Espaces vectoriels et applications linéaires
Chapitre 12
MPSI (1re année) — Chapitre 12. Structure d’espace vectoriel, sous-espaces vectoriels, sommes directes, familles libres et génératrices, bases, applications linéaires, noyau, image, isomorphismes, projecteurs et symétries.
Ce chapitre a été réalisé conformément au programme marocain de mathématiques de la filière MPSI.
Espaces vectoriels et applications linéaires
Dans la suite, \mathbb{K} désigne \mathbb{R} ou \mathbb{C}, sauf mention explicite.
1 Définitions, exemples, faits de base
1.1 Définition et exemples
Définition 2.1
Un espace vectoriel sur \mathbb{K} est un triplet (E,+,\cdot) où :
- E est un ensemble non vide dont les éléments sont appelés vecteurs ;
- + est une loi de composition interne sur E ;
- \cdot est une loi externe de domaine d’opérateurs \mathbb{K} (application de E\times\mathbb{K} dans E) ;
tel que :
- (E,+) est un groupe commutatif de neutre 0_E ;
- \forall\lambda,\mu\in\mathbb{K},\ \forall x\in E,\ (\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x ;
- \forall\lambda\in\mathbb{K},\ \forall x,y\in E,\ \lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y ;
- \forall\lambda,\mu\in\mathbb{K},\ \forall x\in E,\ \lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\mu)\cdot x ;
- \forall x\in E,\ 1_{\mathbb{K}}\cdot x=x.
Les éléments de \mathbb{K} sont appelés scalaires.
Exemple 2.1
- E=\mathbb{K}^3 muni des lois usuelles est un \mathbb{K}-espace vectoriel de neutre 0_{\mathbb{K}^3}=(0,0,0).
- Plus généralement, \mathbb{K}^n est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
- (\mathbb{K}[X],+,\cdot) est un espace vectoriel.
- Si X est un ensemble non vide, (\mathcal{F}(X,\mathbb{K}),+,\cdot) est un \mathbb{K}-espace vectoriel ; en particulier, l’ensemble des suites numériques \mathbb{K}^{\mathbb{N}} est un espace vectoriel.
- Si \mathbb{L} est un corps et \mathbb{K} un sous-corps de \mathbb{L}, alors (\mathbb{L},+,\cdot) est un \mathbb{K}-espace vectoriel : ainsi \mathbb{C} est un \mathbb{R}-espace vectoriel et un \mathbb{Q}-espace vectoriel.
1.2 Règles de calcul
Proposition 2.1
Soit (E,+,\cdot) un \mathbb{K}-espace vectoriel.
- Pour x\in E, l’application \lambda\mapsto\lambda\cdot x est un morphisme de groupes de (\mathbb{K},+) dans (E,+) ; en particulier 0_{\mathbb{K}}\cdot x=0_E, et \forall\lambda\in\mathbb{K},\ \forall n\in\mathbb{Z},\ (n\lambda)\cdot x=n(\lambda\cdot x) ; en prenant \lambda=1 et n=-1 : -1_{\mathbb{K}}\cdot x=-x.
- Pour \lambda\in\mathbb{K}, l’application x\mapsto\lambda\cdot x est un endomorphisme de groupes de (E,+) : \lambda\cdot 0_E=0_E ; de plus \lambda\cdot(nx)=n(\lambda\cdot x), d’où \lambda\cdot(-x)=-\lambda\cdot x.
- Pour \lambda\in\mathbb{K} et x\in E : \lambda\cdot x=0_E \iff \lambda=0_{\mathbb{K}} \text{ ou } x=0_E.
- Distributivité étendue : \left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\right)\cdot x=\sum_{i=1}^n(\lambda_i\cdot x) et \lambda\cdot\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)=\sum_{i=1}^n(\lambda\cdot x_i).
