. On note alors B\mid A.

Proposition 3.1

Soient A,B,C\in\mathbb{K}[X].

  1. Si A\mid B et B\mid A, alors il existe \lambda\in\mathbb{K}^* tel que A=\lambda B.
  2. Si A\mid B et B\mid C alors A\mid C.
  3. Si C\mid A et C\mid B alors C\mid(AU+BV) pour tous U,V\in\mathbb{K}[X].

Théorème 3.1 — (Division euclidienne)

Soient A,B\in\mathbb{K}[X] avec B\neq 0. Il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R tels que : A=BQ+R \quad \text{et} \quad \deg R<\deg B. Q est le quotient, R le reste ; R=0 si et seulement si B\mid A.

Preuve. Unicité. Si A=BQ+R et A=BQ'+R', alors B(Q-Q')=R'-R. Or \deg(R'-R)<\deg B, donc Q'-Q=0, d’où Q=Q' et R=R'.

Existence. Récurrence sur \deg A. Si \deg A=0 et \deg B>0, on pose Q=0, R=A ; si \deg B=0, on pose Q=A/B, R=0. On suppose l’existence vraie pour \deg A\leq n-1. Soient A=a_nX^n+\cdots+a_0 (a_n\neq 0) et B=b_mX^m+\cdots+b_0 (b_m\neq 0). Si n<m, on pose Q=0, R=A. Si n\geq m, on écrit A=B\cdot\frac{a_n}{b_m}X^{n-m}+A_1 avec \deg A_1\leq n-1, et on applique l’hypothèse de récurrence à A_1.

Exemple 3.1

Pour A=2X^4-X^3-2X^2+3X-1 et B=X^2-X+1, on trouve Q=2X^2+X-3 et R=-X+2. On n’oublie pas de vérifier qu’effectivement A=BQ+R.

Exemple 3.2

Pour X^4-3X^3+X+1 divisé par X^2+2, on trouve un quotient égal à X^2-3X-2 et un reste égal à 7X+5.

2.2 pgcd, Bézout, Gauss

Proposition 3.2

Soient A,B\in\mathbb{K}[X] avec A\neq 0 ou B\neq 0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois A et B.

Cet unique polynôme est le pgcd de A et B, noté \operatorname{pgcd}(A,B).

Remarque.

  • \operatorname{pgcd}(A,B) est unitaire ;
  • si A\mid B et A\neq 0, \operatorname{pgcd}(A,B)=\frac{1}{\lambda}A où \lambda est le coefficient dominant de A ;
  • pour tout \lambda\in\mathbb{K}^*, \operatorname{pgcd}(\lambda A,B)=\operatorname{pgcd}(A,B) ;
  • comme pour les entiers : si A=BQ+R alors \operatorname{pgcd}(A,B)=\operatorname{pgcd}(B,R) : c’est ce qui justifie l’algorithme d’Euclide.

Algorithme d’Euclide. On calcule les divisions euclidiennes successives ; le degré du reste diminue à chaque division ; on arrête lorsque le reste est nul : le pgcd est le dernier reste non nul (rendu unitaire).

Exemple 3.3

Calculons le pgcd de A=X^4-1 et B=X^3-1 : \begin{aligned} X^4-1 &= (X^3-1)\times X+(X-1) \\ X^3-1 &= (X-1)(X^2+X+1)+0 \end{aligned} Le pgcd est le dernier reste non nul : \operatorname{pgcd}(X^4-1,X^3-1)=X-1.

Exemple 3.4

Pour A=X^5+X^4+2X^3+X^2+X+2 et B=X^4+2X^3+X^2-4 : \begin{aligned} X^5+X^4+2X^3+X^2+X+2 &= (X^4+2X^3+X^2-4)(X-1)+3X^3+2X^2+5X-2 \\ X^4+2X^3+X^2-4 &= (3X^3+2X^2+5X-2)\times\tfrac19(3X+4)-\tfrac{14}{9}(X^2+X+2) \\ 3X^3+2X^2+5X-2 &= (X^2+X+2)(3X-1)+0 \end{aligned} Ainsi \operatorname{pgcd}(A,B)=X^2+X+2.

