Fractions rationnelles
Chapitre 11
MPSI (1re année) — Chapitre 11. Fractions rationnelles, zéros et pôles, degré, partie polynomiale, décomposition en éléments simples sur \mathbb{C} et sur \mathbb{R}, pôles et parties polaires.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Toute fraction rationnelle se décompose en une somme de fractions rationnelles élémentaires, les « éléments simples », différents sur \mathbb{C} ou sur \mathbb{R}.
1 Définitions
Définition 2.1
Une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} est une expression de la forme F=\frac{P}{Q} où P,Q\in\mathbb{K}[X] sont deux polynômes et Q\neq 0.
- Les racines de P sont les zéros de F ;
- les racines de Q sont les pôles de F ;
- le degré de F est défini par : \deg(F)=\deg(P)-\deg(Q).
Exemple 2.1
Soit F=\frac{(X-1)X^3}{(X-2)(X+1)^2} :
- les zéros de F sont 1 et 0 ;
- les pôles de F sont 2 (pôle simple) et -1 (pôle double) ;
- le degré de F est 1.
2 Décomposition en éléments simples sur \mathbb{C}
Théorème 3.1
Soit P/Q une fraction rationnelle avec P,Q\in\mathbb{C}[X] et Q=(X-\alpha_1)^{k_1}\cdots(X-\alpha_r)^{k_r}. Alors il existe une et une seule écriture : \frac{P}{Q}=E+\frac{a_{1,1}}{(X-\alpha_1)^{k_1}}+\frac{a_{1,2}}{(X-\alpha_1)^{k_1-1}}+\cdots+\frac{a_{1,k_1}}{X-\alpha_1}+\cdots+\frac{a_{r,1}}{(X-\alpha_r)^{k_r}}+\cdots+\frac{a_{r,k_r}}{X-\alpha_r}
Le polynôme E s’appelle la partie polynomiale (ou partie entière). Les termes \frac{a}{(X-\alpha)^i} sont les éléments simples sur \mathbb{C}.
Exemple 3.1
- Vérifier que \frac{1}{X^2+1}=\frac{a}{X+i}+\frac{b}{X-i} avec a=\frac12 i et b=-\frac12 i.
- Vérifier que \frac{X^4-8X^2+9X-7}{(X-2)^2(X+3)}=X+1-\frac{1}{(X-2)^2}+\frac{2}{X-2}-\frac{1}{X+3}.
Méthode. On commence par déterminer la partie polynomiale : si \deg Q>\deg P alors E(X)=0 ; sinon on effectue la division euclidienne de P par Q : P=QE+R donc \frac{P}{Q}=E+\frac{R}{Q} avec \deg R<\deg Q. On factorise ensuite le dénominateur, on écrit la décomposition théorique, puis on détermine les coefficients (par identification, par multiplication par (X-\alpha)^k puis évaluation, ou par valeurs particulières).
Exemple 3.2
Décomposons \frac{P}{Q}=\frac{X^5-2X^3+4X^2-8X+11}{X^3-3X+2}.
- Partie polynomiale. La division euclidienne donne P(X)=(X^2+1)Q(X)+2X^2-5X+9 : donc E(X)=X^2+1 et \frac{P}{Q}=X^2+1+\frac{2X^2-5X+9}{Q}.
- Factorisation du dénominateur. Q a pour racine évidente 1 (double) et -2 (simple) : Q(X)=(X-1)^2(X+2).
- Décomposition théorique. \frac{P}{Q}=E(X)+\frac{a}{(X-1)^2}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{X+2}.
- Coefficients par identification. En réduisant au même dénominateur : (b+c)X^2+(a+b-2c)X+2a-2b+c=2X^2-5X+9, d’où b+c=2, a+b-2c=-5, 2a-2b+c=9 : l’unique solution est a=2, b=-1, c=3. Donc : \frac{P}{Q}=X^2+1+\frac{2}{(X-1)^2}-\frac{1}{X-1}+\frac{3}{X+2}
- Coefficients par multiplication. Notons \frac{P'(X)}{Q(X)}=\frac{2X^2-5X+9}{(X-1)^2(X+2)}. Pour a : F_1(X)=(X-1)^2\frac{P'(X)}{Q(X)}=\frac{2X^2-5X+9}{X+2}, donc a=F_1(1)=2. Pour c : F_2(X)=(X+2)\frac{P'(X)}{Q(X)}=\frac{2X^2-5X+9}{(X-1)^2}, donc c=F_2(-2)=3. Pour b : en évaluant la décomposition en x=0 : \frac{9}{2}=a-b+\frac{c}{2}, donc b=-1.
3 Décomposition en éléments simples sur \mathbb{R}
Théorème 4.1
Soit P/Q une fraction rationnelle avec P,Q\in\mathbb{R}[X]. Alors P/Q s’écrit de manière unique comme somme :
- d’une partie polynomiale E(X) ;
- d’éléments simples du type \frac{a}{(X-\alpha)^i} ;
- d’éléments simples du type \frac{aX+b}{(X^2+\alpha X+\beta)^i} ;
où les X-\alpha et X^2+\alpha X+\beta sont les facteurs irréductibles de Q(X) et les exposants i inférieurs ou égaux à la puissance correspondante dans cette factorisation.
Exemple 4.1
Décomposition de \frac{P(X)}{Q(X)}=\frac{3X^4+5X^3+11X^2+5X+3}{(X^2+X+1)^2(X-1)}. Comme \deg P<\deg Q, E(X)=0 ; le dénominateur est déjà factorisé sur \mathbb{R} car X^2+X+1 est irréductible. La décomposition théorique est : \frac{P(X)}{Q(X)}=\frac{aX+b}{(X^2+X+1)^2}+\frac{cX+d}{X^2+X+1}+\frac{e}{X-1} En menant les calculs au mieux, on obtient : \frac{P(X)}{Q(X)}=\frac{2X+1}{(X^2+X+1)^2}-\frac{1}{X^2+X+1}+\frac{3}{X-1}
Exercice 4.1
- Soit Q(X)=(X-2)^2(X^2-1)^3(X^2+1)^4. Pour P\in\mathbb{R}[X], quelle est la forme théorique de la décomposition en éléments simples sur \mathbb{C} ? Et sur \mathbb{R} ?
- Décomposer en éléments simples sur \mathbb{R} et \mathbb{C} : \frac{1}{X^2-1} ; \frac{X^2+1}{(X-1)^2} ; \frac{X}{X^3-1}.
- Décomposer en éléments simples sur \mathbb{R} : \frac{X^2+X+1}{(X-1)(X+2)^2} ; \frac{2X^2-X}{(X^2+2)^2} ; \frac{X^6}{(X^2+1)^2}.
- Soit F(X)=\frac{2X^2+7X-20}{X+2}. Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en \pm\infty et étudier la position du graphe de F par rapport à cette droite.