Preuve. Si \lambda\cdot x=0_E avec \lambda\neq 0_{\mathbb{K}}, alors : x=1_{\mathbb{K}}\cdot x=\left(\lambda\frac{1}{\lambda}\right)\cdot x=\frac{1}{\lambda}(\lambda\cdot x)=\frac{1}{\lambda}\cdot 0_E=0_E.
2 Combinaisons linéaires, familles libres, génératrices, bases
2.1 Combinaisons linéaires
Définition 3.1
Soient n\in\mathbb{N}^* et x_1,\ldots,x_n\in E. Une combinaison linéaire de x_1,\ldots,x_n est une expression de la forme \sum_{i=1}^n\alpha_i x_i \quad \text{avec } \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{K}. On remarque que \sum_{i=1}^n 0_{\mathbb{K}}\, x_i=0_E.
2.2 Familles libres et liées
Définition 3.2
Soit n\in\mathbb{N}^*. La famille (x_1,\ldots,x_n) est libre si : \forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{K}^n,\ \sum_{i=1}^n\alpha_i x_i=0_E \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0_{\mathbb{K}}. Lorsqu’elle n’est pas libre, on dit qu’elle est liée : il existe (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\neq(0,\ldots,0) tel que \sum_{i=1}^n\alpha_i x_i=0_E (relation de dépendance linéaire non triviale).
Remarque.
- Si l’un des x_i est nul, la famille est liée.
- Si l’un des x_i est combinaison linéaire des autres, la famille est liée.
- Réciproquement, si la famille est liée, l’un des x_i est combinaison linéaire des autres. Autrement dit : (x_1,\ldots,x_n) est liée si et seulement si l’un des x_i est combinaison linéaire des autres ; par contraposée, elle est libre si et seulement si aucun des x_i n’est combinaison linéaire des autres.
Exemple 3.1
- Soit x\in E ; on note \mathbb{K}x=\{\alpha\cdot x\ /\ \alpha\in\mathbb{K}\}. Si x\neq 0_E, \mathbb{K}x est la droite vectorielle engendrée par x ; y est colinéaire à x si y\in\mathbb{K}x. Pour x,y\neq 0_E : (x,y) est liée si et seulement si y est colinéaire à x.
- Dans E=\mathbb{R}^3, la famille ((1,2,1),(1,-1,1),(2,1,3)) est libre : en écrivant \alpha x+\beta y+\gamma z=0, le pivot de Gauss donne \alpha=\beta=\gamma=0.
- Dans E=\mathbb{R}^3, la famille ((1,1,1),(1,-1,2),(1,3,\lambda)) est libre si et seulement si \lambda\neq 0 (le pivot donne 2\lambda\gamma=0).
- Dans \mathbb{K}[X], toute famille de polynômes échelonnée en degrés (0\leq\deg P_1<\cdots<\deg P_n) est libre ; en particulier (X^k)_{0\leq k\leq n} est libre.
- Dans \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) : la famille (t\mapsto e^{\alpha_k t}) avec \alpha_1<\cdots<\alpha_r est libre (faire tendre t\to-\infty) ; la famille (\cos(kt))_{k\in\mathbb{N}} est libre (intégrer contre \cos(lt) sur [0,2\pi]) ; la famille (\cos^k t)_{k\in\mathbb{N}} est libre.
2.3 Familles génératrices
Définition 3.3
La famille (x_1,\ldots,x_n) est génératrice (ou engendre E) si tout vecteur de E est combinaison linéaire de x_1,\ldots,x_n.
Exemple 3.2
(X^n)_{n\in\mathbb{N}} est une famille génératrice de \mathbb{K}[X] ; d’après la formule de Taylor, \forall a\in\mathbb{K}, ((X-a)^n)_{n\in\mathbb{N}} est aussi génératrice.
2.4 Bases et coordonnées
Définition 3.4
Une famille (x_i)_{i\in I} est une base de E si elle est à la fois libre et génératrice.
Exemple 3.3
- La famille canonique (e_1,\ldots,e_n) est une base de \mathbb{K}^n, appelée base canonique.