Définition 3.2

A et B sont premiers entre eux si \operatorname{pgcd}(A,B)=1.

Théorème 3.2 — (Bézout)

Soient A,B\in\mathbb{K}[X] avec A\neq 0 ou B\neq 0 ; on note D=\operatorname{pgcd}(A,B). Il existe deux polynômes U,V\in\mathbb{K}[X] tels que : AU+BV=D

Corollaire 3.1

A et B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe U,V tels que AU+BV=1.

Exemple 3.5

Nous avons calculé \operatorname{pgcd}(X^4-1,X^3-1)=X-1. En remontant l’algorithme d’Euclide : X-1=(X^4-1)\times 1+(X^3-1)\times(-X). Donc U=1 et V=-X conviennent.

Corollaire 3.2 — (Lemme de Gauss)

Si A\mid BC et \operatorname{pgcd}(A,B)=1 alors A\mid C.

Corollaire 3.3 — (Lemme d’Euclide)

Si A\mid C, B\mid C et \operatorname{pgcd}(A,B)=1 alors AB\mid C.

2.3 ppcm

Proposition 3.3

Soient A,B\in\mathbb{K}[X] non nuls. Il existe un unique polynôme unitaire M de plus petit degré tel que A\mid M et B\mid M : c’est le ppcm, noté \operatorname{ppcm}(A,B). De plus, si C vérifie A\mid C et B\mid C, alors M\mid C.

Exemple 3.6

\operatorname{ppcm}\left(X(X-2)^2(X^2+1)^4,\ (X+1)(X-2)^3(X^2+1)^3\right)=X(X+1)(X-2)^3(X^2+1)^4

3 Racines d’un polynôme, factorisation

3.1 Formule de Taylor

Remarque. Par analogie avec la dérivée d’une fonction, si P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n\in\mathbb{K}[X], alors le polynôme P'(X)=a_1+2a_2X+\cdots+na_nX^{n-1} est le polynôme dérivé de P.

Proposition 4.1

Toute famille (P_k)_{0\leq k\leq n} de \mathbb{K}[X] échelonnée en degré, c’est-à-dire 0\leq\deg(P_0)<\deg(P_1)<\cdots<\deg(P_{n-1})<\deg(P_n), est libre.

Théorème 4.1 — (Formule de Taylor)

Si P\in\mathbb{K}[X] et \alpha\in\mathbb{K} alors : P=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k

3.2 Racines et multiplicité

Définition 4.1

Soit P=a_nX^n+\cdots+a_0\in\mathbb{K}[X]. Pour x\in\mathbb{K}, on note P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0. On associe ainsi à P la fonction polynôme P:\mathbb{K}\to\mathbb{K},\ x\mapsto P(x).

Définition 4.2

\alpha\in\mathbb{K} est une racine (ou un zéro) de P si P(\alpha)=0.

Proposition 4.2

P(\alpha)=0 \iff X-\alpha \text{ divise } P

Preuve. La division euclidienne de P par X-\alpha donne P=Q\cdot(X-\alpha)+R où R est une constante car \deg R<\deg(X-\alpha)=1. Donc P(\alpha)=0\iff R(\alpha)=0\iff R=0\iff X-\alpha\mid P.

Définition 4.3

Soit k\in\mathbb{N}^*. \alpha est une racine de multiplicité k de P si (X-\alpha)^k divise P alors que (X-\alpha)^{k+1} ne divise pas P. Pour k=1 on parle de racine simple, pour k=2 de racine double, etc.

Proposition 4.3

Il y a équivalence entre :

    1. \alpha est une racine de multiplicité k de P ;
    1. il existe Q\in\mathbb{K}[X] tel que P=(X-\alpha)^kQ avec Q(\alpha)\neq 0 ;
    1. P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(k-1)}(\alpha)=0 et P^{(k)}(\alpha)\neq 0.

3.3 Théorème de d’Alembert-Gauss

Théorème 4.2 — (d’Alembert-Gauss)

Tout polynôme à coefficients complexes de degré n\geq 1 a au moins une racine dans \mathbb{C}.

Exemple 4.1

Soit P(X)=aX^2+bX+c (a\neq 0) à coefficients réels :

  • si \Delta>0, P admet 2 racines réelles distinctes \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} ;
  • si \Delta<0, P admet 2 racines complexes distinctes \frac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a} ;
  • si \Delta=0, P admet une racine réelle double \frac{-b}{2a}.

En tenant compte des multiplicités, on a donc toujours exactement 2 racines.

Exemple 4.2

P(X)=X^n-1 admet n racines distinctes : si \alpha était racine de multiplicité \geq 2, alors P(\alpha)=0 et P'(\alpha)=0, donc \alpha^n=1 et n\alpha^{n-1}=0, d’où \alpha=0 : contradiction. (Ce sont les racines n-ièmes de l’unité.)

Théorème 4.3

Soit P\in\mathbb{K}[X] de degré n\geq 1. Alors P admet au plus n racines dans \mathbb{K}.

Corollaire 4.1

Tout polynôme non constant admet exactement un nombre de racines dans \mathbb{C} égal à son degré.

Corollaire 4.2

Tout polynôme qui admet un nombre de racines strictement supérieur à son degré est nul.

Exercice 4.1

Soit P\in\mathbb{R}[X] tel que \forall z\in\mathbb{C},\ |P(z)|=1. Montrer que P est constant.

Solution. Raisonnons par absurde en supposant P non constant : P=a_nX^n+\cdots+a_0 avec a_n\neq 0 et n\geq 1. Pour z>0 : |a_n|z^n\left|1+\frac{a_{n-1}}{a_nz}+\cdots+\frac{a_0}{a_nz^n}\right|=|P(z)|=\frac{1}{|P(z)|}=\frac{1}{|a_n|z^n\left|1+\frac{a_{n-1}}{a_nz}+\cdots+\frac{a_0}{a_nz^n}\right|} Le premier membre tend vers +\infty lorsque z\to+\infty tandis que le second tend vers 0 : absurde. D’où P est constant, P=\pm 1.

3.4 Polynômes irréductibles et factorisation

Définition 4.4

Soit P\in\mathbb{K}[X] de degré \geq 1. P est irréductible si, pour tout Q\in\mathbb{K}[X] divisant P, soit Q\in\mathbb{K}^*, soit il existe \lambda\in\mathbb{K}^* tel que Q=\lambda P.

Remarque.

  • Un polynôme irréductible est donc un polynôme non constant dont les seuls diviseurs sont les constantes non nulles ou lui-même (à une constante multiplicative près).
  • La notion de polynôme irréductible pour \mathbb{K}[X] correspond à celle de nombre premier pour \mathbb{Z}.
  • Dans le cas contraire, P est réductible : il existe A,B\in\mathbb{K}[X] tels que P=AB avec \deg A\geq 1 et \deg B\geq 1.

Exemple 4.3

  • Tous les polynômes de degré 1 sont irréductibles.
  • X^2-1=(X-1)(X+1) est réductible dans \mathbb{R}[X].
  • X^2+1=(X-i)(X+i) est réductible dans \mathbb{C}[X] mais irréductible dans \mathbb{R}[X].
  • X^2-2=(X-\sqrt2)(X+\sqrt2) est réductible dans \mathbb{R}[X] mais irréductible dans \mathbb{Q}[X].

Théorème 4.4 — (Factorisation)

Tout polynôme non constant A\in\mathbb{K}[X] s’écrit comme un produit de polynômes irréductibles unitaires : A=\lambda P_1^{k_1}P_2^{k_2}\cdots P_r^{k_r} où \lambda\in\mathbb{K}^*, r\in\mathbb{N}^*, k_i\in\mathbb{N}^* et les P_i sont irréductibles distincts. De plus cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

Théorème 4.5

Les polynômes irréductibles de \mathbb{C}[X] sont les polynômes de degré 1. Donc pour P\in\mathbb{C}[X] de degré n\geq 1 : P=\lambda(X-\alpha_1)^{k_1}(X-\alpha_2)^{k_2}\cdots(X-\alpha_r)^{k_r} où les \alpha_i sont les racines distinctes de P et les k_i leurs multiplicités.