- (1_{\mathbb{K}}) est une base de \mathbb{K} ; (1,i) est une base du \mathbb{R}-espace vectoriel \mathbb{C}.
- (X^n)_{n\in\mathbb{N}} est une base de \mathbb{K}[X].
- (x,y) est une base de \mathbb{K}^2 si et seulement si \alpha\delta-\beta\gamma\neq 0, où x=(\alpha,\beta) et y=(\gamma,\delta).
- Dans \mathbb{R}^3, ((1,1,1),(1,0,2),(2,1,-1)) est une base.
Proposition 3.1 — (Coordonnées)
Si E admet une base \mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n), alors pour tout x\in E, il existe un unique n-uplet (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{K}^n tel que x=\sum_{i=1}^n\alpha_i e_i. On l’appelle le n-uplet des coordonnées de x dans \mathcal{B}.
Preuve. L’existence est assurée car \mathcal{B} est génératrice. Si x=\sum\alpha_i e_i=\sum\beta_i e_i, alors \sum(\alpha_i-\beta_i)e_i=0_E ; or \mathcal{B} est libre donc \forall i,\ \alpha_i-\beta_i=0.
3 Sous-espaces vectoriels
3.1 Définition, critère réduit, intersection
Définition 4.1
Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel et F\subset E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si :
- F est un sous-groupe de (E,+) ;
- \forall\lambda\in\mathbb{K},\ \forall x\in F,\ \lambda\cdot x\in F.
Proposition 4.1 — (Critère réduit)
F\subset E est un sous-espace vectoriel si et seulement si F\neq\varnothing et \forall x,y\in F,\ \forall\alpha\in\mathbb{K},\ \alpha x+y\in F.
Exemple 4.1
- \{0_E\} et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
- \mathbb{K}_n[X]=\{P\in\mathbb{K}[X]\ /\ \deg P\leq n\} est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}[X].
- \mathcal{C}(I,\mathbb{R}), \mathcal{D}(I,\mathbb{R}), \mathcal{C}^\infty(I,\mathbb{R}), l’ensemble des fonctions paires, l’ensemble des fonctions impaires sont des sous-espaces vectoriels de \mathcal{F}(I,\mathbb{R}).
- L’ensemble des suites convergentes, ainsi que l’ensemble des suites de limite 0, sont des sous-espaces vectoriels de \mathbb{C}^{\mathbb{N}}.
- L’ensemble des solutions \mathrm{Sol}(S) d’un système linéaire homogène de n équations à p inconnues est un sous-espace vectoriel de \mathbb{K}^p ; en particulier, \{x\in\mathbb{K}^p\ /\ a_1x_1+\cdots+a_px_p=0\} est un sous-espace vectoriel.
Proposition 4.2
Une intersection quelconque de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
3.2 Sous-espace engendré par une partie
Définition 4.2
L’intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant \{x_1,\ldots,x_n\} est le plus petit sous-espace vectoriel contenant x_1,\ldots,x_n ; on le note \mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_n) et on l’appelle le sous-espace engendré par la famille. C’est l’ensemble des combinaisons linéaires de x_1,\ldots,x_n.
Remarque. Si x_n\in\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_{n-1}), alors \mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_n)=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_{n-1}). En particulier, pour x\neq 0_E, \mathrm{Vect}(x)=\mathbb{K}x.
Exemple 4.2
- Dans \mathbb{R}^3, F=\mathrm{Vect}((1,1,-1),(2,1,1)) est le plan d’équation cartésienne -2x+3y+z=0.
- Le sous-espace de \mathbb{R}^3 d’équations x-2y+z=0 et 2x-y+3z=0 est \mathrm{Vect}((5,1,-3)).
- Le sous-espace d’équation x+y-z=0 est \mathrm{Vect}((-1,1,0),(1,0,1)).