Théorème 4.6

Les polynômes irréductibles de \mathbb{R}[X] sont les polynômes de degré 1 ainsi que les polynômes de degré 2 de discriminant \Delta<0. Pour P\in\mathbb{R}[X] de degré n\geq 1 : P=\lambda(X-\alpha_1)^{k_1}\cdots(X-\alpha_r)^{k_r}Q_1^{\ell_1}\cdots Q_s^{\ell_s} où les \alpha_i sont les racines réelles distinctes et les Q_i=X^2+\beta_iX+\gamma_i irréductibles avec \Delta_i=\beta_i^2-4\gamma_i<0.

Exemple 4.4

P(X)=2X^4(X-1)^3(X^2+1)^2(X^2+X+1) est déjà décomposé en facteurs irréductibles dans \mathbb{R}[X] ; dans \mathbb{C}[X] : P(X)=2X^4(X-1)^3(X-i)^2(X+i)^2(X-j)(X-j^2) \quad \text{où } j=e^{\frac{2i\pi}{3}}=\frac{-1+i\sqrt3}{2}

Exemple 4.5

Soit P(X)=X^4+1.

  • Sur \mathbb{C} : P(X)=\left(X-\tfrac{\sqrt2}{2}(1+i)\right)\left(X+\tfrac{\sqrt2}{2}(1+i)\right)\left(X-\tfrac{\sqrt2}{2}(1-i)\right)\left(X+\tfrac{\sqrt2}{2}(1-i)\right).
  • Sur \mathbb{R} : en regroupant les facteurs à racines conjuguées : P(X)=\left(X^2+\sqrt2X+1\right)\left(X^2-\sqrt2X+1\right)

3.5 Relations de Viète

Théorème 4.7 — (Relations de Viète)

Soit P=a_nX^n+\cdots+a_0\in\mathbb{K}[X] avec a_n\neq 0 et n\geq 1, admettant n racines x_1,\cdots,x_n : P=a_n\prod_{k=1}^n(X-x_k). En posant \sigma_k=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}x_{i_1}\cdots x_{i_k}, on a : \sigma_k=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}

Exemple 4.6

Pour un trinôme P=aX^2+bX+c=a(X-x_1)(X-x_2) (avec a\neq 0) : x_1+x_2=-\frac{b}{a} \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}

3.6 Polynôme d’interpolation de Lagrange

Théorème 4.8 — (Interpolation de Lagrange)

On se donne des éléments distincts x_0,\cdots,x_n et des éléments y_0,\cdots,y_n de \mathbb{K}, et on définit : L_i=\frac{\prod_{j=0,\,j\neq i}^n(X-x_j)}{\prod_{j=0,\,j\neq i}^n(x_i-x_j)} \quad (0\leq i\leq n) Alors il existe un unique polynôme P\in\mathbb{K}_n[X] tel que P(x_k)=y_k pour 0\leq k\leq n, donné par P=\sum_{i=0}^n y_iL_i.

Corollaire 4.3

Les polynômes Q vérifiant Q(x_k)=y_k pour 0\leq k\leq n sont de la forme : Q=P+R\prod_{i=0}^n(X-x_i) avec R\in\mathbb{K}[X] quelconque.

Exercice 4.2

  1. Trouver un polynôme P(X)\in\mathbb{Z}[X] de degré minimal tel que \frac12 soit racine simple, \sqrt2 racine double et i racine triple.
  2. Montrer : P(\alpha)=0 et P'(\alpha)=0 \iff \alpha est racine de multiplicité \geq 2.
  3. Montrer que pour P\in\mathbb{C}[X] : P admet une racine de multiplicité \geq 2 \iff P et P' ne sont pas premiers entre eux.
  4. Factoriser P(X)=(2X^2+X-2)^2(X^4-1)^3 et Q(X)=3(X^2-1)^2\left(X^2-X+\frac14\right) dans \mathbb{C}[X] ; en déduire pgcd et ppcm. Mêmes questions dans \mathbb{R}[X].
  5. Si \operatorname{pgcd}(A,B)=1, montrer que \operatorname{pgcd}(A+B,A\times B)=1.

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Chapitre 10 : Polynômes