3.3 Sommes, sommes directes, supplémentaires
Définition 4.3
Soient F_1,\ldots,F_n des sous-espaces vectoriels de E. L’ensemble F_1+\cdots+F_n=\{x_1+\cdots+x_n\ /\ (x_1,\ldots,x_n)\in F_1\times\cdots\times F_n\} est un sous-espace vectoriel de E, appelé somme des F_i ; c’est aussi \mathrm{Vect}\left(\bigcup_{i=1}^n F_i\right).
Théorème 4.1 — (Sommes directes)
Les assertions suivantes sont équivalentes :
- \forall(x_1,\ldots,x_n)\in F_1\times\cdots\times F_n,\ \sum_{i=1}^n x_i=0_E \Rightarrow \forall i,\ x_i=0_E ;
- tout x\in\sum_{i=1}^n F_i s’écrit de façon unique x=\sum_{i=1}^n x_i avec x_i\in F_i ;
- \forall j,\ F_j\cap\sum_{i\neq j}F_i=\{0_E\}.
Lorsqu’elles sont vérifiées, on dit que la somme est directe et on écrit F_1\oplus\cdots\oplus F_n.
Remarque. Pour deux sous-espaces, F+G est directe si et seulement si F\cap G=\{0_E\}. Cette condition ne se généralise pas : dans \mathbb{R}^2, pour F=\mathrm{Vect}((1,0)), G=\mathrm{Vect}((0,1)), H=\mathrm{Vect}((1,1)), on a F\cap G=G\cap H=F\cap H=\{0\} mais F+G+H n’est pas directe car (1,1)-(1,0)-(0,1)=(0,0).
Exemple 4.3
- (x_1,\ldots,x_n) est libre si et seulement si la somme \sum_{i=1}^n\mathbb{K}x_i est directe.
- Dans \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), si \mathcal{P} désigne les fonctions paires et \mathcal{I} les fonctions impaires, alors \mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I} (analyse-synthèse : g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}).
- Si F=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_m) et G=\mathrm{Vect}(y_1,\ldots,y_n), alors F+G est directe si et seulement si la famille recollée (x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n) est libre.
Définition 4.4
Les sous-espaces F_1,\ldots,F_n sont supplémentaires si \bigoplus_{i=1}^n F_i=E. Pour deux sous-espaces : E=F\oplus G \iff F\cap G=\{0_E\} et F+G=E.
4 Applications linéaires
4.1 Définition et exemples
Définition 5.1
Soient E,F deux \mathbb{K}-espaces vectoriels et f:E\to F. On dit que f est linéaire si :
- f est un morphisme de groupes de (E,+) dans (F,+) ;
- \forall x\in E,\ \forall\alpha\in\mathbb{K},\ f(\alpha x)=\alpha f(x).
On note \mathcal{L}(E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F ; si E=F, on note \mathcal{L}(E) et ses éléments sont appelés endomorphismes.
Proposition 5.1 — (Critère plus léger)
f est linéaire si et seulement si \forall\alpha\in\mathbb{K},\ \forall x,y\in E,\ f(\alpha x+y)=\alpha f(x)+f(y).
Exemple 5.1
- Si \mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n) est la base canonique de \mathbb{K}^n, la i-ème forme coordonnée e_i^*:x=\sum\alpha_j e_j\mapsto\alpha_i est linéaire.
- f\mapsto\int_a^b f est linéaire de \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}) dans \mathbb{R}.
- u\mapsto\lim u est \mathbb{C}-linéaire sur l’espace des suites complexes convergentes.
- P\mapsto P' est un endomorphisme de \mathbb{K}[X].
- Les applications \mathbb{R}-linéaires de \mathbb{C} dans \mathbb{C} sont celles du type \varphi_{a,b}:z\mapsto az+b\overline{z}.
- Les applications \mathbb{K}-linéaires de \mathbb{K} dans \mathbb{K} sont celles du type x\mapsto ax.
4.2 Relations avec les bases
Théorème 5.1
Soit E un espace vectoriel admettant une base finie \mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_p), V un espace vectoriel et v_1,\ldots,v_p\in V. Il existe une unique application linéaire f:E\to V telle que \forall i,\ f(e_i)=v_i. En particulier, deux applications linéaires qui coïncident sur une base sont égales.
Exemple 5.2 — (Homothéties)
Pour \lambda\in\mathbb{K}, h_\lambda:x\mapsto\lambda x est un endomorphisme de E appelé homothétie de rapport \lambda ; h_0 est l’application nulle et h_1=\mathrm{Id}_E.
4.3 Noyau, image, injectivité, surjectivité
Proposition 5.2
Soit f\in\mathcal{L}(E,F).
- f(0_E)=0_F et f conserve les combinaisons linéaires : f\left(\sum_{k=1}^n\lambda_k x_k\right)=\sum_{k=1}^n\lambda_k f(x_k).
- Image d’un sev : si E_1 est un sev de E, alors f(E_1) est un sev de F ; en particulier \mathrm{Im}\,f=f(E) est un sev de F, et f est surjective si et seulement si \mathrm{Im}\,f=F. De plus f(\mathrm{Vect}(S))=\mathrm{Vect}(f(S)).
- Image réciproque d’un sev : si F_1 est un sev de F, alors f^{-1}(F_1) est un sev de E ; en particulier le noyau \ker f=f^{-1}(\{0_F\})=\{x\in E\ /\ f(x)=0_F\} est un sev de E.
- f est injective si et seulement si \ker f=\{0_E\}.
- Si f est injective, elle transforme toute famille libre en famille libre ; si E admet une base finie \mathcal{B} : f injective \iff f(\mathcal{B}) libre.
- f est surjective si et seulement si l’image d’une famille génératrice est génératrice.
Proposition 5.3 — (Composition, isomorphismes)
- Si f\in\mathcal{L}(E,F) et g\in\mathcal{L}(F,G), alors g\circ f\in\mathcal{L}(E,G).
- Si f est une application linéaire bijective (isomorphisme), alors f^{-1} est linéaire, donc isomorphisme de F dans E.
- L’ensemble \mathrm{Aut}(E) des automorphismes de E est un sous-groupe de (\mathfrak{S}(E),\circ).
4.4 Opérations sur les applications linéaires
Proposition 5.4
Muni de (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (\alpha\cdot f)(x)=\alpha f(x), l’ensemble \mathcal{L}(E,F) est un \mathbb{K}-espace vectoriel. De plus, (\mathcal{L}(E),+,\circ,\cdot) est une \mathbb{K}-algèbre (anneau, espace vectoriel, et \forall\alpha,\ (\alpha f)\circ g=f\circ(\alpha g)=\alpha(f\circ g)).
4.5 Projecteurs et symétries
Définition 5.2
Soit f\in\mathcal{L}(E). On dit que f est un projecteur si f\circ f=f ; on dit que f est une symétrie si f\circ f=\mathrm{Id}_E.
Exemple 5.3 — (Exemple standard)
Si E=F\oplus G, tout x\in E s’écrit de façon unique x=x_F+x_G. La projection p_{F,G}:x\mapsto x_F est un projecteur : F=\mathrm{Im}\,p_{F,G}=\ker(p_{F,G}-\mathrm{Id}_E) et G=\ker p_{F,G}. La symétrie s_{F,G}:x\mapsto x_F-x_G vérifie F=\{x\ /\ s(x)=x\} et G=\ker(s_{F,G}+\mathrm{Id}_E).
Théorème 5.2 — (Forme générique)
Si p est un projecteur de E, alors E=\mathrm{Im}\,p\oplus\ker p et p est la projection sur \mathrm{Im}\,p parallèlement à \ker p. Si s est une symétrie, alors pour F=\ker(s-\mathrm{Id}_E) et G=\ker(s+\mathrm{Id}_E), on a E=F\oplus G et s=s_{F,G}.